Sous groupes finis de SO3 et polyèdres réguliers

Description

Sous-groupes finis de SO3 et polyèdres réguliers 1 Introduction L'objet de cette note est de classifier les sous-groupes finis de SO3(R) ainsi que les polyè- dres réguliers. Comme nous le verrons les deux classifications sont intimement liées. Les idées directrices sont : 1. Il est plus facile de trouver des contraintes dans le monde des groupes. Pour preuve le petit nombre de groupes de cardinal plus petit que 12. 2. Il est plus facile de construire un polytope qu'un groupe. 2 Équation aux classes On veut classifier les sous-groupes finis de SO3 à conjugaison près. Tous les ops dans ce texte se rapporte à cet objectif. Soit G un sous-groupe fini non trivial de SO3. 2.1 Droites stables S'il existe une droite stable par tous les éléments de G, alors G stabilise son orthogonal. Ainsi, ops que G est diagonal par blocs. On en déduit que G est un groupe cyclique ou diédral. Dorénavant, nous supposons que G ne stabilise aucune droite. 2.2 Axes Les éléments non triviaux de G sont des rotations. On s'intéresse dans un premier temps à leurs axes. L'équation aux classes nous permettra de montrer que seuls 3 cardinaux sont possibles pour G. Soit X l'ensemble des points de la sphère unité dont l'isotropie dans G est non triviale.

• groupe cyclique


• droite stable


• cardinal


• contraintes dans le monde des groupes


• ?1


• cardinaux des isotropies des points des ?i


• pentagone régulier

Sujets

• Groupe cyclique
• Cardinal
• Pentagone (figure)

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 62
• Langue: Français

Extrait

Fonctions réelles : limites et continuité

Table des matières 1. De quoi aborder les fonctions réelles 2 1.1. A propos des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. A propos des réels : une histoire de voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Un problème d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Les fonctions réelles poussées à leurs limites 4 2.1. Définition topologique et métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4. Limite à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.5. Limites et encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. Continuité des fonctions réelles 7 3.1. Continuité en un point, continuité sur une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1. Continuité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2. Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Quand la fonction n’est pas continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3. Stabilité de la continuité par les opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4. Informations capitales sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4. Entraînement 9 4.1. Echauffements préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Premiers flirts avec les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3. Les joies de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. Comparaison de fonctions 10 5.1. Fonction dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2. Fonction négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3. Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.1. Définitions et utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4. Décryptage de certains cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5. Les grands classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A. Continuité uniforme 12

1