Groupes réductifs Soit G un groupe algébrique linéaire sur C i e pour un certain n

Description

• exposé

Exposé 1 1 Groupes réductifs Soit G un groupe algébrique linéaire sur C (i.e. pour un certain n > 0, un sous-groupe de GLn(C) défini par des équations polynomiales en les coordonnées (gi,j)1≤i,j≤n). On dit que G est réductif si G ne contient pas de sous-groupe distingué, fermé pour la topologie de Zariski isomorphe àGa (le groupe additif (C,+)). Exemples : (C?)n et les groupes classiques GLn(C),Sp2n(C),SOn(C),SLn(C) et plus génralement tout sous-groupe fermé (au sens de Zariski) de GLn(C) qui agit irréductiblement sur Cn. Voici deux autres caractérisations des groupes réductifs sur C : Théorème 1.1 ([Br-Mon, 2.2]) Pour un groupe algébrique linéaire sur C, sont équivalentes : G réductif ; ? G contient un sous-groupe compact (pour la topologie usuelle) dense pour la topologie de Zariski ; ? G est le complexifié d'un groupe de Lie compact ( i.e. il existe un sous- groupe compact de G tel que C? R Lie(K) ? Lie(G) ; ? toute représentation rationnelle de G est semi-simple. Rappel : Une représentation rationnelle V de G est un C?espace vectoriel V muni d'une action linaire du groupe G telle que G ? GL(V ) soit un morphisme de groupes algébriques.

