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• Publié par: esutufok
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• Langue: Français

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Sylvain POIRIER http://spoirier.lautre.net/

Relativit´erestreinteet initiationa`laphysiquemathe´matique

1.Introductionge´ne´rale 1.1.Qu’est-cequelasciencemath´ematique? Pourledirebri`evement,c’estl’e´tudedessyst`emes´eventuellementinfinismaisconstitue´sde pursobjets´ele´mentaires,dontl’existenceestabstraite,inde´pendantedumondeext´erieur.Chaque constituant(e´l´ement,relation. . .ˆed’eetrlereitfaelueutanpasesruopyeaxtcd,tuedec)`tmesssy “toutourien”:deuxobjetssonte´gauxoudiffe´rents,sontreli´esounesontpasrelie´s,uneop´eration donneunr´esultatexactement. . . Lechoixdetelssyste`mes`ae´tudierestlui-mˆeme´egalementunchoixmath´ematique,encesens qu’ilestdonne´pardesconditionsdecomplexit´elimite´e(contrairementparexemple`alabiologiequi d´ependdeschoixarbitrairessecre`tementaccumul´esparlaNaturependantdesmilliardsd’ann´ees). La science th´ tique est ainsi autonome par rapport aux contingences de notre Univers, mais ma ema peuttoujourss’appliquer`achacundesinnombrableslieuxouaspectsparticuliersdecedernierou` detellessituationsdecomplexite´limit´eepeuventserencontrer. Bienquecesobjetssoientdenatureind´ependantedetouteformederepre´sentationsensible(ou apparence)particulie`re,onnepeutlescomprendrequ’enselesrepr´esentantsousunecertaineforme. Ilpeutyavoirplusieursformulationsoumani`eresdeserepre´senterunemˆemeth´eorie,toutese´tant rigoureusemente´quivalentesentreellesmaisleurefficacite´,leurpertinencepeuteˆtretresdiff´erente. ` Leplussouvent,leside´essontd’abordd´evelopp´eessousformed’intuitions,d’imaginationsplusou moinsvisuelles,puiscristallise´esendesformulesetdesphraseslitt´erairespoureˆtrecommunique´es, e´critesoutravaille´essouscesautresformes.Etonnepeutselibe´rerd’uneformederepre´sentation particuli`erequ’end´eveloppantd’autresformesderepre´sentationetens’exer¸canta`traduireles objetsetlesconceptsd’uneforme`al’autre. 1.2.Qu’est-cequelage´ome´trie? ´ Etymologiquement, le motrteimoe´ge´ne,uneal’origiodts`,cn”erre’C.deretelae“ifisumeisng sciencereli´eea`lare´alit´econcre`te:celledel’espacequinousentoure,oucelledesplans:celui du sol lorsqu’il est plat, ou de toute surface plane (papier, tableau. . .), que l’on peut voir et sur laquelleonpeutdessinerfacilement.Lege´om`etregrecEuclideenae´critlepremieruneformulation axiomatiquedanslecasduplan,d’ou`lenomdo´`lage´ome´trieplaneusuelle. nne a La´eom´etrieeuclidienneestainsilapremi`ereequisyhpeiroe´htneeu´ethieorthma-e´ir-d`at-esc’, g matiquequimod´eliselar´ealit´ephysique,enl’id´ealisant:tandisquedeuxpointstropproches l’undel’autrepeuventdifficilementeˆtredistingu´espardesmesuresphysiques,enmath´ematique ilfauttrancher:ilssontsoite´gaux,soitdistincts(ainsi,entredeuxpointsdistinctssetrouvent d’autrespoints,etainsidesuite:dansunsegmentdedroitedelongueurfinieilexisteuneinfinit´e depoints).Etontrancheauplussimple:cetteg´eom´etriesed´efinitcommee´tantlaplussimple theorieduplanoudel’espaceenaccordavecl’expe´riencephysiquehabituelle.C’estaussil’unique ´ the´oriedanslaquelleestvraiexactementtoute´nonce´simplequisemblevrai,auxincertitudesde mesurepre`s,pourcettemeˆmeexpe´rience. Pourunmath´ematicienmoderne,lemot“g´eom´etrie”d´esignelenomdefamillequeportent ungrandnombredeth´eoriesmath´ematiquesquiontentreellesplusoumoinsdeliensdeparent´e, notamment le fait qu’il est plus ou moins possible de les visualiser, d’en dessiner des figures. D’un pointdevuemath´ematique,ellessonttoutese´galement“vraies”,serapportanttoutesa`desrealite´s ´ mathe´matiques(desensemblesde“points”. . .). 1.3.Commentpeut-onvisualiserd’autresg´eom´etries? 1

