Qu'est qu'une géométrie

Description

Géométrie proje tive 1 Introdu tion 1.1 Qu'est qu'une géométrie Avertissement : Ce paragraphe n'est ni très formel, ni très re onnu par l'ensemble de la ommunauté mathématique. Il est plutt à prendre omme une dis ussion informelle. La dénition de géométrie que nous proposons est la suivante : Une géométrie est l'étude des propriétés des gures d'un espa e. Il onvient alors de dénir les termes d'espa e, de gure et de propriété : • Un espa e X est un ensemble muni de l'a tion d'un groupe G. • Une gure est un ensemble de parties de X. • Une propriété est une partition en deux ensembles de l'ensemble des gures ( elles qui ont et qui n'ont pas la propriété). Une propriété est dite de type (X,G) si les deux parties sont stables par l'a tion de G. Autrement dit, si pour tout g dans G, une gure a la propriété si et seulement si son image par g l'a. Cette dénition est très vague et mérite quelques exemples. Dans toute la suite un point est un élément de X. Exemple 1 : la géométrie eu lidienne plane. I i, X est le plan eu lidien et G est le groupe des isométries de X. Une propriété de type (X,G) est dite eu lidienne.

• distin ts de pe


• tif de dimension


• ve toriel de dimension


• groupe gl


• géométrie ane


• plan ane réel


• homographies de cp


• kn ?


• dire tion


• droite ve

Sujets

• Groupe GL

Informations

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Extrait

• X G
• X
•
(X,G) G
g G
g
X
X G X
(X,G)
X G
(X,G)

la
v

seulemen
unaut?
Qu'est
math?matique.
de
Il
et
est
g?om?trie

on
?
est
prendre
,

Cette
une
un
discussion
plane.
informelle.
qu'une
La
.

our
d?nition
Exemple

le
de
tout
g?om?trie
la
que
image
nous
est
prop
Dans
osons
un
est
:
la
le
suiv
e
an
de
te
In
:

Une
une
g?om?trie
de
est
est
l'?tude
g?om?trie
des
r?el
pr

opri?t?s

des
dans
gur
gure
es
si
d'un
si
esp
ertissemen
ac
d?nition
e.
v
Il
quelques

la
vien
oint
t
t
alors
Exemple
de
g?om?trie
d?nir
A
les

termes
le

isom?tries
de
Une
gure
yp
et

de
dite
propri?t?
?tre
:
ra
ble

Un

esp
triangle
ac
oin
e
?quilat?ral
l'ensem
propri?t?
est
:
un
Ici,
ensem
plan
ble
e
m
e
uni
Une
de
yp
l'action
G?om?trie
d'un
:
group
t
e
une
par
a
.
propri?t?
u
et
Une
t
gur
son
e
par
est
l'a.
un

ensem

ble
tr?s
de
ague
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m?rite
de
exemples.

toute
.
suite
tr?s
p
Une
est
pr
?l?men
opri?t?
de
est
.
une
1
partition
la
en

deux
Ici,
ensem
est
bles
plan
de
et
l'ensem
est
ble
group
des
des
gures
de
(celles
.
qui
propri?t?
on
t
t
e
et
1.1
qui
tro
n'on
est
t

pas

la
un
propri?t?).
(de
Une
y
propri?t?
1)
est
est
dite
propri?t?
de
P
typ
un
e
(triplet
ni
p
formel,
t),
tr?s
?tre
ni

n'est
une
si

les
2
paragraphe
la
de
ane
plane.
dite
1
.
le
stables
ane
par
et
l'action
est
de
group
Ce
des
.
anes.
Autremen
propri?t?
t
t
dit,
e
si
pro
p
our
deux
est
parties
ane
son
1
tP E
P
E PE E
P =P∪PE.
P d
P
P
P
P
PE
de
une
ou
propri?t?
La
ane

;
et
en
est
rev
v

app
he,
t

deux
?tre
est
une
?
ellipse
.

une
est
de
une
On
propri?t?
oint.
ane.

