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• Publié par: samidon66
• Publié le: 07 novembre 2014
• Nombre de lectures: 17

Extrait

L2STEP–UFRSTEP–Universit´eParis7

1

L’essentiel du

Rappelsdecine´matique

“PhysiquepourSTEP1”–Me´caniqueduSolide

coursdume´caniquedusolide

1.1Re´fe´rentiel,repe`reetsyste`me
´
Qu’est-ce qu’unenereltirf´´eesoptua`iuav?qEn:pastioaqueserliouqa`tropparrobserve-t-on le mouvement ? Lorsque
lere´f´erentielchange,lavitesseapparentechange.Unr´ef´erentielpeuteˆtreinertielounoninertiel.Celade´pendenge´ne´ral
del’e´chelledetempssurlaquelleonobservelemouvement.
´
Qu’est-ce qu’unere`percoormede´eesdonn`autvauiEq.e)asbenuuo(?st`eelsynsqun:datsoiqaeueslresopirt´dce-on
lemouvement?Lorsquelerepe`rechange,lavitessenechangepas,seulesonexpressionmath´ematiqueestdiff´erente.
´
Qu’est-ce qu’unssyet`emitseuqalresopesaiequcet-esu’:qonmene?ttsneomvuaut`quiv?E

1.2Position,vitesseetacce´le´ration
SoitOrienlpeonxsetdfiaeeurnp`R.
 !  !
−−→ −−→
2
−−→dOMdv~(M)RdOM
Position:OM=r~.Vitesse:~v(M)R= .cA´c´eeltiraon:~a(M)R= = .
2
dtdtdt
R
R R

1.3 Composition de mouvements
0
SoitRolbsua(oxeefierp`ernu“idec,unia”), etRbileremoep`eunre“i,ficidnruo(taler”), en mouvement par
0 0
rapport`aR. SoientOetOrepl`eesroersiginesdes`sasaosice´RetR, respectivement. On suppose connus le mouvement
0 0
deRpaa`optrrrpaRuqsi(nenueeosmpco´eedenutenoitalsnartoratitno,)teelomuvementdeMtropa`parrapR.
Le mouvement deM`tparaarorppRsedt:perano´n
−→−−→→−−−→
0 0 0 0
~v(M)R=~va(M) =~v(M)R+~v(O)R+ ΩR/R∧O M=~vr(M) +~va(O) + ΩR/R∧O M
0 0 0
| {z }
~ve(Menemtne’tnarıˆvitessed)=
−→−−→
0
Attention: ΩR/RetO Mˆtneviod.abeseˆemlsmasdanim´eexpretre
0

1.4De´rivationdansunrep`eremobile
 !
−−→
0
−−→dO M
~
0
En identifiantO M≡Adans l’expression ci-dessus, en remarquant quev~r(M) = , et en supposant
dt
0
 !  !
R
~ ~
dAdA−→−→
0
~0
~va(Oiebtno,oe)fixees´=:tnΩrigi0(o)=+puopreseer`penudR/R∧A.
dtdt
0
R R
0
Onende´duitl’expressiondel’acce´l´erationabsolue(i.e.dansR) deMlibomereeledamobirep`nsleR:
−→
−−→−
d ΩR/R→−−→−→→−
0
0 0 0
~aa(M) =~ar(M) +~aa(O) +∧O M+ Ω∧( Ω∧O M) + 2 Ω∧v~r(M)
dt| {z }
| {z }
~ac(MsoiilCerooidnerat´el´=acc)
~ae(M)cc=al´´eaterndiontmeneˆırant’e

2

Forcesetmouvement

2.1 Lois de Newton
`ere
–de Newton1 loi cndeferone’lbaes:seesvetilaepd´seunecavcepenu,secelucitrav~constante.
`eme
–2 loi de Newton, ouPrincipe Fondamental de la Dynamiquensunr´ef´erentielP(DF:)adRinertielil´lee”n:)(ou“ga
ext ext
~ ~
si des forces agissent sur une particule de massem,laretΣltan´esuFΣ:a`elagfsroedectostsece´ersouujF=
 
dp~(M)R
,ou`p~(M)R=m~v(M)Restlarapcutienemeltdede´vuomauqatitn,anteonstsectsaessimaelS.
dt
R
ext
~
ΣF=m~a(M)R.
~
e`me
–de Newton3 loi , ouipnepcril’detiac-roncae´noit: si un corps 1 exerce une forceF1→2sur le corps 2, alors le
~ ~ ~
corps2exerceuneforceder´eactionF2→1:rsauprpr1seloc´need,noF1→2=−F2→1.