Maiscommentvisualise-t-onlag´eom´etrieeuclidienne,d’abord?Ellen’estpascellequel’on voitatlahcuedpmisivsenoarlag´eom´etrieddriceetemtnc,gom´euteri´qeesrphi´e. En effet, la vue d’un point ne nous renseigne que sur la demi-droite issue de l’œil auquel ce pointappartient;etcettedemi-droitepeutserepre´senterparsonpointd’intersectionavecune sphe`recentr´eesurl’œil.Lorsqu’onbougel’œilet/oulatˆete,lamodificationdecequ’onvoit corresponda`unerotationdecettesph`ere.L’exempleleplusclairencesensestceluidesobjets astronomiquesdontonnep¸itquel’imagesurla“sphe`rec´eleste”(quitournea`causedela erco rotationdelaTerresurelle-meˆme). Maislag´eom´etrieeuclidienne(duplanoudel’espace)estseulementcellequ’onaleplus l’habitude deconcevoir. Enimaginant une image de dimension 2 (sur la effet, en voyant ou en sphe`redevision),onattribuea`chaquepointunesensationdeproximite´oud’e´loignement,eton estfamilieraveclamani`eredontcetteperceptionsetransformelorsqu’ontournel’objetouqu’on changedepointdevueparrapport`alui.C’estcettefacult´e,fruitd’uneconstructionmentale, quiconstituenotrecompr´ehensiondelage´ome´trie,etnotreagilit´ea`l’employerenrendl’usage tellementfacilecommeceluid’unesensation´ele´mentaire,quesoncaracte`reindirectenestpresque anecdotique. Or,laperceptionintuitivedesautresge´om´etriesrele`vedumeˆmeprincipe:celuiquiconsiste`a voirune chose pour enconcevoirecnoca`rinevraproutp.Ereuteaunsrteimoe´gse´utreid’aainsvoir ’appuyantsurunevisionqui(h´las)demeurelamˆeme,unbonmoyenestdetravaillersurcette en s e facult´edeconcevoirl’espaceeuclidien,enlaparticularisant,enlamodifiantouenlag´ene´ralisant. (Maisensuite,ilestvraiquecelienaveclavisionnesepr´eservepasfacilement,etqueletravail deconceptiondevientplusintenseettraduitenformulesavecunroˆledelavisionrelativement moindre). Parexemple,onpeutconcevoirdesespaces(euclidiensounon)dedimensionsup´erieurea ` 3.Ilsnecomportentmathe´matiquementaucuneve´ritablenouveaut´eparrapport`aladroite,au planeta`l’espaceusuel,meˆmesil’absencetotaled’exp´erienrt`xdonneauxnovices ce par rappo a eu l’impressiond’unedifficulte´insurmontable.Pourconcevoircesespaces,onpeutparexemplesedire qu’onnevoitquedeuxoutroisdimensionsenmˆemetempssousformedecoupeoudeprojection, maisqu’ilyenad’autresenr´eserve,onpeutleschanger. . . 1.4Lage´ome´trieeuclidiennede´crit-elleexactementl’espacephysique? Non.Nonseulementletempss’yajouteenrelativit´erestreintepourformerunespacede dimension4quin’estpaseuclidien(l’espace-temps)etestplusr´eel(prochedelare´alit´ephysique) quenotreespacededimension3usuel,maismeˆmesionserestreint`aconsid´erersonapparence d’espacededimension3,lath´eoriedelarelativite´g´en´eralenousenseignequ’enre´alite´,cetespace, pourautantqu’onpuisseencorelemesurer,n’ob´eitpasexactta`l´´trieeuclidienne emen a geome (inde´pendammentdetoutequestiondemate´rialisationdesobjetsoudepr´ecisiondesmesures). Biensuˆr,l’erreurdelesupposereuclidienestextrˆemementfaible,plusencorequed’autreserreurs