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Dispersión Random Walk,
irreversibilidad y velocidad del flujo no
*uniforme en los cauces turbulentos
Random walk dispersion, irreversibility and nonuniform
flow speed in turbulent flows
Alfredo Constaín Aragón
Ingeniero electrónico, Director de Investigación de Amazonas Technologies
alfredo.constain@amazonastech.com
Jairo Carvajal Ruiz
Ingeniero eléctrico, gerente Amazonas Technologies.
jairo.carvajal@amazonastech.com
Alejandro Carvajal Ruiz
Ingeniero electrónico, director Ingeniería Amazonas Technologies
alejandro.carvajal@amazonastech.com
Rodrigo Lemos Ruiz
Ingeniero hidráulico, Profesor Departamento. de Hidráulica, Universidad del Cauca, Popayán
ralemos@ucauca.edu.co
Grupo de investigación Ingeniería hidrométrica de Cali y Popayán,
Resumen
En este artículo se presenta una discusión detallada de la ecuación de velocidad media del cauce en condicio-
nes de flujo variado, propuesta por el grupo de hidrometría de Cali y Popayán y su aplicación a algunos temas
interesantes en la teoría del transporte de solutos conservativos. Como se verá, la fundamentación de esta teoría
no corresponde al enfoque tradicional que parte de una ecuación diferencial para dar una descripción del punto.
Más bien está en la línea propuesta por I. Prigogine que prefiere una descripción no local, fuertemente anclada en
conceptos de tipo termodinámico. La coincidencia entre los modelos teóricos y las curvas experimentales para
este enfoque, y su simplicidad en relación con otras aproximaciones, hacen de esta teoría una opción muy
eficiente para la descripción de procesos de contaminación en cauces naturales.
Palabras clave: Hidráulica, termodinámica del no equilibrio, movimiento Random Walk, transporte de masa en flujos
turbulentos.
Abstract
This article presents a detailed discussion by the Hydrometrics Group of Cali and Popayán on the average
speed equation of riverbeds in varied flow conditions and its applications in some interesting topics in the theory
of Conservative Solute Transport. As it can be noted, the foundations of this theory do not follow a traditional
approach which initiates with a differential equation to give a description of the point. It rather takes Prigogine’s
proposal as a base, which prefers a non-local description, grounded in notions of thermodynamics. The
coincidence between the theoretical models and the experimental curves for this approach and its simplicity
compared to other approximations make this theory an efficient option to describe the pollution processes in
natural riverbeds.
Keywords: hydraulics, non-equilibrium thermodynamics, Random Walk movement, mass transport in turbulent flows.
Proyecto de investigación universidad-industria, patrocinado por el Parque del Software de Cali (Empresa Amazonas*
Technologies).
Fecha de recepción: Julio de 2004
Aceptado para su publicación: Septiembre de 2004
Revista científica Guillermo de Ockham. Vol. 3, No. 1. Enero-junio de 2005 • ISSN: 1794-192X 93Constaín • Carvajal • Carvajal • Lemos
Introducción autor para proponer una fórmula práctica en
ingeniería.Este artículo presenta una discusión de la
ecuación para la velocidad del flujo en régi-
men no uniforme, que se deriva a partir de
una hipótesis que relaciona el movimiento
advectivo con el movimiento difusivo en los Metodología
cauces naturales. Este trabajo ha sido desa-
El trabajo presentado cubre siete años de de-
rrollado por el grupo de ingeniería hidrométri-
sarrollo continuo dentro del tema de medición
ca de Cali y Popayán, dentro de un proyec-
de parámetros hidráulicos y de transporte ato de investigación universidad-industria,
partir del análisis de curvas de trazador. La me-patrocinado por Parquesoft Cali (Empresa
1 todología que guió este desarrollo científico-Amazonas Technologies ), la Universidad de
2 tecnológico se basó en los siguientes pasoslos Andes (Proyecto IBERCHIP ) y la Univer-
secuenciales:sidad del Cauca (Departamento de Hidráu-
3lica ), con el apoyo de Colciencias y la CVC. 1. Recolección inicial de datos.