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• polynôme homogène


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• morphisme de variétés


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• idéaux d'annulation de z1


• variété algébrique


• po- lynômes invariants homogènes de degré

Sujets

• Exposé
• Groupe algébrique
• Polynôme homogène
• Variété algébrique

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Extrait

Exposé 1
1 Groupes réductifs
Soit G un groupe algébrique linéaire sur (i.e. pour un certain n >
0, un sous-groupe de GL ( ) défini par des équations polynomiales en lesn
coordonnées (g ) ).i,j 1≤i,j≤n
On dit que G est réductif si G ne contient pas de sous-groupe distingué,
fermépourlatopologiedeZariskiisomorphe à (legroupeadditif ( ,+)).a
∗ nExemples:( ) etlesgroupesclassiquesGL ( ),Sp ( ),SO ( ),SL ( )n n n2n
et plus génralement tout sous-groupe fermé (au sens de Zariski) de GL ( )n
nqui agit irréductiblement sur .
Voici deux autres caractérisations des groupes réductifs sur :
Théorème 1.1 ([Br-Mon, §2.2]) Pour un groupe algébrique linéaire sur
, sont équivalentes :
G réductif;
⇔ G contient un sous-groupe compact (pour la topologie usuelle) dense
pour la topologie de Zariski;
⇔G est le complexifié d’un groupe de Lie compact (i.e. il existe un sous-
groupe compact de G tel que ⊗ Lie(K)≃ Lie(G);
⇔ toute représentation rationnelle de G est semi-simple.
Rappel : Une représentation rationnelle V de G est un −espace vectoriel
V muni d’une action linaire du groupe G telle que G → GL(V) soit un
morphisme de groupes algébriques. Une telle représentation est semi-simple
si V =⊕V où les V sont des sous-représentations de V irréductibles (i.e.i i i
sans autre sous-espaces G−stables que 0 et V ).i
Conséquence : Opérateur de Reynolds :
Proposition 1.2 Pour toute représentation rationnelleV deG il existe une
unique projection G−équivariante :
Gp :V →V
sur les vecteurs G−invariants de V.
C’est la projection de Reynolds que l’on notera p .V
′ GDémonstration : Démontrons l’unicité. Soient p,p : V → V deux pro-
L
jections G−équivariantes. Soit kerp = V une décomposition de kerp enii
Gsomme directe de sous-G−modules irréductibles. Pour tout i, V ∩V = 0.i
Fixons i. Soit 0 =v∈V . Il existe g∈G tel que g.v =v . Donc :i i i
′0 =g.v −v ∈V ∩kerp .i i i
1
R6
C
C
C
C
C
C
C
C6
G
C6
C
C
C
C
C′ ′Comme V est irréductible, forcément kerp ∩V = V . D’où V ⊆ kerpi i i i
′ ′ ′pour touti. Donc kerp⊆ kerp. De même, kerp ⊆ kerp. Donc kerp = kerp
′et p =p.
Q.e.d.
Remarque : En raison de l’unicité, si W ⊆ V sont deux représentations
rationnelles de G, on a : p =p | .W V W
Corollaire 1.2.1 Soit X une variété algébrique affine sur munie d’une
action algébrique d’un groupe réductif G. ALors si Z et Z sont des sous-1 2
Gvariétés fermes deX, disjointes etG−stables, il existe f ∈ [X] une fonc-
tion G−invariante régulière sur X telle que :
f| = 0 etf| = 1 .Z Z1 2
Démonstration : SoientI ,I les idéaux d’annulation deZ etZ dansZ Z 1 21 2
[X]. On aI +I = (1). Donc il existef ,f respectivement dansI etZ Z 1 2 Z1 2 1
I tels que f +f = 1. Il suffit de poser f :=p(f ) où p est la projectionZ 1 2 12
Gde Reynolds de [X] sur [X] . Q.e.d.
2 Points (semi-)stables
Soit G un sous-groupe réductif fermé et connexe de GL ( ). Soit Xn+1
une sous-variété irréductible fermée (i.e. définie par des équations polyno-
nmiales) de ( ) stable sous G.
En général, G a des orbites qui ne sont pas fermées dans X et donc
il est impossible de munir l’ensemble des orbites de X d’une structure de
variété algébrique de sorte que l’application x7!G.x soit un morphisme de
variétés algébriques. Au lieu de cela, on va définir un ouvertG−stable deX
et une relation d’équivalence sur cet ouvert (très proche de la relation «être
sur la même orbite » ) de sorte que le quotient soit une variété projective
(éventuellement singulière) et que la surjection canonique sur ce quotient
soit un morphisme de variétés.
Définition 1 Soit x∈X. On dit que x est ...
– instables’ilexisteunpolynômehomogèneF ∈ [T ,...,T ],G−invariant,0 n
tel que F(x) = 0;
– semi-stables’ilexisteunpolynômehomogèneF ∈ [T ,...,T ],G−invariant,0 n
tel que F(x) = 0;
ssOn notera X l’ensemble des points semi-stables.
– polystables’ilexisteun polynômehomogèneF ∈ [T ,...,T ],G−invariant,0 n
tel que F(x) = 0 et tel que l’orbite G.x est fermée dans l’ouvert affine
X :={y∈X : F(y) = 0};F
2
66
C
C6
C
P
C
C
C
C
C
C
C– stable si x est polystable et si le sous-groupe d’isotropie G est fini;x
sOn notera X l’ensemble des points stables.
  
