Maıtrise de Mathematiques Statistiques

Description

Mihai Gradinaru 1 Maıtrise de Mathematiques 2003-2004 Statistiques 7. Tests statistiques : construire et evaluer 7.1. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soient ?0 > ?1. Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H : ? = ?0 contre A : ? = ?1. Indiquer le test de niveau ? ?]0,1[ pour ? = ?0. Application : ?0 = 10, n = 25 et ? = 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour ?1 = 9? 7.2. Soit (X1, . . . ,Xn) n-echantillon de loi N (?,1) et soit ?0 un reel fixe connu. On veut tester H : ? 6 ?0 contre A : ? > ?0. a) Montrer que le test de rapport de vraisemblance est ?(x) = { 1 si √ n(x? ?0) > c 0 sinon, ou c est une constante. b) Ecrire la fonction puissance ? : R? [0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c) On veut que ?(?0) = 0,1 et que ?(?0 + 1) = 0,8. Montrer qu'alors c = 1,28 et n = 5.

• animaux mesuree au bout


• montrer par calcul direct


• constante


• choix de la constante


• memes conditions


• region de rejet


• puissance au point


• test en ?

Sujets

• Pearson
• Constante

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Extrait

Mihai Gradinaru

1

Maı ˆ trisedeMath ´ ematiques2003-2004 Statistiques 7.Testsstatistiques:construireete´valuer 7.1.Soit (X 1 , . . . ,X n )nleiotanhlcieo´l-dnN(θ,1) et soientθ 0 > θ 1 . Construire le test de Neyman-Pearson pour tester H:θ=θ 0 :contre Aθ=θ 1 . Indiquer le test de niveauα∈]0,1[ pourθ=θ 0 . Application:θ 0 = 10,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test pour θ 1 = 9?

7.2.Soit (X 1 , . . . ,X n )nnahce´-ondetillloiN(θ,1) et soitθ 0 e´leurnnO.utueve´xfinnoc tester H:θ6θ 0 :contre Aθ > θ 0 . a)Montrer que le test de rapport de vraisemblance est  √ 1 sin(x−θ 0 )> c φ(x) = 0 sinon, o`ucest une constante. ´ b)Ecrire la fonction puissanceβ:R→[0,1] de ce test et faire son graphe. Montrer que le test est sans biais. c)On veut queβ(θ 0 ) = 0,1 et queβ(θ 0 + 1) = 0,8. Montrer qu’alorsc= 1,28 etn= 5. d)On ne fixe plusn. Trouvercpour que le test soit de niveauα∈]0,1[ pourθ6θ 0 . S’agit-il d’un test u.p.p. contreθ > θ 0 ? e)Application :θ 0 = 9,n= 25 etα= 0,05. Que vaut la puissance de ce test enθ 1 = 10?

7.3.Soit (X 1 , . . . ,X n )n-hce´itnallondeloiN(θ,1) et soitθ 0 urne´lexfierstettuevnO.unnoce´ H :θ>θ 0 contre A:θ < θ 0 . Montrer que le test de rapport de vraisemblance est  √ 1 six < θ 0 −g α / n ψ(x) = 0 sinon, ´ o`ug α est telle que P(G > g α ) =α, avecGvariable gaussienne standard. Ecrire la fonction puissance de ce test et montrer que ce test est de niveauαpourθ>θ 0 et u.p.p. contreθ < θ 0 .

7.4.Soit (X 1 , . . . ,X n )nednoiol-´echantillN(θ,1) et soitθ 0 .unOocnnevtunruel´e´efix construire des tests pour tester H:θ=θ 0 contre A:θ6=θ 0 . a)cOrn´eit{θ=θ 0 }={θ6θ 0 } ∩ {θ>θ 0 }. Utiliser l’exercice7.2pour construire un test 0 deθ6θ 0 contreθ > θ 0 avec une constantecet ensuite l’exercice7.3pour construire 00 un test deθ>θ 0 contreθ < θ 0 avec une constantec.End´eduirequige´raleedno √ √ 0 00 rejetdutestrecherch´eest{n(x−θ 0 )> c} ∪ {n(x−θ 0 )< c}. Que devient ce test 0 00 lorsqu’on posec=−c >0? b)Construire directement le test du rapport de vraisemblanceφet comparer avec le test trouve´aupointpre´c´edent.Quelestlechoixdelaconstantepourqueletestsoitde niveauαpourθ=θ 0 . c)Montrer par calcul direct que ce test satisfait les conditions suivantes E θ [φ(X)] =αet 0 E θ 0 [Xφ(X)] =αE θ 0 [Xustlree´aplriuerd´ed].Entsetsnastiganu’du’sqs’ilduaturco biais de niveauαpourθ=θ 0 u.p.p. contreθ6=θ 0 . Dessiner le graphe de sa fonction puissance.