beaucouppluscompr´ehensiblesetde´ja`courammentn´eglige´es:lorsqu’oncartographieuner´egion delaTerre(deform``arre´eparexemple)detailleLilanssimner´t`aulna’e,u’dnoigen e a peu pres c plan,l’´eome´tiquenormaledue`alarotondit´edelaTerrevaut(endistancesurleterrain) erreur g r L 3 R 2 o`uRTarednlearoytsel0kme=637uruopmc4,2elpmexrepaitfauieq,crenlargedener´egio 10 km. Celledue`alarelativit´ege´ne´rale,quimesuredonclememetypeded´ecallageparrapport ˆ `alage´ome´trieeuclidienneplanemaisconcerneleplantangenta`laTerreetconstitueuneffet suppl´ementaireparrapporta`celuiqu’oncalculeraitentermesdelaseulerotondit´edelaTerre, vaut 2L 3 g Rc 2 o` 9,8.s −2 ’acc´el´estlpesenaetrruetteaoidnc= 3.10 8 m.s −1 .imulere`essedelaestlavit ug= m Elleestdonc720millionsdefoisplusfaible(pr´ecise´ment,pourn’importequeller´egionchoisie);

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danslecasdelamesuredelaTerreenti`ereaulieud’unere´gion,l’erreurestdel’ordredequelques centime`tres.Ainsi,´etantdonn´eunchoixd’“e´quateur”parfaitementcirculaire,salongueurest inf´erieure`asadistanceaucentremultiplie´epar2πr´lpcualecslai(mnaecidtsedascesintreauce d´ependdelare´partitiondelamassedelaTerreentrelesdiffe´rentesprofondeurs). Simaintenantonconside`reunplanvertical,uneautreerreursurvient,elleaussiplusforteque celleissuedelarelativit´eg´en´erale:lesolidedelongueurLque l’on tourne pour comparer des longueurshorizontalesetverticalessede´formesoussonproprepoids(ils’´etires’ilestpendu,ilse contractes’ilestpos´e),d’uneamplitudedel’ordrede

L 2 g c 02 ou`c 0 snadnosudessetivtfesui,qdelisolee´iritfnmenero´c`aeureestlac`aersella’taipvrit´ed restreinte. Del’autrecoˆt´e,laphysiquedel’infinimentpetitposeactuellementtellementdeproble`mes quecertainsphysiciensth´eoriciensenvisagents´erieusementquelesconceptsusuelsdege´om´etrie neseraientplusvalablesa`l’e´chelledePlanck(quiestbienpluspetitequelapluspetitedistance pour laquelle le comportement des particules est actuellement connu). 1.5.Qu’est-cequelaphysiquemathe´matique? ´ Etat des lieux Ilyadeuxtypesdetravauxenphysiquemath´ematique:laphysiquefondamentaleetla physiqueapplique´e.Lapartiethe´oriquedelaphysiqueappliqu´eeconsisteessentiellementa`d´eve- lopperlesconse´quencesdelaphysiquefondamentale`al’aided’approximationsadapte´es(ens’aidant parfoisdel’expe´riencequandlesapproximationssonttropdifficiles`are´alisersurleplanthe´orique). Lapartiephysiquedecetouvrageaurapourbutdepr´esenterdesthe´oriesphysiquesfondamen- talesbien´etabliesetlargementve´rifie´esa`cejour,desplussimples(math´ematiquementsimpleset prochesdel’expe´riencecourante)auxplus´evolu´ees(mathe´matiquementsophistiqu´eeseta`labase del’explicationduplusgrandnombredeph´enom`enes).Maiscetordrederangementn’estpas strict.Dupointdevuedela“r´ealite´physique”,seuleslesdernie`resauraientletitredeth´eories physiquesfondamentalespuisqu’ellessontphysiquementplusfondamentalesetpre´cis´ementcon- formesa`lare´alite´quelespremi`eresquin’ensontquedesre´sultatsetapproximations;maisil setrouvequel’ordrep´edagogiquedesthe´oriesfondamentales(l’ordredelacompre´hensiondans leurapprentissageetlesensintuitifdonn´eauxnotions)estplusoumoinsl’inversedeleurordre ded´ependanceentantqueth´eoriesphysiques.