Math Z Mathematische Zeitschrift

Yves Colin De Verdière

Description

Math. Z. 171, 51-73 (1980) Mathematische Zeitschrift 9 by Springer-Verlag 1980 Spectre conjoint d'op rateurs pseudo-diff rentiels qui commutent II. Le cas int~grable Yves Colin de Verdiere Laboratoire de Math6matiques Pures, Institut Fourier d6pendant del'Universit6 Scientifique etM~dicale de Grenoble, B.P. 116, F-38402 St. Martin d'Heres, France Dans cet article, nous poursuivons l'6tude entreprise dans \[8\] du spectre conjoint de plusieurs op6rateurs pseudo-diff6rentiels qui commutent. Soit X une variOt~ C a compacte de dimension d, on se donne sur X, d opkrateurs pseudo- diff~rentieIs P1,..., Pa d'ordre 1, autoadjoints par rapport /tune densit6 dx, qui d commutent, dont les symbotes ous-principaux sont nuls et tels que ~, P7 est j=l elliptique. On veut 6tudier le spectre conjoint de ces op6rateurs, non plus ~t l'aide de formules de traces comme dans \[8\], mais en utilisant les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov \[18, 9, 16\] et \[5\]: en effet, si pj d6signe le symbole principal de Pj, les fonctions pj forment un syst6me maximal de fonctions en involution et la fibre g6n6rique de l'application p=(pl, ...,Pal): T*X\O- , IRd\0 est un tore lagrangien.

• spectre


• symbole classique


• structure symplectique


• op6rateurs pseudo-diff6rentiels


• tore lagrangien


• action symplectique


• r6sultat classique sur les coordonn6es actions


• dites conditions de quantification

Sujets

• Spectre

Informations

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• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

