Maıtrise de Mathematiques Statistiques

Description

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 8. Tests statistiques : modele lineaire, tests non-parametriques 8.1. On observe les variables aleatoires Xi = ? + ?ti + ?i, i = 1, . . . , n, ou (?1, . . . , ?n) est un n-echantillon de loi N (0, ?2) et t1, . . . , tn sont des reels connus. On veut estimer le parametre ? = (?, ?, ?2). a) Construire l'estimateur du maximum de vraisemblance pour ?? = (???, ???, ??2,?) de ? = (?, ?, ?2). b) Montrer que ??? et ??? sont sans biais et calculer leur variances. Trouver leurs lois. Montrer que si t = 1n ∑n i=1 = 0 alors ?? ? et ??? sont non- correlees. c) Construire le test de rapport de vraisemblance pour ? = 0 contre ? 6= 0 de niveau ? ?]0, 1[. Construire le test de rapport de vraisemblance pour ? = 0 contre ? 6= 0 de niveau ? ?]0, 1[. Application: n = 27 et ? = 0, 05. d) Ecrire des intervalles de confiance pour ?, pour ? de coefficients de securite 1 ? ? ?]0, 1[.

• points au milieu des intervalles


• test de ?2


• contre ?


• resultats de l'exercice precedent pour les donnees suiv- antes


• ecrire des intervalles de confiance pour ?


• coefficient de securite


• loi gaussienne de parametres

Sujets

• Coefficient de sécurité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Mihai Gradinaru

Maı ˆ trisedeMath ´ ematiques2003-2004 Statistiques 8.Testsstatistiques:mod`eleline´aire,testsnon-parame´triques

1

8.1.seavirbaboesvrletoireslneOsal´eaX i =β+γt i +ε i ,i= 1, . . . , n,uo` 2 (ε 1 , . . . , ε n ) est unnahtn´-ceoindelilloN(0, σ) ett 1 , . . . , t n tnossel´esrde 2 connus.Onveutestimerleparame`treθ= (β, γ, σ). ˆ ∗ a)Construire l’estimateur du maximum de vraisemblance pourθ= ∗ ∗ d 2,∗ 2 c c (σγ ,β ,) deθ= (β, γ, σ). c c ∗ ∗ b)Montrer queβetγsont sans biais et calculer leur variances. Trouver P 1 n c ∗ c ∗ leurs lois. Montrer que sit= =0 alorsβetγsont non- n i=1 corr´el´ees. c)Construire le test de rapport de vraisemblance pourβ= 0 contreβ6= 0 de niveauα∈]0,1[. Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα∈]0,1[. Application:n= 27 et α= 0,05. ´ d)Ecrire des intervalles de confiance pourβ, pourγde coefficients de se´curite´1−α∈]0,rusteuir1[on.C(ruopecnioegr´nefiaonecndβ, γ) decoefficientdes´ecurit´e1−α∈]0,1[. Application:n= 27 etα= 0,05.

8.2.-ivsues´ennodselruoptnede´ced’lxereicecrpe´uerlesr´esultatspAqilp antes : t15 20 25 305 10 x0,10 0,21 0,30 0,35 0,44 0,62 etα= 0,prusdi´eveouvoz-ruedP.50eralavelXent 0 = 17.

8.3.iaObnloebssaelrvelesvarse´taioerX i =β+γ(t i −t) +ε i ,i= 1, . . . , n, 2 ou`(ε 1 , . . . , ε n ) est unnanti´ech-iedolllnoN(0, σ),t 1 , . . . , t n dentsoslee´rs P 1 n connus ett0.= = n i=1 a)Construire le test de rapport de vraisemblance pourγ= 0 contreγ6= 0 de niveauα∈]0,1[. ´ b)Ecrire des intervalles de confiance pourγe´tis´deurecccoideeffitsen 1−α∈]0,1[.

8.4.ussee´nnodselruotpenedc´´eprceciiv-ed’lxereseluatstuerlesr´Appliq antes : t3,80 3,72 3,67 3,60 3,54 x1,36 1,23 1,09 0,82 0,61