statistiques_et_probabilites_au_lycee

Michel Bourgeois

Description

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Statistiques et probabilités au lycée

« Le loto, c'est un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques. » (Anonyme)


I – INTRODUCTION
1. Un apprentissage dans la continuité
Quelques éléments de statistique descriptive ont été introduits au collège, une initiation au
èmecalcul des probabilités a été menée en classe de 3 depuis la rentrée 2008. Le programme de
ndeclasse de 2 s’inscrit dans la continuité de ce travail pour ce qui est du contenu. Le tableau sy-
noptique suivant résume l’évolution des connaissances.

ème ème ème ème Classe de 6 Classe de 5 Classe de 4 Classe de 3
Organiser des données en Classes, effectifs, fréquen- Moyenne pondérée. Caractéristiques de posi-
choisissant un mode de ces. tion : médiane, quartiles.
représentation adapté. Tableaux de données : Approche des caractéristi-
Lire et interpréter des in- lecture, interprétations, ques de dispersion : éten-
Organisation
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représentation graphique. tions graphiques.
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Représentations usuelles : Diagrammes, histogram- Notion de probabilité.
tableaux, diagrammes en mes.
bâtons, circulaire, …,
cartésien.

Le programme de Seconde ne va guère plus loin sur les notions nouvelles dans ce qui est dé-
sormais désigné par « analyse des données », en institutionnalisant la connaissance des caracté-
ristiques de position et de dispersion (moyenne, médiane, quartiles).
Il introduit cependant un ...

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Extrait

Statistiques et probabilités au lycée   «Le loto, c'est un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques. » (Anonyme)     I – INTRODUCTION 1.   Un apprentissage dans la continuité Quelques éléments de statistique descriptive ont été introduits au collège, une initiation au calcul des probabilités a été menée en classe de 3 ème  depuis la rentrée 2008. Le programme de classe de 2 nde  s’inscrit dans la continuité de ce travail pour ce qui est du contenu. Le tableau sy- noptique suivant résume l’évolution des connaissances.     Classe de 6 ème  Classe de 5 ème  Classe de 4 ème  Classe de 3 ème   Organiser des données en Classes, effectifs, fréquen- Moyenne pondérée. Caractéristiques de posi- choisissant un mode de ces. tion : médiane, quartiles. représentation adapté. Tableaux de données : Approche des caractéristi- Organisation Lire et interpréter des in- lecture, interprétations, ques de dispersion : éten- et gestion de r f e o p r r m é a s t e i n o t n a s t   io à n    g p r a a r p ti h r  iq d u ’ e u .  ne  t é i l o a n b s o   r g a r t a i p o h n i ,  ques. r   eprésenta-   due.  données Représentations usuelles : Diagrammes, histogram- Notion de probabilité. tableaux, diagrammes en mes. bâtons, circulaire, …, cartésien.   Le programme de Seconde ne va guère plus loin sur les notions nouvelles dans ce qui est dé- sormais désigné par « analyse des données », en institutionnalisant la connaissance des caracté- ristiques de position et de dispersion (moyenne, médiane, quartiles). Il introduit cependant un nouveau champ de réflexion conceptuelle sur les données, avec une ap- proche de l’échantillonnage statistique. Cette approche avait déjà été initiée de façon qualitative avec le programme de 2000, nous allons plus loin dans ce domaine avec la mise en évidence d’éléments chiffrés de la fluctuation (notion d’intervalle de fluctuation au seuil de 95%). Enfin, le programme de 2009, introduit les premiers éléments du calcul de probabilité, ce qui est une première en classe de seconde ! Le recours à la simulation d’expériences aléatoires ren- force et crédibilise le lien avec les statistiques, beaucoup plus que dans le programme précédent où ces simulations étaient souvent négligées dans les pratiques, faute peut-être de trouver un an- crage suffisant avec les autres domaines étudiés.   2.   Regard sur les objectifs du programme de Seconde Ces objectifs, relativement ambitieux, sont clairement résumés dans le libellé du programme : «Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes ·   dans le cadre de l’analyse de données, rendre les élèves capables : %   de déterminer et interpréter des résumés d’une série statistique ; %   de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des fréquences cumulées ; ·   dans le cadre de l’échantillonnage : %   faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation ; %   sensibiliser les élèves à la fluctuation d’échantillonnage, aux notions d’intervalle de fluc- tuation et d’intervalle de confiance et à l’utilisation qui peut en être faite. »     3.   Commentaires  Les objectifs affichés s’articulent autour de la statistique purement descriptive (ou : analyse des données), qui utilise des outils mathématiques issus de la géométrie et de l’analyse, et des