(C’estfinalementlogiquepuisquesiunethe´orie Autiade´ce´rpieneth´eorBarestino,tsalcqugienem´etpgodauqmeneetiopsyhis`alafBdans la physique appliqu´ ). ee D’abordilyalam´ecaniqueclassique,celledeGalile´eetNewton,quitraitedesforceset desmouvements;laloidelagravitations’y´enoncesimplement.Apartird’elleonpeutavancer dansdeuxdirections,quisontlesdeuxtypesdephysiquemodernequis’opposenta`laphysique classique:d’unepartlaRelativit´e(restreintepuisge´n´erale),d’autrepart,laphysiquequantiqueet laphysiquestatistique,quisontdeuxth´eoriesparenteset´etroitementlie´esentreelles.Cesthe´ories serontintroduitesplusende´tailsdansleschapitrescorrespondants. Nousnepre´ciseronspaslesjustificationsthe´oriquesetexp´erimentalessurlesquellesrepose leurreconnaissance,carcesjustificationssontactuellementinnombrablesetparmielles,celles`a l’originehistoriquedeleurd´ecouverteontde´sormaisperdutoutcaract`ereprivil´egi´e. Unetellede´marchepe´dagogiqued´ebarrass´eedesquestionsdejustificationexpe´rimentaleest largementsatisfaisantedufaitquecesth´eoriesbien´etabliesetv´erifi´eesavecuneextreˆmepr´ecision, englobentd´eja`dansleurdomained’applicationlaplupartdesexp´eriencesdephysiquer´ealisables. Cependant,beaucoupdecesexpe´riencese´chappentenpratique`acettere´duction`acausede l’extrˆemecomplexit´edeleurexpressionth´eorique,oudesdifficulte´sparfoisinsurmontablesde lar´esolutiondesproble`mesmath´ematiquescorrespondants. Ceci ne fait pas de la physique fondamentale une science morte pour autant, car non seule- mentlesth´eoriese´tabliessontmanifestementincompl`etes(larelativit´eg´en´eraleetlaphysique 3

quantiquesontdifficilementconciliablespourdesraisonsimpossiblesa`vulgariser),maislath´eorie quantiquesoussaformecompl`etecompatibleaveclarelativite´restreinte(the´oriequantiquedes champs)s’av`ere,auniveaufondamental,d’unecomplexite´quasi-insondablemanquantd’unfonde- mentmath´ematiquebienclairsurlequelreposer,etletravaildereformulationa`larecherched’un meilleur fondement demeure actif. Aspects philosophiques Mˆemesionsupposaitquelesobjetsphysiquesaientunenature,nousnepourrionsdetoute mani`erepaslaconnaıˆtreparl’exp´eriencecartoutesnosperceptionspassentparunetraduction desph´enom`enesexte´rieursenlaconsciencequ’onpeutavoird’eux.Donc,lemieuxqu’onpuisse faireestd’´etudierlemondephysiqueentantquesyste`memathe´matique,cequinouslaisselibres denouslerepr´esentersousdesformessansrapportaveccellessouslesquellesnouslepercevons habituellement.Expliquonscelaend´etails: Aumoinsjusqu’a`maintenant,ilsemblequetoutepre´tentiona`direqu’une´l´ementdel’ima- ginationseraitplusqu’unautreressemblanta`la“vraienature”d’uncertaine´l´ementdelar´ealit´e physique est vaine, parce qu’il n’existe aucun moyen de comparer ces natures : toutes nos percep- tionsdumondeexte´rieursontindirectes,traduitesparnotrecorpsenimpulsionsnerveuses,quele cerveauretraitepourendistinguerlesformesglobales.Donc,dumondephysiqueexte´rieur,seules lesstructures,c’est-a`-direlesrelationsentreleschoses,sontaccessibles`anossensetpeuventfaire l’objetdenosdiscours,nonunequelconquenatureontologique.Etdetoutemanie`re,comment espe´rerqu’unobjetphysiquepuisseavoirunequelconqueidentite´denatureavecunph´enom`ene mental ? Par exemple il n’y a aucune ressemblance de nature entre le sentiment d’une couleur et les qualite´sdesobjetsvus,quisontresponsablesdecettecouleur.Cettequalit´econsisteendes coefficientsd’absorptiondediff´erentesfr´equencesd’ondes´electromagne´tiquesparcesobjets,qui