En él se analizan al principio las fundamenta- 2. Estudio de los datos y propuestas teóri-
ciones básicas de tal ecuación, especialmente cas iniciales.
desde el punto de vista de la naturaleza errática 3. Verificaciones de campo.
de sus movimientos, para llegar luego a una
4. Ajustes teóricos intermedios.
expresión macroscópica. Esta se ubica lue-
5. Verificaciones de campo finales.go en un contexto hidráulico y se analizan algu-
4nos aspectos básicos relacionados con ella. 6. Ajustes teóricos finales.
Para ilustrar las aplicaciones prácticas de la 7. Desarrollo de la tecnología.
ecuación se documentan dos experiencias de
8. Prueba de la tecnología en campo.
campo.
9. Ajustes finales a la tecnología y
Este artículo no pretende hacer una exposi-
10. Comercialización de la tecnología.ción detallada ni rigurosa de los múltiples as-
pectos relacionados con las teorías estadísti- Este texto se enfoca, de manera especial,
cas de I. Prigogine, sobre las cuales se basa en los lineamientos teóricos y en las verifi-
el enfoque central de la ecuación propuesta; caciones experimentales, dejando para un
más bien su objetivo es aplicado, tratando de artículo posterior lo correspondiente a la tec-
utilizar los conceptos ya reconocidos de este nología.
1. Proyecto Expopyme de Proexport.
2. Proyecto para el desarrollo de una interfaz de multimedición con tecnología microelectrónica española.
3. Proyecto para caracterización hidráulica de cauces desde el punto de vista de concentración de iones utilizando los modelos
teóricos desarrollados.
4. Todo desarrollo científico es por naturaleza “provisional”. La palabra “final” hace referencia al estado de la propuesta en la cual
existe una certidumbre razonable de que los resultados son estadísticamente significativos, reflejando una convergencia de
principio entre la teoría y los datos experimentales recogidos.
94 Universidad de San Buenaventura, Cali-ColombiaDispersión Random Walk, irreversibilidad y velocidad...
Modelo teórico El primer miembro corresponde al promedio
de los diferentes desplazamientos elevados
Movimiento “Random Walk” al cuadrado. Las especificidades de cada tipo
de movimiento “Random Walk” se reflejan enDefinición básicaDefinición básicaDefinición básicaDefinición básicaDefinición básica
un mayor o menor valor del coeficiente E de
El movimiento de partículas totalmente al azar,
difusión, en el segundo miembro. El coeficien-
o “Random Walk”, se define normalmente co-
te 2 tiene que ver con el movimiento en una
mo un proceso en el que a partir de un punto
sola coordenada.
central donde hay una mayor densidad de par-
Históricamente el movimiento “Random Walk”tículas, ellas se dispersan hacia todos los la-
se ha asociado a la aplicación del Teoremados en procesos elementales “avance-laten-
Central del Límite, que permite calcular el efec-
cia-avance”, de manera completamente
to global aditivo de contribuciones aleatorias
independiente una de otra. Si se considera
(independientes). Ha sido, además, enfoca-
un movimiento unidimensional, entonces las
do como un caso particular de los llamados
partículas se mueven aleatoriamente a izquier-
“Esquemas de Markov”, que son generaliza-
da o derecha mediante un mecanismo de
ciones del concepto de ensayos (sucesos se-
decisión similar al tiro de “cara” o “sello” de-
cuenciales aleatorios) independientes.
nominado “esquema de Bernoulli”.
Los sistemas condensados reales tienen sus
En la Figura 1 se muestran tres puntos de
partículas en constante movimiento, o sea con
latencia, de los cuales salen tres partículas, la un componente de energía cinética (función
primera y la tercera tomaron la decisión alea- de las velocidades de todas sus partículas)
toria (probabilidad ½) de ir a derecha, mien- pero también con interacciones potenciales
tras que la segunda tomó la decisión aleatoria entre estas partículas (función de las posicio-
(probabilidad ½) de ir a izquierda. nes de todas ellas). El componente cinético
de la energía es movimiento errático indepen-
Figura 1 diente para cada partícula, por lo que se pue-
de considerar “Random Walk”. Su ejemplo

1 2
3 más simple es el modelo de gas ideal en el
que la Ley de Distribución de Maxwell-Boltz-
mann ofrece información sobre cómo se re-
parten diferentes grupos de partículas enEl resultado final al cabo de un tiempo τ dado,
cuanto a su velocidad “en total desorden”,es que haya un desplazamiento macroscópico
como función de la temperatura. El movimientorepresentativo, proporcional a la raíz cuadra-
asociado a la parte potencial de la energía noda del tiempo, mediante la relación siguiente
ha sido fácilmente identificado ni calculado, y
o ecuación de difusión de Einstein- Smolucho-
se ha constituido en un gran obstáculo para
wsky:
la consolidación de las diferentes teorías mi-
2 (1) croscópicas, en especial la de los líquidos.X = 2Eτ
Revista científica Guillermo de Ockham. Vol. 3, No. 1. Enero-Junio de 2005 • ISSN: 1794-192X 95Constaín • Carvajal • Carvajal • Lemos
Ampliación del concepto “Random Walk” enfoque tipo “distribución” (segundo caso) es
Contemporáneamente I. Prigogine ha pro- una forma práctica de manejo de la ignoran-
puesto un nuevo rol para el movimiento “Ran- cia debido a la gran complejidad aparente del
dom Walk” con base en los desarrollos de la sistema.