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liens entre la statistique et les phénomènes aléatoires : l’étude de ces phénomènes se fonde sur la notion de probabilité, comprise comme une valeur idéale de fréquence, et dont la théorie expli- que certains phénomènes constatés (la fluctuation d’échantillonnage) mais aussi donne un cadre théorique rigoureux pour, à partir de ces données statistiques, formuler une prévision ou prendre un décision. Ce deuxième aspect est plus complexe, car il met l’accent sur l’imbrication entre statistiques et probabilités ; les statistiques permettent d’accepter ou de réfuter un modèle théori- que, les probabilités expliquent les écarts statistiques constatés et donnent des garde-fous pour la statistique inférentielle, c’est-à-dire la statistique de la prévision ou de la décision.  Cette articulation entre statistiques et probabilités n’est pas un artifice, elle correspond à un cheminement historique et épistémologique conjoint dans le développement de ces deux disci- plines. Dans le bagage culturel du futur « citoyen », l’enjeu avéré du programme est de donner à chacun un jugement le plus sain possible sur l’information chiffrée, avec l’appui d’un « bon sens de l’aléatoire ». C’est un objectif ambitieux, d’autant plus que la France affiche un triste retard en la matière, notamment par rapport aux pays anglo-saxons ; le retard est culturel, les perles journalistiques relatives aux sondages et à leur interprétation, le flou affiché dans la « confian- ce » des bulletins météo, en sont quelques traces visibles ; le retard est également visible dans l’enseignement où, non seulement on a dressé au fil des années un rideau de fer entre statistiques et probabilités (les incitations fortes des différents programmes, et notamment celui de 2000, ont peu infléchi les pratiques), mais encore on a établi une hiérarchie de fait entre ces deux discipli- nes, au détriment des statistiques trop souvent considérées comme des mathématiques au rabais. Les statistiques restent trop souvent dans la société un amas de chiffres obscurs que l’on peut manipuler de façon machiavélique – ce qui n’est pastoujours faux – pour rendre opaque une vé- rité ou la déformer. Les citations abondent dans ce sens ; en voici trois :   «Il y a trois   sortes de mensonges : les mensonges, les sacrés   mensonges et les statistiques. »  (Mark Twain) «La   statistique est la première des sciences   inexactes. » (Jules de Goncourt) «Faites attention, la statistique est toujours la troisième forme du mensonge. » (Jacques Chirac)     Chacun pourra tester son propre sens de l’aléatoire dans l’exemple qui suit. On a consigné ci après quatre séries de 100 chiffres 0 ou 1, dont une seule a été obtenue de façon aléatoire. Il s’agit de dé- terminer laquelle.   Série 1 Série 2 Série 3 Série 4                                              1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0   1 1 0 0 1 0 0 1 0 1   1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0   0 1 0 1 0 0 0 1 0 1   0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1   1 0 1 1 0 0 0 1 0 0   1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1   1 1 1 0 1 0 1 1 0 1   1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0   1 1 0 0 1 0 1 0 1 0   1 1 0 0 1 0 1 0 1 0   0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1   0 1 0 0 1 1 0 1 1 0   0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1   0 1 0 1 1 0 1 1 0 1   0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0   1 0 1 0 1 0 0 1 1 1   1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0   0 1 1 0 1 0 0 1 1 1   0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1   0 1 0 1 0 0 0 1 1 0   0 1 0 1 0 0 0 1 1 0                                             Nombre de 0 : 18 Nombre de 0 : 51 Nombre de 0 : 48 Nombre de 0 : 42 Nombre de 1 : 82 Nombre de 1 : 49 Nombre de 1 : 52 Nombre de 1 : 58                                             Nombre de blocs 25 Nombre de blocs 62 Nombre de blocs 66 Nombre de blocs 53    