d´eterminentlacompositionenfr´equencesdelalumie`requel’oeilre¸coit.Puis,cen’estqu’unefaible partie de l’information sur cette composition que les cellules de l’oeil peuvent transmettre (suivant lesproprie´te´sdesmole´culesdanslare´tinequifontcetravail). ´ Egalement,nouspouvonsa`peineimaginerletemps,mˆemejusteconform´ement`alamani`ere dontnouslevivons,quimontreraitlanaturedecetteexp´eriencevivantedutempsau-dela`dela seuleformedeladroitequilerepr´esentemath´ematiquement:enaucuninstantnousnepouvons imaginerunedure´eentantquetelle,puisqu’uninstantnecontientaucunedur´ee;iln’yaque lesdure´esfuturesquin’existentpasencore,etlesdure´espass´ees,quenouspercevonsdansnotre souvenir.Maisd´eja`,unsouvenird’unedur´een’estplusunedure´e,carilnefaitquerepre´senter cettedur´eeparunecertaineautresensationinstantanee. ´ Ainsi,lapr´etentionded´ecrireleschoses“commeellessont”seraitvaine,oualors,cen’est plusdelaphysiquemaisdelame´taphysique,cequipeut´eventuellementsede´fendre`acondi- tiondel’annoncerclairement.Eventuellement,celapeutˆetreutilelorsqu’ontravailleavecune th´eorieprovisoirequ’onestentrainderemettreenquestionpourtenterd’enconstruireuneautre pluspre´cisecommeexplicitationdestructuressous-jacentesa`unestructuredonn´ee(parexemple, celaestpertinentpourpasserdesmolesauxmolecules,etdelathermodynamiqueclassique`ala ´ me´caniquestatistique).Maiscelan’alieuquedemani`ererelativeetnonabsolue,etn’estpasle casge´ne´ral. L’objetdelaPhysiqueestdoncdede´crirelesloisphysiques,c’est`-direl’expressionsous -a formedethe´oriemathe´matiquedesrelationsconstate´esentrelesre´sultatsdenosobservationsdu mondephysique,puisquec’estunecaracte´ristiqueg´en´eraledesmathe´matiquesquedes’inte´resser auxstructures,relationsentrelesobjets,etnon`aleurnature.Alors,entreplusieurspre´sentations mathe´matiquemente´quivalentes(outraductions)d’uneth´eorie,faisantdiffe´rentschoixdeformes d’imaginationpourrepre´senterteloutelaspectdelar´ealit´e,lameilleureestcellequipermetde saisircettethe´oriemath´ematiquedelamanie`relaplusfacileouefficace. L’intuitionquotidiennedumondephysiqueestadapt´ee`alacompre´hensiondesprobl`emesde laviequotidienne.Maislorsqu’onveutpassera`l’e´tudedesstructuresdelar´ealit´equiapparaissent dansd’autrescontextes,ilpeuteˆtrejudicieuxdemodifiercechoix.Maisdetoutemani`ere,un discourss’appuyantainsijudicieusementsurunsyste`meinhabitueldecorrespondancesentreobjets

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re´elsetformesd’imaginationemploy´eesa`lesrepre´senter,estdoncbiensuˆrpareillementvidede significationsurlavraienaturedecesaspectsouobjetsdelare´alit´ephysiquequetoutautre discours. Fauted’avoirunethe´oriecomple`tedelaphysique,onadesthe´oriespartielles,dontchacune concernelesproprie´t´esdsr´ltatsdesexpe´riencesd’uncertaindomaineexpe´rimentaldelare´alite´, e esu c’est-a`-direuncertaintyped’exp´eriencesavecuncertaindegr´edepre´cisiondesmesures(d´ependant desparam`etresdel’exp´erience).Aucoursdel’explorationdelaphysiquemathe´matique,onest amene´a`conside´rerunesuccessiondeth´eoriescorrespondant`adiff´erentsdomainesexp´erimentaux, deplusenpluslargesetdontlescons´equencesth´eoriquessontdeplusenpluspre´cis´ementen accordavecl’expe´rience(oudonnentdeplusenplusd’informationsa`luiconfronter). Chacunedecesthe´oriesestd’abordparnatureunethe´oriemathe´matique;sasignification physique(sontitredeth´eoriephysique)consistealors`aattribuera`chaqueexpe´riencedudomaine