“termodinámica de los procesos irreversibles”,
Figura 2
en los que los movimientos de las partículas
p
Punto que interactúan mediante fuerzas potenciales
Único
son interpretados también mediante este mo-
delo de puro azar. Para comprender esta in-
novadora propuesta se debe analizar con al-
Distribución de gún detalle el gran esfuerzo que ha realizado
Puntos
5el llamado Grupo de Bruselas para elucidar
el problema de la irreversibilidad como una
q
“flecha del tiempo” y de la naturaleza de los
Para aquellos sistemas con interacciones tran-
movimientos de las partículas correlacionadas
6sitorias, ambas representaciones son equiva-
en los procesos disipativos en donde hay un
lentes: Las trayectorias se pueden deducir de
aumento de la entropía.
las distribuciones de probabilidad. Para siste-
El concepto de trayectoria sirve para puntuali- mas con interacciones persistentes esa equi-
zar el análisis de las innovaciones conceptua- valencia se pierde completamente y la descrip-
les que ofrece la teoría de Prigogine con res- ción probabilística es mucho más completa que
pecto a los sistemas irreversibles. la de trayectorias. La razón es que, como expli-
Una trayectoria se define como el conjunto de ca Prigogine, cuando ocurre un intenso proce-
par ordenados momento-posición (p, q) en so de colisiones aparecen fenómenos de aco-
el espacio de fases que se puede relacionar plamientos de frecuencia entre los diferentes
con la solución de la ecuación diferencial que grados de libertad, expresados como compo-
describe el movimiento de la partícula. La teo- nentes espectrales. Estos acoplamientos son
ría convencional ofrece una descripción de las responsables por divergencias en las trayecto-
trayectorias bien como secuencia ordenada rias, como lo indicó en su momento H. Poincaré,
de puntos únicos (las trayectorias propiamente lo que hace imposible el cálculo sistemático
dichas) o bien como “distribución de probabi- de las mismas y, por lo tanto, intrínsecamente
lidad”, conjunto extendido de puntos que si- menos completo su contenido de información.
mulan una visión borrosa de la curva (Figura Es lo que modernamente se llama “depen-
2). Este doble enfoque es conocido desde dencia sensible de las condiciones iniciales”,
los trabajos de Gibbs y Einstein, en los que el por cuanto dos puntos iniciales cercanos ar-
5. Grupo multidisciplinario de científicos en Bélgica y Estados Unidos que han contribuido con teorías y verificaciones computacionales
al desarrollo de la “Termodinámica de los procesos irreversibles”. Fue dirigido por I. Prigogine hasta su muerte en 1996.
6. Son aquellas interacciones en las que las partículas se comportan como “entes libres” la gran mayoría del tiempo. Lo contrario
son “interacciones persistentes”.