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Commentaires  La première idée est de regarder la fréquence d’apparition des chiffres, ce qui permet d’éliminer la première série, qui comporte trop de 1. Le nombre de 1 est en effet une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,5 ; sa moyenne estm150 et son écart-type Μ 15. Sa loi est proche d’une loi normale ayant les mêmes paramètres, pour laquelle environ 95 % des échantil- lons aléatoires sont contenus dans l’intervalle [ m%2 Μ ,m#2 Μ ] , c’est-à-dire [40, 60]. Au seuil de 95%, on peut donc réfuter le caractère aléatoire de la série 1, et accepter celui des séries 2, 3, 4.   On peut également considérer le nombre de blocs, c'est-à-dire de suite de termes analogues dans chacune des séries. Formellement, siX 1 , …,X 100 sont les 100 variables de Bernoulli donnant la va- leur des 100 chiffres, cela consiste à introduire comme compteurs de blocs les variables (Y i ) 1σiσ100 ainsi définies : Y 1 11 et pour 2σiσ100,Y i 11 siX i ¹X i%1 etY i 10 siX i 1X i%1 . 100 Alors S1 ∑ Y i  représente le nombre total de blocs. i11 On aE(Y 1 )11 et pour 2σiσ100,E(Y i )1 1 2 , donc E(S)11#99´0,5150,5 ; c’est le nombre moyen de blocs. De plus,V(Y 1 )10 et pour 2σiσ100,V(Y i )1 1 4 et les Y i  sont indépendantes, donc V(S)199´0, 25124,75. Cela fournit : Μ (S)»5. Pour environ 95% des échantillons aléatoires, le nombre de blocs est donc compris entre 40,5 et 60,5, ce qui permet de réfuter le caractère aléatoire des séries 2 et 3 : elles ont trop de blocs pour être obtenues par hasard. (En fait, ces séries ne comportent pas de séries de chiffres consécutifs de lon- gueur supérieure à 3 : c’est également extrêmement rare.)     II – LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE 1.   Appréhender une série statistique Une série statistique livre un ensemble de données brutes. Lorsqu’elles sont nombreuses, ces données demandent d’être résumées pour en tirer un enseignement. Les graphiques et les para- mètres constituent les principaux résumés, visuels et numériques. Deux points sont essentiels dans la formation des élèves : %   s’habituer à poser des questionsa priori, comme par exemple : « quel résumé semble le plus pertinent pour une étude donnée ? », « quels paramètres sont intéressants à calcu- ler ? » ; %   s’entraîner à comprendre et interpréter les résumés, qu’ils soient visuels ou numériques, et les exploiter pour en tirer un élément de réponse.    Le programme insiste sur la nécessité de travailler le plus souvent possible sur des données réel- les ; la mise à disposition de fichiers numériques permettra un travail sur ordinateur, d’autant plus justifié que ces données seront nombreuses et complexes. Le document ressource préconise le recours à quelques fichiers qui serviront de fil rouge. Par exemple le fichier de l’INSEE sur les 36723 communes françaises, disponible sur le sitehttp://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de- donnees/recensement/populations-legales/france-departements.asp, permet de mener des travaux intéressants sur des exemples de représentations graphiques, des tris, des calculs de fréquences, des calculs de paramètres et leur interprétation, des comparaisons de populations, d’étudier les effets de différents regroupements, d’utiliser le cumul des fréquences, de prélever des échantil-

