Maıtrise de mathematiques Statistique

Description

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de mathematiques 1998-1999 Statistique 1. Generalites 1.1. Estimation d'une proportion par la plus vraisemblable valeur. On considere une variable aleatoire binomiale B(n, p). Soit k fixe compris entre 0 et n. Pour quelle valeur de p, la probabilite P(X = k) est-elle max- imale? Ce resultat peut etre utilise pour estimer p lorsq'on a observe que X = k (le parametre n etant connu). 1.2. Approximations. i) Une variable aleatoire X a la loi hypergeometrique H(N, n, a) : P(X = k) := CkaC n?k b CnN ou 0 ≤ k ≤ n, k ≤ a, n? k ≤ b et a > 0, b > 0, a + b = N , 0 < n < N . Soit 0 < p < 1. Alors, quelque soit 0 ≤ k ≤ n, lim N?∞,a/N?p P(X = k) = P(Y = k), ou Y ? B(n, p). On dit que, lorsque N est grand (devant n), on peut ap- proximer la loi hypergeometrique H(N, n, a) par la loi binomiale B(n, a/N).

• variable aleatoire


• independantes


• etroitement


• meme loi


• limite des probabilites µ


• lois gaussiennes de densites g?2


• ird ?

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Mihai Gradinaru

Maıˆtrisedemath´ematiques 1998-1999 Statistique 1.G´ene´ralit´es

1

1.1.Estimation d’une proportion par la plus vraisemblable valeur. Onconsid`ereunevariableale´atoirebinomialeB(n, p). Soitkx´firpsicemo entre 0 etn. Pour quelle valeur deplibaborpal,P(´eitX=k) est-elle max- imale?Cere´sultatpeutˆetreutilis´epourestimerpolsr’qnooasbueeqv´er X=kerte`marpale(n).onnuctnate´

1.2.Approximations. i)tae´eriobeaniarvlaeUlXerypeog´laaihloe´mteiruqH(N, n, a) :

k n−k C C a b P(X=k) := n C N ou`0≤k≤n,k≤a,n−k≤beta >0,b >0,a+b=N, 0< n < N. Soit 0< p <quelque soit 01. Alors, ≤k≤n,

lim P(X=k) = P(Y=k), N↑∞,a/N→p

ou`Y∼ B(n, pdit que, lorsque). On Nest grand (devantn), on peut ap- proximerlaloihyperg´eom´etriqueH(N, n, a) par la loi binomialeB(n, a/N). En pratique, cette approximation est satisfaisante siN/n≥10. Exemple nume´rique:a= 100,b= 400,n= 10 etk= 3. ii)SoitY∼ B(n, p) etλ >0. Alors, quelque soitk≥0,

lim P(Y=k) = P(Z=k), n↑∞,p↓0,np→λ

o`uZ∼ P(λdit que, lorsque). On nest grand etppetit, on peut ap- proximer la loi binomialeB(n, p) par la loi de PoissonP(nppratique,). En cette approximation est satisfaisante sin≥30,p≤0,1,np≤10. Exemple num´erique:n= 200,p= 0,01 etk= 0 ou 1.

1.3.nce.T´hoe`rvroitieeedemeMeDcedeafinoretnllav On note x x n−x ) := Cp ,0≤x≤n. B n,p (x n (1−p)