96 Universidad de San Buenaventura, Cali-ColombiaDispersión Random Walk, irreversibilidad y velocidad...
a cara y sello, o sea con probabilidades ½bitrariamente en el espacio de las fases, pue-
den llegar a evolucionar separándose expo- para un sentido o para el otro, característica
fundamental del esquema “Random Walk”.nencialmente hasta quedar muy lejos uno del
otro. Esto implica que en este proceso un pun- Entonces, de manera simplificada, se puede
to único, típico de una representación de tra- afirmar que el tipo de movimiento completa-
yectoria, evolucione hacia una distribución de mente al azar cubre el conjunto de los movi-
probabilidad en un proceso muy parecido a mientos erráticos de la materia condensada
un movimiento “Random Walk” (Figura 3). en condiciones diversas y está presente en
Figura 3 movimientos independientes de las partícu-
las libres que contienen la energía cinética (tér- p
Punto
mica) pero también en los movimientos de-Único
pendientes de las partículas que colisionan,
interrelacionadas mediante un campo poten-
cial. Esto ocurre en los sistemas que presen-
Distribución de
Evolución tan condiciones de irreversibilidad, o sea conPuntos
difusiva
“Random Walk” producción de entropía.
q
Físicamente, la forma esquemática en que
esto ocurre se relaciona con el modelo de Ecuación del transporte
partículas “libres” que colisionan en secuen-
Para poder entender cómo se relacionan pos-cias aleatorias, estableciendo un vínculo po-
teriormente los aspectos del movimiento ad-tencial (función de la distancia), el cual puede
vectivo (ordenado, macroscópico) con los delrepresentarse como un proceso de acople
movimiento difusivo (desordenado, microscó-entre un oscilador y un campo definido por
pico) en un cauce natural, es necesario ahoramodos, según las resonancias de Poincaré,
hacer una revisión resumida de los principa-que generan un movimiento “Random Walk”
les lineamientos de la difusión como meca-en las partículas consideradas, gracias a la
nismo de transporte.aleatoriedad de las fases asociadas a los mo-
dos del campo. Matemáticamente estos pro-
Interpretación clásica de la ecuación
cesos se describen a partir de transformacio- unidimensional de transporte de masa
en un flujo turbulento
nes que muestran la ruptura de la simetría
Dos son los principales procesos de transportetemporal y que son ampliaciones muy com-
de masa que se plantean usualmente: La difu-plejas de esquemas básicos de aplicaciones
sión y la dispersión. Ellos son definidos paracaóticas, como la “aplicación del panadero”,
las tres dimensiones, pero por simplicidad seque realiza su proceso estocástico mediante
considera sólo la coordenada longitudinal.patrones simples de “puro azar”, como son
La difusión se define como el proceso de mez-las “selecciones de Bernoulli”, muy similares
cla aleatoria por la presencia de colisiones tér-a las que se pueden hacer con una moneda,
Revista científica Guillermo de Ockham. Vol. 3, No. 1. Enero-Junio de 2005 • ISSN: 1794-192X 97Constaín • Carvajal • Carvajal • Lemos
micas y colisiones asociadas a la turbulencia. Por último se considera la dispersión longitu-
La dispersión se define como el proceso de dinal, que se agrega sumando un tercer térmi-
“ruptura” de manchas de trazador, o sustan- no a la ecuación general en función de fluctua-
cia de prueba, que avanzan en sentido longi- ciones de concentración y velocidad en el
tudinal, debido a la presencia de gradientes espacio, c´´ y u´´, que se integran con una
erráticos de velocidad. barra doble en el espacio asociado a la sec-
ción transversal considerada:Tradicionalmente, tanto difusión como disper-
sión han estado descritas por las ecuaciones
2∂C ∂C ∂ C ∂(−u´´c´´)
clásicas del transporte que involucran leyes +U = (D +e ) + (6)x T x 2∂t ∂x ∂x ∂x
de conservación. La forma más básica de difu-
sión corresponde a la difusión térmica o movi- También se plantea una analogía con la Prime-
miento browniano propiamente dicho. Aquí C ra Ley de Fick, que permite definir un coefi-
es la concentración de trazador, U es la velo- ciente de dispersión, K :x x
cidad media medida en el plano que avanza
∂C
u´´c´´ = −K (7)sobre la sección transversal y el coeficiente x ∂x
de difusión térmica es D .T
Por lo tanto,
2∂C ∂C ∂ C
+U = D (2)x T 2∂t ∂x ∂x 2∂C ∂C ∂ C
+U = ( D +e +K ) (8)x T x x 2Le sigue la difusión turbulenta, la cual agrega ∂t ∂x ∂x
un término en función de las fluctuaciones tem-
Al factor en paréntesis se le asigna la letra E yporales de concentración c´ y velocidad u´,
se le llama genéricamente coeficiente de di-cuyo producto se integra en el tiempo me-
fusión-dispersióndiante la barra simple, como se muestra en
seguida:
2∂C ∂C ∂ C
+U = E (9)x 2
2 ∂t ∂x ∂x∂C ∂C ∂ C ∂(−u´c´)
+U = D + (3)x T 2∂t ∂x ∂x∂x
Interpretación clásica del coeficiente
de difusión-dispersión
En este caso se plantea una analogía con la
Una interpretación usual del coeficiente gene-
Primera Ley de Fick, que permite definir un
ral de difusión-dispersión implicaría un análi-
coeficiente de difusión turbulenta e .x
sis de las fluctuaciones de velocidad y con-
centración, tanto en el tiempo como en el∂C
u´c´= −e (4)x ∂x espacio, como se muestra en la siguiente
ecuación:
Por lo tanto,
u´c´ u´´c´´
E = D +e +K = D + +T x x T2 ∂C ∂C   ∂C ∂C ∂ C (10)   +U = ( D +e ) (5)x T x 2 ∂x ∂x  ∂t ∂x ∂x