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lons, d’observer la fluctuation d’échantillonnage, de découvrir la loi de Benford, d’introduire les rudiments du calcul des probabilités, ….   2.   Résumer une série statistique a)   Position du problème Une série statistique numérique offre un premier résumé visuelnaturel tel que l’histogramme (ou le diagramme en bâton, en barres, …). Ce graphi que pose la question de trouver un résu- mé numérique adéquat, à l’aide de paramètres chiffrés traduisant trois notions visuelles : - latendance centrale (centre de gravité, valeur « sommitale », valeurs de partage) ;   -   ladispersiondes données ; -   laforme du graphique (aplatissement, asymétrie). Seules les deux premières notions sont envisagées au lycée ; il n’est pas inintéressant pour un professeur d’en étudier un aspect théorique, qui ne sera pas présenté aux élèves.   b)   Lien théorique entre tendance centrale et dispersion On identifie la série statistiquex 1 , …,x n au vecteurx  (x 1 , ...,x n ) d’un espace euclidien de n dimensionn, identifié àℝ.   Une valeur centrale est par définition une constantec telle que le vecteur constant c  1(c,c,...;c) est proche de  x, au sens suivant : la distance entre  x etc   doit être minimale. La valeur de cette distance minimale est, toujours par définition, la dispersion associée à la valeurc.   On peut envisager cela avec quelques distances classiques dansℝ n   : ·   d υ (  x,  y)1 1 M σiσ a n x x i %y i  ;D υ (x  ,y  ) 1 1 M i ax x i %y i  ;1 n σ σn ·   d 1 (  x,  y)1 ∑ x i %y i  ;D 1 (x  ,y  )1 n 1 1σ ∑ σ x i %y i  ; 1σiσn i n 1 1 · 2 2   d 2 (x,y) (x i y i )   1    1σi ∑ σn %              D 2 (x  ,y  )1    1 n 1σi ∑ σn (x i %y i ) 2    2 (d 2  est la distance eucli- dienne) ; 1 1   ·   d p (x  ,y  )1    1σi ∑ σn (x i %y i ) p    p         D p (x,y)1    n 1 1σi ∑ σn (x i %y i ) p    p  pourp entier,p³1. Les trois résultats suivants donnent le paramètre de tendance centrale et la dispersion asso- ciée, relativement à trois de ces distances, parmi les plus classiques. Théorème 1 d υ (  x,c  ) est minimal lorsquec est égal à lamoyenne des valeurs extrêmes de la série. La valeur de ce minimum est lademi-étendue de la série.   La démonstration est immédiate. Théorème 2   D 1 (x  ,c  ) est minimal lorsquec est égal à lamédianeM e   de la série. La valeur de ce mini- mum est l’écart moyen à la médiane   (EMM). La démonstration du premier résultat peur être conduite en cycle terminal de la série S pour une série ayant 3 ou 4 valeurs, admise pour les séries d’ordre supérieur.  

         