Rapha¨elGrandin–IPGP–[e-mail]

Version du24 septembre 2014

L’essentielduCoursdeM´ecaniqueduSolide

2.2 Quelques exemples de forces
0
~ ~ ~
mm
–ceanstdi`aesrcFoe´tivarg:P=g~m; attraction gravitationnelleFg=−G2~ur; interaction coulombienneFe=
r
0
1qq
~ ~ ~ ~ ~ ~
qE=2~urfo;n´agemrceuteqiFm=v~q∧B; force de Lorentz :Fem=Fe+Fm.
4πor
–Forces de contactsnpuoptrtcoidnu’nfil;r´eansiond’uet:ide.lostnemettorfelroubpomulCodeoi;l
~ ~ ~
–Forces de frottement fluideete:arıˆ´nFx+ portanceFz;Fx=−k(v)v~.xppro`talruopssprocseiqtr´eymraarspue
2
Fx=−1/2CρSv.
(Ox). Aux faibles vitesses :Fx=−hvxA.ivxussetples´eusv´les:eex
~
–Fdeuinflapur´ceexereroec: pression (force de surface) : df=pdnS~;pouss´mie`edf(ee’drAhcmelu):ceorvode
~
PA=−ρf luide~Vgntlailsaenidflue,e´tisocsicecrof(innewievo;t:)τ=F /S=η(dv/dx).
´~ ~
–ticie´lastE: ressort :F=−k(l−lo)i; loi de Hooke :σ=F /S=E.
–Force centraletniopemeˆmnusreveeg´ridirsouujtoricelsdaduna”eo(forcredecent,le“ees´).ontipoop:

2.3Re´fe´rentielsnoninertiels
~
ext
Silere´f´erentieln’estpasinertiel,ΣFdans le PFD contient les forces d’inertie (ou “pseudo-forces”). Puisque dans
0 0
unr´efe´rentielnoninertielRns’´ecrit:ioaterl´´ecc’al~aR(M) =~aR(M)−~ae(M)−~ac(M) (Section 1.4), le PFD dansR
0
P P
0~ ~~ ~
ext ext
s’´ecrit:m~aR(M) =F−ma~e(M)−~amc(M) =F+fie(M) +fic(M) .
| {z } | {z }
force d’inertie force d’inertie
d’entraıˆnementdeCoriolis
3Momentcine´tique

3.1Momentcin´etique
−−→
Momentcine´tiqued’uneparticuleMptaaprrrtpoun`ainpoAadelsnfe´rere´ntielR:~σA(M)R=AM∧~p(M)R.
Si le mouvement est plan,~σA(M)Ramalnrrodnnapualairein´ecteuauvelocetsertceue’effeusllsqeent.uvemlemo
Momentcine´tiqueparrapport`aunaxe(Δ)(pointOsur l’axe,~uΔvecteur directeur) :σΔ(M) =~σO(M)R.~uΔ.

3.2 Moment d’une force
−→−−→
~ ~
Momentd’uneforceapplique´eenMporppraariopnua`ttnA:MA(F(M)) =AM∧F(M).
−−→ −→ −−→−→−−→
~ ~ ~ ~ ~
Avecθ= (AM , F(M)) :||MA(F)||=||AM||.||F||.sinθ=||AH||.||F||=||AM||.||Fθ||.
| {z } | {z }
bras de levier composante utile
−→
~ ~
Momentd’uneforceparrapport`aunaxe(Δ)(pointOsur l’axe,u~Δvecteur directeur) :MΔ(F) =MO(F).~uΔ.