98 Universidad de San Buenaventura, Cali-ColombiaDispersión Random Walk, irreversibilidad y velocidad...
Este análisis no está exento de problemas for- muestra que las fluctuaciones debidas a la
males y metodológicos. Primero: el manejo dinámica irreversible (caótica) pueden llegar
de las fluctuaciones, tanto en el tiempo como a ser de un orden de magnitud similar a la
en el espacio se realiza sobre la base de ex- media y, por tanto, de gran envergadura; violan-
presiones integrales, las cuales para los cálcu- do el Teorema Central del Límite. Las fluctua-
los reales, en el caso de cauces naturales, se ciones que se manejan en la teoría convencional
expresan por aproximaciones de sumatorias del transporte de masa no son exactamente
de incrementos, algunas veces de gran com- iguales a las que se sabe que existen, impli-
plejidad y discutible exactitud. Segundo: para cando esta asimetría un problema ciertamen-
las fluctuaciones espaciales integradas sobre te difícil de manejar si se parte de una natura-
la sección transversal de avance del trazador leza exclusivamente gaussiana para las
(segundo sumando del miembro de la extre- fluctuaciones.
ma derecha) se imponen restricciones espe-
Fenómenos de difusión-dispersión enciales relacionadas con la naturaleza no-fickia-
función del movimiento “Random Walk”
na del avance del trazador. En efecto, en el
Ya se ha señalado como las presunciones de
desarrollo de las ecuaciones 6 y 7 se supuso
naturaleza fickiana son utilizadas para la difu-
que la fluctuación de velocidad u´´, adelante
sión turbulenta y para la dispersión en las apro-
y atrás de un plano que barre la sección trans-
ximaciones convencionales para la teoría del
versal, moviéndose con U , sólo dependía delx
transporte de masa en los flujos naturales
gradiente de concentración de trazador y del
(ecuaciones 4 y 7). Esto en realidad significa
coeficiente general de difusión-dispersión; pe-
un apoyo no formalizado a una interpretación
ro ello no es así en situaciones iniciales en las
del movimiento errático del flujo en forma de
que se presenta una velocidad mayor en el
movimiento “Random Walk”. Se tratará ahora
frente del trazador y una velocidad menor en
de explorar una base racional más firme para
su “cola”. Se debe esperar a que su curva de
esta presunción.
trazador tenga una forma más simétrica, más
El primer análisis tiene que ver con el cumpli-fickiana, para que las ecuaciones propuestas
miento del movimiento “Random Walk” de lastengan toda su validez.