51-73
d'op rateurs pseudo-diff rentiels
commutent
II. Le cas int~grable
Yves Colin de Verdiere
Dans cet article, nous poursuivons l'6tude entreprise dans [8] du spectre
conjoint de plusieurs op6rateurs pseudo-diff6rentiels qui commutent. Soit une
compacte de dimension on se donne sur X,
P1,..., d'ordre autoadjoints par rapport /tune densit6 dx, qui
commutent, dont les symbotes sous-principaux sont nuls et tels que ~, P7 est
j=l
elliptique. On veut 6tudier le de ces op6rateurs, non plus l'aide
de formules de traces comme dans [8], mais en utilisant les conditions de
quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov [18, 16] et [5]: en effet, si pj
d6signe le symbole principal de les fonctions pj forment un syst6me maximal
de fonctions en involution et la fibre g6n6rique de l'application p=(pl, ...,Pal):
T*X\O-, IRd\0 est un tore lagrangien. Malheureusement, l'application est
rarement une fibration localement triviale et on doit essayer de faire des
hypoth6ses pas trop restrictives sur la nature des singularit6s du feuilletage
lagrangien ainsi obtenu: l'hypoth6se la plus simple que l'on semble amen6/t faire
est que l'alg6bre des fonctions homog6nes des pj admet des g6n6rateurs
dont les riots hamiltoniens sont 2rc-p6riodiques: les fibres de sont
alors essentiellement les orbites de Faction symplectique d'un tore: une telle
action est relativement facile &udier, car il s'agit de Faction d'un groupe de
Lie compact sur une vari6t6 et qu'on sait qu'une telle action se Une
lois 6tudi6e les hypoth6ses g6om6triques sur d, ce qui est l'objet des deux
premiers paragraphes, on s'attaque l'6tude du spectre. De fagon parall61e
l'alg6bre d, on introduit l'alg6bre des op6rateurs de la forme f(P~,...,P~) off
est un symbole classique et on cherche les g6n6rateurs de sr
s'inspirant des techniques de [27] et [7], on construit parmi les op6rateurs de sr
admettant qj comme symboles principaux, des op6rateurs de Qj de sr tel que
exp cj Id et donc Spectre ..., o~ #~TZd/4 est un
tain indice de Maslov. On 6tudie alors le spectre joint des on prouve que
=q(T*X\O), est un poly~dre c0nique au r6seau {#}: cela veut
dire en particulier que les points du rdseau ne sont pas sur le bord de mais
r6partis 6galement de part et d'autre de celui-ci. On prouve alors, qu'/t un
0025-5874/80/0171/0051/$04.60
si = Laboratoire C ~adapt6>> f j, opkrateurs B.P. (27ziQj) d conjoint d conjoint (Q1, Pures, d, Fourier a d'Heres, c p ~ Spectre d spectre + de {#} Q 2gd+ p C Institut Grenoble, F pseudo- F Cer- Martin 9 France by X diff~rentieIs Pj, 9, F
2g Qd)
<<bons>>
zur
~t
<<lin6arise>>.
(qj)~_<_j__<~
~~ zur
~t
1, Pa
variOt~
St. F-38402 116, de M~dicale et Scientifique
l'Universit6 de d6pendant Math6matiques
qui
1980 Springer-Verlag Zeitschrift
(1980) 171, Z. Math. Mathematische ensemble fini prbs spectre(Q1,..., Qe)---(;ge+ F, tousles points du spectre
(sauf peut ~tre un nombre fini) ayant la multiplicit6 cela permet d'introduire
comme dans [7], un indice absolu associ6 s],
i(~) F} Cardinal {spectre(Q ....
La relation avec les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld-Maslov
est alors tr6s simple: si est un point de 2gd+{#}c~F, q-1(2) est un tore
lagrangien v6rifiant les dites conditions de quantification: un hombre fini pr6s
de points, on obtient ainsi une bijection entre le spectre joint des et
l'ensemble des tores lagrangiens Hqj-invariants satisfaisant les conditions de
quantification. Cette 6tude du spectre se fait l'aide de la forme normale du
paragraphe on utilise alors comme mod61es des alg6bres d'op6rateurs
construites partir d'oscillateurs harmoniques: l'oscillateur harmonique stan-
dard sur H=89 -~-+t ayant le spectre remarquable 89
Enfin, dans les deux derniers paragraphes, on 6tudie des applications des
r6sultats ou des techniques 6tudi6es au cas du spectre du laplacien sur une
surface de r6volution: on obtient alors une information trbs pr6cise sur le spectre
et sur la r6partition asymptotique des valeurs propres. On applique enfin tout
ceci l'6tude du spectre de 1;6quation de SchrSdinger sur ce qui permet de
pr6ciser certains rdsultats de [12, 27, et 8].
N.B.: Tousles op6rateurs pseudo-diff6rentiels et int6graux de Fourier seront
suppos6s classiques, c'est-5.-dire que leur symbole adment un d6veloppement