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Théorème 3 D 2 (  x,c  ) est minimal lorsquec est égal àla moyennexde la série. La valeur de cette distance euclidienne minimale est l’écart-type de la série. Ce résultat, hors de portée des élèves de lycée, se justifie de deux façons : -   analytiquement, en étudiant le minimum dex֏ ∑ (x%x i ) 2  ; 1σiσn -   géométriquement, en remarquant que la distance euclidienne dérive d’un produit scalai-  re, et que la distance minimale dex   à la droite vectorielle engendrée parc, qui est aussi engendrée par le vecteuru  (1,...,1) , estminimale pour le projeté orthogonal sur cette droite vectorielle. Ainsi   c  doit être le projeté orthogonal de  x surℝu   ; il est calculé par les conditions :c  (c,...,c) etc  .x  1c  .c  .   On en tire :cx 1 #...#cx n 1c  .x  1c  .c  1nc 2 . D’où :c1 x 1 #...#x n 1x (moyenne de la série). n La dispersion associée est la distance minimale correspondante, soit : 1 D 2 (  x,x  )1    n 1 1σi ∑ σn (x i %x) 2    2 1s (c’est l’écart-type de la série). Ainsi, le couple (moyenne, écart-type) joue-t-il un rôle privilégié parmi les paramètres.   c)   Que choisir en classe ? L’aspect théorique précédent ne doit pas être soulevé en classe ; il a cependant le mérite de montrer que les résumés numériques fonctionnent par deux : un paramètre de tendance centrale et l’indicateur de dispersion qui lui mathématiquement associé. Il faut également re- tenir que les valeurs extrêmes de la série ainsi que le seul paramètre de dispersion qui est of- ficiellement au programme de seconde, à savoir l’étendue, ne doivent pas être méprisés mê- me s’ils sont relativement grossiers : ils interviennent en liaison avec la distanced υ . Ces pa- ramètres ont d’ailleurs une importance réelle dans les séries statistiques où intervient un si- nistre, voire une catastrophe ; ainsi les plans d’occupation des sols doivent tenir compte des hauteurs maximales des cours d’eau plutôt que de leur hauteur moyenne, les normes sismi- ques des bâtiments que l’on construit prennent la mesure des plus grandes magnitudes cons- tatées des séismes, etc. D’autre part, il est important de montrer aux élèves que, pour une série numérique, moyenne et médiane peuvent être très différentes, et de les entraîner à réfléchir à la pertinen- ce du choix des paramètres. La moyenne est très usuelle, mais elle est peu robuste relative- ment à des valeurs extrêmes très élevées ; ainsi le salaire moyen en France est relativement trompeur pour rendre compte du revenu des habitants. Les paramètres d’ordre et leur repré- sentation (médiane, quartiles, déciles, boîtes de dispersion) sont souvent plus appropriés. De plus ces paramètres donnent du sens à la fonction cumulative des fréquences, dont l’équivalent probabiliste est la fonction de répartition d’une variable aléatoire.

    III – DÉFINIR UNE LOI DE PROBABILITÉ 1.   Expérience aléatoire et modélisation a)   Qu’est-ce que modéliser ? Modéliser une expérience aléatoire, c’est définir les résultats possibles (appelés «résultats » ou «issues » ou encore «événements élémentaires »)x 1 , …,x n , que l’on supposera être en nombre fini en classe de seconde, et leur affecter une suite de nombresp 1 , …,p n tous positifs