P
t
our
de
un
sem
triangle,


non
?tre
m
?quilat?ral
v

l'ensem
n'est
.
P
?tre
AS
oute
une
union
propri?t?
oite
ane.
Deux
1.2
en
G?om?trie
nous
pro
Par

assent
e
propri?t?
:
.
un

premier
droites

onse

s'imp
Un
dir
r?sultat
Une
fondamen
v
tal
ul
de

la
e
g?om?trie
une
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de
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?tre
est
des
:
de
L'interse
osons


de
La
deux
formelle.
dr
de
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forme


est
une
soit
p
vide
alors
soit
oites
r
s'interse
?
un
duit
g?om?trie
?
vions
un
propri?t?
p
p
oint.
our
Cette
dr
alternativ
seule.
e
our
p
dans
eut
eet,
?tre
oin
p
un
ens?e
deux

parall?les.
g?nan
r?p
te.
qui
On
ble
se
oser
prop
leur
ose
e
alors
.
de


un
une
ecteur
g?om?trie
n
p
d?ni
our
une
laquelle
te
:
ultiplicativ
Deux
pr?s
dr

oites
droite

ectorielle
s'interse
un

Notons
en

un
ble
p
droites
oint
ectorielles
et
ane.
un
P
seul.
propri?t?
Soit
est
P
align?
un

plan
r?union
ane
est
(r?el)
T
et
partie
n'est
ts,

la
v
oin
ectoriel
sa
sous-jacen
est
t.
el?e
On
dr
se
de
prop
.
ose
a
de
:
ra
dr
jouter

des
trois
p

oin
exactement
ts
p
?
En

ane
et
a
?
?galemen
ses
la
droites
:
de
deux
mani?re
oints
?
de
obtenir
p
la
une
propri?t?
oite

une

Cette
AS
est
p
passen
l'instan

fausse
P
P
rem?dier
En

par

p
oin
ts
t
de

La
ne
question
t
est
droite.
donc
our
quel
?
est
nous
le
2
pPE P
P
P
P
P
P P(E)
P(E)
P(E)
k E k
P(E) E
E
(e ,e ,,e ) E H E0 1 n
H
η : H −→ P(E)
v → k.v
d P(E)
• d H
η
• d H
P(E) =η(H)∪P(H).
nH k
P(E) E
• (E) = 1 P(E)
1• (E) = 2 P(E) =:kP k ∞

v
,
ectoriel
d?nition
de
r?union
dimension
Autremen
nie.
par
Nous
our
noterons
un
suiv
un
propri?t?s
p
deux
donner
les
1.1.
l'ensem
un
ble
une
des
rencon
droites
et
v
l'image
ectorielles

de
Par
t
r?soudra
.
s'iden
Essa
suite
y
dimension
ons
du
de
p

t,
ensem
,
blistemen
de
t
soit
tenan
se
.
oin
P
seul
our
t

exactement
on
p
se
oint.
donne
dit,
une
les
base
et
main
deux
ons
plus,
an
?
v

a
dans
un
sur
Nous
Nous
.
dim
de
au
droite
pas
une
r?duit
est
oin
tes
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que
seule.
une
oite
base
p
de
est
tons
blen
).
ressem
Soit
tre
et
en
le
p
plan
t
ane
un
de
;
utatif
appartien

?
des
de
p
,
oin
soit
ts
est
don
dans
t
.
la
t

et
est
notations
p
ourquoi
t
expliquera
-espace
probl?me

1
qui
et
de

De
sa
autre

tie
L'application
une
un
.
:

Soit
la
Deux
allons
dr

oites
la

de
ble
:
L'ensem
Si
2
paragraphe7
sens
.

de
un
s'interse
n'est

est
est
?
une
p

t.
Soit
Si
en
l'instan
un
P
?l?men
une
t
et
de
dr
?tudier
assent
par
oints
Commen?ons

t.
la
.
de
Alors,
premi?re
d'un

oin
ordonn?e
(
v
aut
3
.2 2 1• (E) = 3 P(E) =:kP k kP
n n n−1• kP =k ∪kP
2kP P
P(E) E
P(E) n H
P(E) n = dim(V)−1
P(V)
P(E)
GL(E) E
P(E) H
GL(V) P(E)
PGL(V) := GL(V)/H P(V) PGL(V)
1CP
C∪∞
P(E)
P(E) PGL(V)
F E P(F)
P(E) P(E)
P(E)
P(E)
3 2 1E = R E R ∪RP
E P(E)
pro
group
sous-espaces
e
que
agit

donc
de
sur
ac
ac
une
l'esp
:
el?
plus
app
eut-?tre
.
la
De
ane
plus,
pro
le
marquons
sous-group
t
e
iden
est
de
des
un
homoth?ties
Quelques
de
partie
ble
telle
L'ensem
app
1.2.

paragraphe
l'?quiv
du
g?om?trie
agit
1
trivialemen
(
t
un
sur
une
du

r?le
nous
le

jouer
h
.
les
Ainsi,
de
le
v
quotien
,
t
.
our

p
v
raisonnable
de
tr?s
de

r?union
un
un
est
pr
Ainsi,
d'un
.
.
.
t
de
de
et
Un
de
de
r?union
app
la
de
agit
.
sur

est
pro