exp´erimentalconside´r´eunetraductiondanslath´eorie,c’est-a`-direuncertainsous-syste`med’objets delathe´oriequirepr´esentemath´ematiquementledispositifexperimentalutilise´. ´ Maisuneth´eorieaaussiunesignificationintuitive,quir´esidedanslechoixdelaformede repr´esentationlamieuxadapte´ea`lacompr´ehensiondelath´eorie.Danscetteexploration,beaucoup dethe´oriesg´eom´etriquesinterviennent,nonseulementpourrendrecompteducomportementde lamatie`re´evoluant`al’inte´rieurdel’espacequinousestfamilier,maisaussipourremplacercet espacelui-mˆemepard’autres(cederniercasn’arrivepassouvent:principalementenRelativite´ restreinte,Relativite´ge´ne´raleetcequiinclutlagravitationquantique).Et,parminosintuitions oucapacit´eshabituelles`apercevoirlemondephysique,lavisionestcellequiestlaplusclaire math´ematiquement,etlaplusfacile`aexercerpourpouvoir,avecelle,concevoirbeaucoupdeces the´oriesgeometriques. ´ ´ Ladifficult´eduna¨ıfa`remettreenquestionlaformedesesperceptionssepr´esenteaussien termesduprincipeder´ealit´e,suivantlequel“lar´ealite´physiqueexiste”quenouslapercevionsou pas,aunomdequoiilvoudraitcontinuera`penserleschosesentermesd’“objetsre´els”ouconcrets telsqu’illesper¸coithabituellement.Orleprobl`emen’estpasdesavoirsilar´ealit´comporte e ou nond’autresobjetsqueceuxdenotreexp´erienceouperception,cardetoutemani`erelesthe´ories physiquesaveclesquellesnoustravaillonsenpre´sentent.Leproble`meestdesavoirlesquels.Le naı¨fimaginecesobjetsdelare´alite´sous-jacente,qu’ilnepeutpercevoirdirectement,comme ressemblant`aceuxquiluisontfamiliers.Iln’apastoujourstort,d’ailleurs,danslamesureou`tel outelphe´nom`enequ’ilabesoind’expliquerpeutˆetredˆu`adesme´canismessitue´sdansundomaine expe´rimentalpluslargequesonexp´eriencecourante,maispasencoreassezpourquesonintuition cessed’eˆtrevalide,sonincapacit´e`aobserverdirectementcesm´ecanismessuivantcettemeˆme intuition´etantseulementcontingenteetrem´ediablepardesinstrumentsadapte´s(microscopes, te´l´escopes,etc.). Parcontre,lorsqu’enpoussantplusavantledomaineexp´erimentalonsetrouveconfronte´a` uneimpossibilit´eplusfondamentaled’affinerlesinstrumentsdemesurepourobserverlemeˆme typedeme´canismesre´elsexplicatifs,ilesttempsd’envisagerqu’ilyait`acelaunebonneraison: `asavoirqu’iln’existepasder´ealit´eexplicativeressemblanta`cequelena¨ıfvoudraitcroire,parce quelar´ealit´eestd’uneautreformequinepeuteˆtrecomprisequepardesmoyensdiffe´rents,en destermesdiff´erents . 1.6.Quelquesmotsdeg´eome´trieeuclidienne ´ Evoquonsicilesg´eom´etrieseuclidiennesdedimensions1,2et3.Cellededimension1(de ladroite)estlaplussimplemath´ematiquement;lesdeuxsuivantes(duplanetdel’espace)sont presquedecomplexite´´equivalente,etseronttrait´eesicidelamˆememani`ere. Notrevisionesthabitue´e`acomprendreleplanetl’espace,maissetrouveunpeulargepour parler de la droite : quelle droite ? horizontale, verticale. . .O?anettetnedance`rapvloaucelroci droitequelquepart.Onad´eja`moinstendancea`vouloirdisposerleplandansl’espace,puisque les deux dimensions du plan remplissent les deux dimensions du champ de vision, ne laissant pas voirlevidequisetrouvedechaquecˆot´e.Maisquelsquesoientnosmodesderepresentationset ´ d’´eventuelsrapportsavecnotreUniversphysique,chacunedecesg´eome´tries,entantquethe´orie mathe´matique,selimite`aconside´rerlesconstructionspouvantˆetrefaitesa`l’inte´rieurdeson 5