asymptotique en composantes homog6nes d'ordres entiers. Si est muni d'une
densit6 dx, le symbole sous-principal d'un op6rateur pseudo-diff6rentiel Pest
bien d6fini: c'est celui de l'op6rateur/3: f(dx) P(f)(dx) qui op~re sur les
densit6s. On le note sub (P), le symbole principal d'un op6rateur 6tant not6 p,
etc ..... On note le gradient symplectique d'une fonction sur une vari6t6
symplectique.
Forme normale pour des actions symplectiques de tores
Soit (Z, une vari~t~ symplectique de dimension 2d, (lR/2n2[) un tore; on
suppose qu'on s'est donn6 une action symplectique de sur Z. On veut &udier
une forme normale pour cette action au voisinage de l'orbite d'un point de Z.
Soit Y= G.z cette orbite qui est diff~omorphe un tore de dimension f. Soit
T* ((~/2 d- ~)d on d6finit une action symplectique
de sur muni de la structure symplectique canonique de la faqon suivante;
identifiant ~-r avec ~d-e de la fagon usuelle, on note (xl, ..., xt; --.,
z~+l, ...,za) un point de o, ..., un point de et on d6finit par:
.... (x, ..., (xl 0, ..., x~+ 0t; ~, ..., ~; zt+ ....
Sous les hypotheses prSc~dentes, il existe un homomorphisme
diffdrentiable p: et un diffdomorphisme canonique d'un voisinage U, G-
invariant de dans Z, sur un voisinage Go-invariant de (IR/2~7/)~ dans
~ q G G = = 1.1. ,0~), k S P /t n Colin (IR/2 ~o((0~ = ~ O + G o e + ei~ {p} G 89 z o de Z Uo, {p})c~ t Z X za)) ~ 7 Z 2 G fi A 2 = O , 1 o 1 Z , <<Cardinal Th@or~me G o o 1. o Y (01, Qe)} = 1 G - T*(1R
{0}
zae~O~).
]~o 0d)
~e; 41,
]~o ~), IR riTZ)
5.
co)
Hq
--*
IR,
5.
1,
Qz
,~
>~' c~ {2~
5.
1,
Verdiere Y. 52 Zo, tel que diagramme suivant commute:
G ~U
IZ
(on peut ehoisir de la forme ~eW, voisinage de t, ]z~[<e (e~>0
donnOs)).
Soit l'alg6bre de Lie de et la base canonique de chaque est
associ6 un champ de vecteurs hamiltonien sur Z, on suppose que ces champs
admettent des fonctions g6n6ratrices (on note les objets analogues pour
Faction de sur Zo: q~ pour q~-7[zi] o_1 pour i>#).
Corollaire existe des entiers et des tels que:
-1= jq~
j=l
Corollaire Si G=Go(k=d et que est g~n&iquement principale
matrice prdcddente est dans GL(d;
Corollaire Dans le cas on peut construire un et
prdc#dents restent vrais dans cette
Le mod6le homog~ne est obtenu en prenant dans l'ouvert ~:~0 et les
d4finis par:
qj ~j, <j
l. =~tqj 11~112)11~11 d+l<-J<--
06 (y~+ ..., "', sont les coordonn6es canoniques dans T*(IRd-r
Remarque 1.5. Le cas k=d=d est le r6sultat classique sur les coordonn6es
actions angles.
Preuve de Soit le groupe d'isotropie de par diff6rentiation ce
groupe agit sur cette action 6tant 6videmment symplectique. D'apr6s le
th6or6me de conjugaison d'E. Cartan ([15], p. il existe sur T~oZ une
structure complexe et un produit scalaire hermitien h=g+iC%o off est la
structure symplectique induite par sur T~oZ, tels que l'action de soit
unitaire. existe donc une d6composition Gzo-stable de T~oZ de la forme:
d-d
TzoZ= @J(TzoY (~
i=1
off les sont des sous-espaces complexes de dimension sur lesquels agit
par rotation d'angle #~(g)e U(1). Soit U(1) des caractOres prolongeant les
#i (l'existence de tels caractOres est prouv6e par exemple dans [28], p. 102 et
suivantes), on d6finit un homomorphisme p: G-~Go=G/G~oX[U(1)] d-t par
p(g)=(~, On considOre maintenant Faction de sur d6finie grfice
conjoint G j 218), W , i o ) Z o T~oZ 2 le homogdne, ~ ~ ~ 0 J 1.4. i ~ c 1 d 1 Zo; d, ~ 1 + 0 U thdordme ci dans 1.2. ? Faction G z - 2 +Y~ _ T~oY i<_:, ) . 1.3. la IRk: i E (ni,;) Z modOIe < catdgorie. 1 0 homogOne = 1 j(1 A fii(g)). O G fl rOsultats les i
~t
G---~ fi~:
G~o
E~
I1
G~o c9
C%o
G~o 1.1
rid) 1, tlr Yd, ~,
d.
qO
qO
).
ni, qi
rOels <=j<=d) <-<_iNk, ni, 11
qO q~
X~
e~ e~ IRk
Uo Uo Go
p
53 int6grable cas Le II, pseudo-diff6rentiels. d'op6rateurs Spectre cethomomorphismeT: GxZ 0xZ o. Le groupe d'isotropie
pour de OsT*((lR/2n~)txlR a-~) est 6videmment par construction et la
repr6sentation de ce groupe d'isotropie sur ToZ est par construction unitaire-
merit 6quivalente/t la repr6sentation de sur (la structure complexe et le
produit hermitien sur 6tant les canoniques). Cette repr6sentation d'isotropie
caract6risant localement Faction de [1], on obtient l'existence d'un
diff6omorphisme de sur (voisinage invariant des orbites) tel que le
diagramme suivant soit commutatif.
GxU >U
pxr
Vo~
De plus, il est clair que est symplectique le long de Y