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ou nuls et dont la somme est égale à 1. L’ensemble des issuesW1 Σ x 1 ,...,x n Υ est l’univers, le nombrep i est appeléprobabilité de l’issuex i , len-uplet (p 1 ,...,p n ) est la loi de probabilité asso- ciée auxn issues. Le mot probabilité a deux sens qu’il ne faut pas confondre, il désigne ici les nombres affectés aux différentes issues, il va désigner aussi une applicationp qui à chaque évé- nementA (au lycée, un événement désigne toute partie deW ; en théorie des probabilités, un événement est une famille de parties appeléetribu qui vérifie certaines conditions de stabilité) associe un nombre compris entre 0 et 1 : la somme des probabilités (au premier sens du terme) des issues qui appartiennent àA.   La modélisation soulève quatre questions. Est-elle mathématiquement juste ? Est-elle uni- que ? Dépend-elle objectivement d’une expérience aléatoire ? Est-elle satisfaisante par rapport à l’expérience ? La justesse mathématique est garantie par les conditions imposées, même si la modélisation n’est pas satisfaisante ; on peut en effet modéliser les six issues résultant du lancement d’un dé équilibré en affectant les probabilités  2 1 ,  1 1 0 ,  1 1 0 ,  1 1 0 ,  1 1 0 ,  1 1 0  aux différentes issues. Cela per- mettra d’effectuer des calculs justes, mais sûrement pas satisfaisants relativement à l’expérience. La modélisation n’est pas unique, comme on peut le voir en avec l’expérience consistant à prélever trois boules dans une urne ; on peut considérer que les boules sont prises ensemble et se ramener à des calculs de combinaison, ou les ordonner et raisonner en termes d’arrangements. On sait bien que ces deux modélisations (à la fois justes et satisfaisantes) conduisent aux mêmes résultats. La question de l’objectivité a été le credo des mathématiciens jusqu’à la fin du XIX ème  siè- cle ; il a été ébranlé lorsque Emile BOREL a démonté le paradoxe de Bertrand décrit ci-dessous. On sait depuis lors que le fait de choisir au hasard n’induit aucune modélisation mathématique objective, et il faut préciser le protocole expérimental utilisé. Donnons-en trois exemples ; le premier (il s’agit du paradoxe de Bertrand) est difficile, mais présente un grand intérêt histori- que ; les deux autres sont abordables en classe de seconde.     Exemple 1 : le paradoxe de Bertrand   Jusqu’à la fin du XIX e  siècle, les mathématiciens avaient l’espoir que chaque « événement » ré- sultant d’une expérience aléatoire ait une probabilité objective calculable. Cette croyance a volé en éclat après la publication en 1889 par Joseph Bertrand d’un célèbre paradoxe qui a jeté un grand trouble dans les esprits, et a ainsi rendu nécessaire une axiomatisation rigoureuse des pro- babilités.   On choisit une corde au hasard sur un cercle. Quelle est la probabilité p qu’elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle (de centre O, de rayon r) ?     ·   Première modélisation : une extrémitéA de la corde est fixée, l’autre extrémi- téM est choisie au hasard sur la circonférence. La corde répond à la question lorsqueM est sur l’arc du cercle situé à droite A de la droite d. La longueur de cet arc est le tiers de la circonférence, donc : 1 . p1 3

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d

·   Deuxième modélisation : le milieuI de la corde est choisi au hasard sur un dia- A mètre [AB]. La corde répond à la question lorsqueI est choisi sur un segment dont les ex- trémités sont situées au quart et aux trois quarts de [AB] ; la longueur de ce segment est la moitié du diamètre, donc : p1 1 2 .  B     ·   Troisième modélisation : le milieuI de la corde est choisi au hasard dans le disque. La longueur de la corde dépasse celle du côté d’un triangle équilatéral inscrit lorsqueI est situé à l’intérieur du disque concentrique de rayon moitié (grisé sur la figure). L’aire de ce disque est égale au quart de celle du disque de départ, donc : p1 4 1 .      Exemple 2 : le problème des cases (Manuel de 1 ère  S, Collection Terracher, 2001)   On choisit au hasard une case blanche dans le damier ci-contre. Quelle est la 1   probabilité d’obtenir une case ayant le numéro 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ?   2 3   as les r O é n s   u v lt é a r t i s fi  : e    sans peine que les trois protocoles suivants ne donnent p mêmes  4 5   ·   Protocole 1 : on choisit au hasard une case blanche parmi les cinq.   Protocole 2 : on choisit au hasard une colonne parmi les trois, puis une case blanche dans la· colonne choisie. ·   Protocole 3 : on choisit au hasard une ligne parmi les trois, puis une case blanche dans la li- gne choisie     Exemple 3 : le problème des bancs (Manuel de Terminale C et E, Analyse et probabilité, Collec- tion Terracher, 1992) Ce problème est repris sous un habillage à peine modifié dans le document d’accompagnement du programme de seconde, page 8.   Dans une pièce se trouvent trois bancs de deux places chacun. Deux personnes entrent et s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité qu’elles s’assoient côte à côte ?   ·   Protocole 1 : on place dans une urne trois boules marquées A, B, C correspondant aux trois bancs. La première personne choisit une boule au hasard, la remet dans l’urne, et va s’asseoir au hasard sur l’une des deux places du banc indiqué. La deuxième personne procède de mê- me. ·   Protocole 2 : on place dans une urne six boules marquées 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspondant aux six places. La première personne tire une boule au hasard et va s’asseoir à la place indiquée ; la deuxième personne procède de même avec les cinq boules restantes   Il est aisé de calculer, par exemple en recourant à un arbre, que la probabilité cherchée est égale à 1 3  dans le premier cas, à  1  dans le deuxième.  5 L’articulation probabilités-statistiques Journées de l’inspection - Octobre 2009 Page 7 Robert FERACHOGLOU

