EUniversité Joseph Fourier École d'été de mathématiques

Joseph Fourier École

Description

EUniversité Joseph Fourier École d'été de mathématiques 1996 : Analyse complexe Cours de géométrie différentielle et holomorphe Thierry Bouche Introduction à la géométrie différentielle des variétés analytiques complexes

• atlas


• régularité des applications de recollement


• phénomène local


• d????????? ?


• variété


• représentant de la classe d'équivalence


• différentielles ??


• applications différentiables


• géométrie différentielle des variétés analytiques

Sujets

• Géométrie
• Bouche
• Varieté
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

G´eom´etrie

Ann´ee

Diff´erentiable

2006–2007

Ch. Peters

31

mars

2008

2

Tabledesmatie`res

1 Courbes 5 1.1 Courbes Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Courbes Gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Surfaces 11 2.1P´etrages...........................11 aram 2.2 Quelques Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3Atlasdiff´erentiable........................15 2.4 Courbure de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3Champsetformesdiffe´rentiables21 3.1 Champs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2Alg`ebremultili´ire.......................25 nea 3.3Formesdiff´erentielles.......................30 3.4ComportementsousdesApplicationsDe´rivables.......33 ´ 3.5 Equations de Structure surR n  36. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Le Lemme de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ´ 3.7 Equations de Structure : Cas des Surfaces . . . . . . . . . . . 41 3.8Surfacesa`CourbureConstantePositive............44 4Vari´et´esDiffe´rentiables47 4.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2Fibre´sVectoriels.........................50 4.3 Champs Vectoriels et Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4FormesDiff´erentielles.......................58 5 Connexions 63 5.1 Notions de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 M´t iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 e r 5.3ConnexionsM´etriques......................68

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TABLE

DES

` MATIERES

Chapitre 1

Courbes

Unecourbeγ:I→R n est une applicationC ∞ d’un intervalle ouvert IdansR n . SiIcontient 0 on dit que lacourbeγpasse parp=γ(0). On note : ˙γ:= d γ t d =  dγ dt 1  . . .   dγ n  dt ` lesγ k ltroocnose´seodnndieiuelcdennesγ. Si on munitR n du produit ou es euclidienh−−istandard, pour deux courbesγ 1 etγ 2 on a : hγ 1  γ 2 i˙ =hγ˙ 1  γ 2 ) +hγ 1  γ˙ 2 i(1.1) Cetteformulesev´erifiefacilementencoordonn´eeseuclidiennes. On dit que le vecteurt(t 0 ) :=γ˙ (t 0 ) est le vecteurev´elocit´au tempst 0 etkt(t 0 )klavitesseau tempst 0 . Une courbe est dite`iregelur´esit6= 0 partout. Dans ce cas (1.1) implique que sa vitesse est une fonctionC ∞ qu’on pourraitdoncint´egrerlelongdeγ; la fonction τ7→s(τ) = Z τ a kt(u)kdu s’appelle lalongueur d’arcsurγ(Ivrlanietel]ntl’´etaa b C’est une[ ). fonction strictement monotone, donc inversible :test une fonction deset l’onpeutreparame´trerγparsirar´nceO. g(s) :=γ(t(s)) etonremarquequeparrapport`asla vitesse est toujours = 1.

1.1 Courbes Planes On suppose queg(sre`eliguetm´rapalrapee´ra)estuenocrueblpnaree´ longueur d’arcs. On pose t=g ˙ . 5

6 COURBESCHAPITRE 1. C’estunvecteurunit´etangent`alacourbe.Onchoisitnceetrunuocmmve´eit orthogonal`attelle que{tn}alidtner(tocmeneitiveposent´torisenioctre de la montre). On dit qu’on a uner`premebolieoci´e`alacourbe.eLass repe`re{tn}ppta´eelsep`reederentFeer. ˙ Siond´erivelarelationhtti= 1 on trouve quet⊥tet on pose t=κn κ: lacourburedeγ. Alors on montre facilement : Lemme 1.1.1(Frenet).Soitgpanelaeprbouecunlalrapee´rte´mareurongu d arc. ’ ˙ t=κn n ˙ κt. =− Soitγuocerebruge´e`ilavrepaecm`rareetnut. Puisque d d t t = d dt s ∙ ds dt = d d t s ∙ k˙γk

on obtient Corollaire 1.1.2(Frenet–bis). ˙ t=kγ˙k ∙κn ˙ n=−k˙γk ∙κt. Lamotivationdumot“courbure”vientdel’e´tuded’uncerclekxk=r parame´tre´parlalongueurd’arc.Ontrouveh ˙ xxitnavenu,dncri´e=0doet fois de plushxx ¨ i+h ˙ xx ˙ i= 0 et doncκhxni = 0 par Frenet, ce qui+ 1 donne 1 κ=. r Eneffet,uncercledevraitˆetrecourb´edefac¸oninversementproportionnelle `sonrayon.Onintroduit,plusge´ne´ralement,lece le de courburede la arc courbegau pointg(s 0 ) =g 0 onqe´’itaulrap + kx−[g 0 1 (s 0 )]k= |κ( 1 s 0 )| . κ(s 0 ) n Lescentresde´criventlacourbey(s) =g(s)+ κ 1 (s) n(sl´eeappe,)eepelopd´ev ´ deg.

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1.2. COURBES GAUCHES Exercices au§1.1 1. Pour une courbe (x(t) y(t)) montrer que xy−xy ˙ ¨ ¨ ˙ κ ˙ = (x 2 +y˙ 2 ) 3/2 . 2.De´terminerlerepe`remobilepouruneparaboley=px 2 sur l’intervalle x∈]−11[. 1.2 Courbes Gauches Maintenantgitsoecunnieiddansl’espaceeucluobrree´ugile`erR 3 (muni duproduitscalairestandard)et-parnosconventions-param´etr´eeparla longueur d’arc. On poset(s) =  ˙ g(sinoet`ntlacaeutobrruaaetpgun),levec g(seerubmmoc)itlacour.Ond´efin ˙ κ:=|t|.(1.2) ˙ De (ttuqeudtidne´1o)=tetsal`aogonortht, mais il faut noter que ce vecteurest0auxpointso`ulacourbureest0.Siκ >0 partout on pose : ˙ t n:=. κ et on introduit lebinormal b:=t×n. Parconstruction,lerepe`re{tnb}, ditepertreFendeere`a uneorienta- tion positive. En posant τ  ˙ := (nb) (1.3) on a Proposition 1.2.1(Frenet-II). ˙ t=κn n ˙ = −κt+τb ˙ b=−τn. De´monstrationi`erprem:Lacourbure´dalinfienoitaledeqe´tiuasoondert (1.2). Pour la seconde, on pose  ˙ n=αn+βt+γbnodtuaflmrete´dcinertie α=h ˙ nti,β=hn ˙ nietγ=hn ˙ bivie´dr.eiSnohnti= 0 on trouve α=−κ, dehnni= 1 on trouveβntvari´etd0e=hnbi= 0, utilisant (1.3) on trouveγ=τ.eme`uqe´rtaLisiodu´edeitioatednsonsifa¸cire.mila