 s 0 0    
2 ∗ Exemple : X = ( ), G = : s∈ . Dans ce cas,0 1 0     −1 0 0 s
voici les polynômes invariants :
M
G d d d0 1 0[T ,T ,T ] = T T T0 1 2 0 1 2
d ,d ≥00 1
et les points in/semi/poly/stables :
insX ={[1 : 0 : 0],[0 : 0 : 1]}
ss 2X = \ {[1 : 0 : 0],[0 : 0 : 1]}
psX = (z z = 0)∪{[0 : 1 : 0]}0 2
sX = (z z = 0) .0 2
En particulier, l’ensemble des points polystables n’est pas toujours ou-
vert. En revanche :
s ssProposition 2.1 Les partiesX etX sont ouvertes etG−stables dansX.
sDémonstration : Démontrons queX est ouvert. Rappelons pour cela un
résultat sur les fibres des morphismes :
Lemme 2.2 (cf. [Danilov, §4.4, th.]) Soit f :X →Y un morphisme do-
minant entre variétés algébriques irréductibles.
−1Pour tout x∈X, dim f f(x)≥ dimX−dimY et il existe un ouvertx
−1U de Y tel que pour tout y∈Y, dimf (y) = dimX−dimY.
Posons γ : G×X → X ×X, (g,x) 7! (x,g.x) et Δ la diagonale deX
X×X. Soit x un point stable. Soit C est une composante irréductible de
−1γ Δ contenant (1,x). On applique le lemme ci-dessus à p : C → X,X X
(g,x)7!x et on en déduit qu’il existe un ouvert U de X tel que pour tout
y∈U,dimG = 0.SoitF unpolynômehomogèneinvarianttelqueF(x) = 0y
etG.x est fermé dans l’ouvert affine X . Notons Z :={z∈X : dimG >F F z
0}. D’après ce qui précède, Z est un fermé G−stable de X , disjoint deF
l’orbite fermé G.x. Puisque G est réductif, il existe une fonction f régulière
et G−invariante sur X telle que :F
f| = 1, f| = 0 .G.x Z
RIl existe alors un polynôme homogène et G−invariant R tel que f = αF
pour un entier α. Pour tout y∈X , dimG = 0. En particulier toutes lesRF y
3
6
C
P
P6
C6
Corbites deG dansX ont la même dimension : dimG et sont donc fermées.RF
s sL’ouvert X contient x et est contenu dansX . On a ainsi montré queXRF
est ouvert.
Q.e.d.
3 Définitionduquotiententhéoriegéométriquedes
invariants
Proposition 3.1 Soit [X] l’anneau des fonctions régulières sur le cône
au-dessus deX (i.e. l’anneau [T ,...,T ]/I oùI est l’idéal engendré par0 n X X
les polynômes homogènes nuls sur X).
GAlors l’anneau des invariants [X] est une −algèbre de type fini.
GDémonstration : Ilsuffitdevérifier quel’idéal [X] engendré parles po-+
lynômes invariants homogènes de degré > 0 est de type fini. C’est le cas car
Gil est engendré par lesp(f ) oùp est l’opérateur de Reynolds [X]→ [X]i
et (f ) n’importe quel système de générateurs de [X] . Q.e.d.i i +
GOn peut alors définir X//G := Proj [X] (pour la graduation induite
par celle de [X]).
Digression-Rappel sur les Proj
SoitA une −algèbre graduée (en faiton peut remplacer par un corps
algébriquement clos arbitraire) i.e. :
′A =⊕ A ,A = ,∀d,d ≥ 0,A .A ′ ⊆A ′ .d≥0 d 0 d d d+d
On notera A l’idéal⊕ A .+ d>0 d
On peut définir ProjA de la manière suivante :
—commeensemble,ProjAestl’ensembledesidéauxpremiershomogènes
de A ne contenant pas A .+
◦— une base d’ouverts est donnée par les ensembles (ProjA) oùf est unf
◦élément homogène de A et (ProjA) est l’ensemble des idéaux dans ProjAf
ne contenant pas f.
◦— l’anneau des fonctions régulières sur (ProjA) est (A ) la partie ho-f 0f
amogène de degré 0 du localisé A i.e. { ∈A : a∈A }.mf f mdegff
◦En particulier, ProjA est recouvert par des ouverts affines (ProjA) iso-
f
morphes àă Spec(A ) .f 0
Si A est réduite i.e. sans nilpotent autre que 0 comme dans le cas affine
on peut définir ProjA uniquement avec des morphismes de −algèbres vers
:
4
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
ProjA = φ∈ Hom (A, ) : φ = 0 /∼−alg. A+
′ ∗où φ ∼ φ s’il existe k > 0 et t ∈ , tels que pour tout m ≥ 0 et tout
m ′a∈A , φ(a) =t φ(a).km
(d)On peut vérifier que si d > 0 et A := ⊕ A (gradué de sorte quek≥0 kd
(d) (d)A =A ), alors Proj(A )≃ ProjA.kdk
(d)Remarque : Si A est de type fini, il existe d> 0 tel que A soit engendré
par un nombre fini d’éléments de A (cf. [Bou, chapitre III, §1, propositiond
3]).
SiA est engendré par des éléments homogènesa ,...,a de même degré,0 N
on peut identifier ProjA avec la variété projective :
N{[x]∈ ( ) :