  b)   Les modélisations satisfaisantes Il existe plusieurs modélisations satisfaisantes d’une même expérience aléatoire. Par exem- ple, lorsqu’on lance un dé équilibré, on peut définir l’univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} avec l’équiprobabilité des issues, ou l’univers {« six », « autres nombres »} avec la loi    1 6 , 5 6    . Le choix dépend des objets d’étude. Qu’est-ce qu’une modélisation satisfaisante ? Du point de vue mathématique, la définition d’une loi de probabilité (p 1 ,...,p n ) associée aux issues (x 1 ,...,x n ) est irréprochable dès lors que lesp i  sont tous positifs et de somme égale à 1 ; elle permet de calculer les probabilités de cha- que événement. Ce n’est pas suffisant pour que le modèle soit en accord avec l’expérience aléa- toire. Une détermination satisfaisante desp i  est difficilea priori sauf dans quelques cas particu- lier : %   lorsque l’on reconnaît une expérience déjà connue ; %   lorsque l’on a de bonnes raisons de postuler l’équiprobabilité des issues (tirage aléatoire d’objets identiques, symétries d’un dé ; %   etc. Dans tous les autres cas, et c’est une spécificité du calcul probabiliste, la vérification d’un modè- le ne peut intervenir qu’a posteriori par laloi des grands nombres, que l’on peut énoncer de fa- çon qualitative en termes vulgarisés : «Si le modèle est bon, lorsqu’on réalise un grand nombre de fois l’expérience aléatoire, la dis- tribution des fréquences des différentes issues doivent se rapprocher des probabilités. » Ainsi la réalisation effective d’une expérience aléatoire (ou une simulation satisfaisante) peut donner une idée de la valeur des probabilités, et ce d’autant mieux que le nombre d’expériences est grand, mais ne permet en aucun cas d’en déterminer les valeurs exactes ; par contre, les expé- riences répétées peuvent permettre de réfuter un modèle erroné.   2.   Les lois des grands nombres Il existe plusieurs versions de cette loi. Nous en donnons une version édulcorée, liant la fréquen- ce de réalisation d’un événement et sa probabilité.  Dans une expérience aléatoire, on considère un événementA de probabilitép. Lorsqu’on ré- alisen fois de façon indépendante cette même expérience aléatoire, on considère lavariable aléatoire    F n 1 nombre de réalisations deA . Des valeurs statistiquesf n  de la variableF n  sont ob-   n tenues chaque fois qu’on réalise effectivementn fois l’expérience :f n  est la fréquence des occur- rences deA surn expériences. Les lois des grands nombres démontrent mathématiquement que la suite (F n ) converge versp en un certain sens : -   la loi faible (établie par Jacques Bernoulli, publiée en 1713 dans son ouvrage posthume Ars conjectandi) énonce que pour tout Α 20 , la probabilité queF n  s’écarte dep de plus de Α  tend vers 0 lorsquen tend vers#υ ; autrement dit : " Α 20 , li | m #υ {P ( |F n %p|2 Α ! }10 . n Une démonstration élémentaire s’appuie sur l’inégalité classique de Bienaymé- Tchebychev (siX est une variable aléatoire de moyenne finiem et d’écart-type fini Μ , %m2h Μ σ.alors pour touth20 , on aP ( |X| ! h 1 2 ) -   la loi forte (plus puissante et plus difficile, conséquence des travaux réalisés au XX e  siè- cle par Emile Borel, Francesco Cantelli et Andreï Kolmogorov) précise que limF n 1p   n|#υ