condiciones más simples que requiere la
Tercero, y quizá lo más importante, es que las
ecuación básica del transporte para ser váli-
fluctuaciones como normalmente son entendi-
da. Se rescribe, entonces, la ecuación básica
das se enfocan como una magnitud cercana
del transporte (Ecuación 9):
a la varianza de la distribución en estudio. Si
esta distribución es gaussiana, como normal- 2∂C ∂C ∂ C
+U = Exmente lo es en los casos notables, entonces 2∂t ∂x ∂x
la varianza normalmente es mucho menor que
el valor medio, o sea cumpliendo con la ley El cambio de concentración con el tiempo va
de los grandes números (y con el teorema a depender de un movimiento ordenado (ad-
central del límite, naturalmente). Prigogine de- vectivo) y de un movimiento desordenado (di-
Revista científica Guillermo de Ockham. Vol. 3, No. 1. Enero-Junio de 2005 • ISSN: 1794-192X 99Constaín • Carvajal • Carvajal • Lemos
fusivo). El movimiento advectivo puro, que co- conveniencia de disponer de argumentacio-
nes con la adecuada parsimonia de nivelesrresponde al segundo sumando del primer
gnoseológicos, en los que fenómenos sufi-miembro, comprende el movimiento de to-
cientemente generales sean referidos a mode-das las partículas en el dominio considerado
los igualmente generales. Las fluctuaciones,que tengan exactamente la velocidad media
como se han definido y utilizado en la teoríaU . El movimiento difusivo puro correspondex
clásica del transporte de masa, son un con-al miembro derecho de la ecuación, compren-
cepto importante, pero no el más significativode las partículas restantes en el dominio que
ni el más conveniente. ¿Por qué no utilizar di-se mueven con velocidad diferente de U . Porx
rectamente el concepto general que subyacetanto estos dos tipos de movimientos son mu-
en todos los movimientos accidentales quetuamente excluyentes en el sentido en que
se pueden identificar en el movimiento delno interfieren entre sí. Por esta razón la estructu-
fluido?ra del segundo movimiento tiene que ser de
Si se redefine el proceso de difusión-disper-tal forma que no presente alguna contribución
sión en función de un movimiento “Randomal primero, o sea algún componente que pue-
Walk” no es necesario apelar a las fluctuacio-da adicionar el valor exacto de U . La formax
nes ni a su complicada manipulación algebrai-más simple en que esto se puede garantizar
ca para los casos prácticos concretos, sim-es que todos los movimientos aleatorios se
plemente se formula una ecuación de Einsteinneutralicen mutuamente dando un resultante
-Smoluchowsky, que comprenda todos losneto de cero. El movimiento “Random Walk”
movimientos, tanto de difusión como de dis-cumple con este requisito, pues tiene la parti-
persión. Siguiendo estos lineamientos, se pue-cularidad de que cualquier movimiento que
de definir el coeficiente de difusión-dispersión
se presente (en dirección y módulo) es neutra-
como:
lizado por otro exactamente contrario, condi-
2ción derivada de la equiprobabilidad y homo- X
E = (11)
2τgeneidad de los diferentes movimientos g
erráticos que este modelo matemático con-
2Aquí X es el desplazamiento cuadrático
lleva.
medio resultante y τ es un tiempo caracterís-g
El segundo análisis compete a unas necesi- tico general, dependiente de los tres tipos de
dades epistemológicas más profundas, como transporte involucrados: difusión térmica, difu-
la urgencia de unificar las descripciones micro sión turbulenta y dispersión.
y macroscópicas derivadas de la convergen-
Ecuación de velocidad del flujo paracia hallada recientemente entre dinámica y
el régimen no uniforme que se ha
propuestotermodinámica a un nivel funcional, que permi-
Consideraciones generalesta reinterpretar la turbulencia como un fenóme-
no caótico que se encuadra perfectamente Partiendo de una naturaleza “Random Walk”
en esta teoría contemporánea. Y también la para todos los movimientos erráticos en tur-
100 Universidad de San Buenaventura, Cali-ColombiaDispersión Random Walk, irreversibilidad y velocidad...
bulencia de flujos, se puede proponer un des- Vdifφ(t) = (15)plazamiento de este tipo para la masa del tra- Ux
zador vertido súbitamente aguas arriba del si-
Donde φ (t) es una función decreciente deltio de observación, que evoluciona en el fluido
8tiempo que conlleva la información de la asi-
2 (12)Δ = 2Eτ
metría de la riada del trazador, como reflejo
Aquí Δ es la longitud característica de difu- de la evolución termodinámica del mismo.
sión-dispersión que recorre el 68% de la masa Entonces, se llega a la definición de una veloci-
del trazador en un tiempo característico τ y E dad advectiva delimitada sólo por el cumpli-
es el coeficiente unidimensional de dispersión. miento para su movimiento aleatorio del mo-
Si se define la velocidad de difusión “Random delo “Random Walk” y, por lo tanto, aplicable
7Walk” de la masa del trazador como: a todo tipo de régimen hidráulico.