3.3The´or`emedumomentcin´etique
 !
 −−→ 
−−→d~σA(M)RdAM−−→dp~(M)R
Ende´rivant~σA(M)R=AM∧~p(M)R=, on a : ∧~p(M)R+AM∧.
dtdtdt
R R
R
| {z }
| {z }
~ext
ΣF(PFD)
v~(A)R
 
d~σA(M)R−→
ext
~
The´ore`medumomentcine´tique(TMC) : =MA(ΣF) +v~(A)R∧~p(M)R.
dt
R
 
d~σO(M)R−→
ext
~
Eng´ene´ral,ons’arrangepourchoisirAfixe (par exempleA= origineO=) : MO(ΣF).
dt
 
R
dσΔ(M)R
ext
~
TMCparrapport`aunaxe:=MΔ(ΣF.e´()atqunsiolacae)ir
dt
R
−→−→
~ ~
ext
SiM’nsestuoimqsu’`adesforcescen,selartMO(ΣF) = 0⇒~σO(M)R= cste⇒mouvement plan.
−→
ext
~ ~
SiM,Σtsoun’esefunceors`miucaaosie)e´lsys(me`tF= 0⇒~σO(M)R= cste⇒mouvement plan (et rectiligne).
0
Dansunre´f´erentielnoninertielRreprtˆetencoisesreonetcrdeslfi’svin,eeiodesedntta.esrcfosnadetpmluse´ral
 
d~σO(M)R−→ −→ −→
0
ext
~ ~ ~
LeTMCs’e´critalors:=MO(ΣF) +MO(fie) +MO(fic).
dt0
R
3.4 Inertie
Onpeutde´finirl’inertiecommemegnahcuaecnatsiesr´laent, ou encore`elaa’ccsesiatcnniolar´l´´eater.
~
ext
D’apre`slePFD,pourunsyste`meentranslationrectiligneverticale(exemple:chutelibre),ΣF=m z¨~uz. Dans ce cas,
l’inertieestrepr´esent´eeparlamasse{m}elc´acl’ete,emt`retnurapnoitare´nal”tudiongime“ldusys{z¨}.
Pourlarotation,l’´equivalentduPFDestleTMC.Danslecasd’unerotationpure(i.e.autourd’unaxefixese`)alavites
˙
angulaireθorppaut`epacraarno’llpesis,tnpnioOrotaxedeal’aant`etnnppraa(noit⇒rueiqetn´cintmemoel,)etsc=
−→
˙~ ~¨~
2ext2
estdonn´epar~σO=mr θ kdetnofsesecrrrapntmeladeesr´taul,odcnelomrt`aappoOest :MO(ΣF) =kmr θ .
¨
2
C’est le terme{mr}ojiuqrelicieutsa“gnluretaoienaire”itreat,eeloˆni’dcc’al´´eisndelqu{θ}.

UE “Physique pour STEP 1” – 2014/2015

2

L’essentielduCoursdeMe´caniqueduSolide

´
4 Energie
´
4.1Energiecin´etiqueettravail
1
2
Onde´finitl’gieren´cenie´ituqed’une particule de massemla`tivaessev~comme :EC=mv.
2
−→−→
~ ~ ~
Letravail d’une forcefuaruocu’dstepnditd´eplacementMetsodnne´ap:rδW(f, M) =f.dM.
R
M=B−→
~ ~ ~
Soussaformeint´egrale,letravaildefle long de la trajectoire (C) allant deA`aB:WA→B(f)C=f.dM.
M=A
ext
´~ ~
Th´eor`emedel’EnergieCine´tiquenscoen):EC(Tt´eresexforcldesvaiaelrtartndie´ieures(f= ΣFDPFe)etdne´iravtnel
R R
B B
~
parrapporta`tano,tuoba`ti:δW= dECForm.´egreintla:eWA→B(f)C=δW= dEC=EC(B)−EC(A) = ΔEC.
A A
❤✭
R❤ ✭
❤ ✭
B❤ ✭
❤ ✭
❤✭
❤
Attentiona’aplsdeo:nncrire:roitd’´eδW✭=✭W(B)❤−W(A) car la “fonction”Wlare´ne´gneepasxistn’eˆmed(eem
A✭ ❤
✭ ❤
✭❤R
B

qu’enthermodynamiqueone´critδQet pas dQcarQtetade´’e´rc.)nOasunestpiablevar’napirtˆlu:otδW=WA→B,
A
quide´pendducheminemprunte´pourallerdeA`aB(et pas uniquement des positions deAet deB).

´
4.2 Energie potentielle et forces conservatives
~
Uneforce conservativeest une forceFrived’unquid´epotentielpsamchuneirlacaest`,c’qe’udarisietlixeUtel que,
−−→
~
en tout pointM:F(M) =−grad U(M).
−−→−→
Dans ce cas, commeUn´eedndpedeuqpaletisodnoinoepca,ee’psnalse:dcrirut´eU=grad U(M).dM.
Le travail d’une force conservative est donc :
Z Z Z Z