Δ
1 2EV = (13)dif U = × (16a)τ x φ τ
Entonces:
Esta ecuación tiene una estructura similar a la
2E relación clásica de Chezy para flujo uniforme,
V = (14)dif
τ en la que un coeficiente de resistencia al flujo
C, se multiplica por la raíz cuadrada del pro-
Como el vertimiento del trazador perturba el
ducto “pendiente” S y “radio hidráulico” R.
equilibrio electroquímico en ese entorno, de
(16b)acuerdo con el principio de Le Chatelier, el U =C × RSx
proceso de difusión-dispersión de esta masa
La nueva ecuación y su interpretacióntratará de restaurar el equilibrio. Y la velocidad
en un contexto hidráulico básico
de difusión será al principio muy grande y lue-
Entonces, la ecuación 16a no está ligada ago irá disminuyendo, en la medida en que el
que el régimen sea uniforme, a que haya unasistema perturbado restaura el equilibrio. Esto
constancia de la velocidad del flujo en el cau-implica que la masa del trazador, como un
ce, pues en régimen no uniforme se tendrántodo, es transportada por el agua con una ve-
condiciones más cercanas a una mezcla ideal.locidad media advectiva (ordenada) de U ,x
En seguida, se indicará cómo se puede inter-pero que, además, es dispersado en propor-
pretar esta situación.ción al valor de U , como causa real de lasx
Considerando cierta sección transversal en uninestabilidades dinámicas en la hidráulica de
cauce, si existe un campo de velocidad en laun proceso así. Por esta razón se podrá esta-
dirección “X”, definida sobre una muy delga-blecer una relación directa entre la velocidad
da cinta en el eje Y, la cual puede ser funciónadvectiva U y la velocidad difusiva V .x dif
27. Estrictamente, Δ debería escribirse para connotar su significación estadística.Δ
8. A partir de un cierto momento, tal como se explica en el apartado 3.5.3
Revista científica Guillermo de Ockham. Vol. 3, No. 1. Enero-Junio de 2005 • ISSN: 1794-192X 101Constaín • Carvajal • Carvajal • Lemos
del tiempo, se puede aceptar que cada vector Ahora, considerando un infinito número de
de velocidad elemental cae en el centro de secciones transversales a lo largo de la coor-
denada longitudinal X, entre límites a y b, seuna longitud elemental Δy, entonces, es posi-
puede definir una velocidad media del flujoble que se tenga una velocidad media para
como sigue:cada una de esas cintas en la dirección X,
ubicada también en el centro de la cinta, como
b
u ψ (x,t) dxse ve en la Figura 4: x∫
aU =x bMatemáticamente se puede expresar así: (20)
ψ (x,t) dx∫
au Δy +u Δy + ...... +u Δy1 1 2 2 n nu =s (17)Δy + Δy + .... + Δy1 2 n Figura 5
Velocidad actuando en el centro de masa
Esta velocidad media en la dirección X para la de la superficie
cinta puede ser escrita en una forma más

exacta, considerando una distribución conti-
nua de velocidad para la cinta u(y) y, enton-
ces, integrando apropiadamente:
Figura 4
Distribución de us
…......
..
u
x
Δy Aquí u , definida como en la ecuación 19 esxy
u s una distribución continua de velocidad defini-
da sobre todos los centros de masa de todos
los planos (secciones transversales) del cau-
z ce a lo largo de X, y ψ(x ,t) es una función
x
ponderadora que representa la masa relativa
que es movida en cada centro de masa con
u(y)dyu Δy∑ ∫i i u . Así mismo, a es el punto de inicio y b es elxu = lim =s i→∞ (18)Δy dy∑ i ∫ punto final de la integración (Figura 6).
De la discusión precedente, es claro que laEntonces, es fácil extender la operación a una
definición de u puede ser aplicada a un régi-superficie (YZ) definiendo una velocidad me- x
men de flujo variado porque la integral defini-dia u para toda la superficie, actuando cadax
da en la ecuación 20 no tiene restriccionesvector en su centro de masa (Figura 5).
para los valores locales de la velocidad u . Enx
u(y,z)dydz∫∫ sentido general, u es una función del tiempo,xu =x (19)
dydz∫∫ de la misma forma que ψ(x, t), y entonces ux
102 Universidad de San Buenaventura, Cali-Colombia

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