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pourpresque toutes les expériences. Au sens de la théorie de la mesure, cela signifie que l’événement « limF n 1p » a pour probabilité 1. n|#υ    Pratiquement cela assure danspresque tous les cas que la fréquence observée expérimenta- lement se rapproche d’une valeur théoriquep. La modélisation devrait donc attribuer cette valeur p à la probabilité. Cette conception, ditefréquentiste, offre l’avantage d’être cohérente avec l’approche statistique.   3.   L’approche fréquentiste en classe Cette approche a dû être réalisée en classe de troisième. Il n’est peut-être pas inutile de la compléter en seconde, à partir d’une expérience aléatoire simple à réaliser ou simuler. Prenons le cas du lancer de dé, où l’on s’intéresse à la fréquence d’apparition du six. Il s’agit d’observer la stabilisation des fréquences lorsque l’on augmente le nombre de lancer en traçant la courbe d’évolution de la fréquencef n  de l’issue choisie en fonction du nombren de lancers. Un tableur semble indispensable étant donné le grand nombre de lancers requis, et un fichier prêt à servir est disponible sur le serveur académique. En observant l’évolution de la fréquence de sor- tie du six sur 3000 lancers, on a obtenu la courbe suivante, qui montre clairement une stabilisa- tion.                                 Un autre type d’expérience peut être réalisé à la main pour conjecturer une probabilité incon- nue. Un exemple classique consiste à lancer une punaise en métal qui peut tomber soit la pointe sur la table (position A) soit la pointe en l’air (position B). En répartissant les expériences et les calculs dans une classe, on peut observer à nouveau sur environ 600 lancers une relative stabili- sation des fréquences.      IV – SIMULATION 1.   Peut-on simuler une expérience aléatoire ? On veut simuler une expérience aléatoire pour plusieurs raisons : parce que celle-ci est trop difficile à réaliser, trop coûteuse ou trop fastidieuse (à cause du grand nombre de données), parce qu’elle peut comporter une issue catastrophe, etc. La simulation est utile essentiellement pour permettre certaines découvertes, conforter ou infirmer une hypothèse, etc. Le désir de confier l’expérimentation à une simulation se heurte cependant à un obstacle de taille :on ne peut pas simuler une expérience aléatoire, mais seulement une loi de probabilité connue. Cela signi- fie qu’une expérience aléatoire demande un minimum de modélisation avant d’être simulée ; ain- si, pour étudier l’attente de clients dans un dispositif comportant plusieurs sorties (guichets à la poste, caisses de supermarché, péages d’autoroute), on ne pourrait rien simuler sans postuler que L’articulation probabilités-statistiques Journées de l’inspection - Octobre 2009 Page 9 Robert FERACHOGLOU

l’arrivée de chaque client suit une loi connue, décrite par un processus de Poisson (le nombre d’arrivées dans un intervalle de temps donné suit une loi de Poisson, le temps entre deux arrivées suit une loi exponentielle). Ainsi la simulation ne permet pas de découverteab nihilo, mais peut simplement faire con- jecturer des paramètres liés à des lois complexes, en s’appuyant sur la simulation de lois élémen- taires mieux connues. Par exemple, lorsqu’on lancen fois un dé (n³2 ), on peut conjecturer à l’aide d’une simulation une valeur approchée de certaines probabilités (relatives à la somme des chiffres, au maximum, à l’obtention d’une série donnée …), à partir de la simulation de la loi uniforme sur {1, 2, 3, 4, 5, 6} correspondant à chaque lancer, cette dernière étant parfaitement connue.   2.   Nombres aléatoires a)   Qu’est-ce qu’un nombre aléatoire ? La simulation consiste à fabriquer à l’aide d’un programme de calcul une suite de nom- bresx 1 , …,x n , indépendants les uns des autres, où chaque nombre suit une loi de probabilité voulue. On peut obtenir de tels échantillons à partir d’un générateur de nombres aléatoires (procédé «Random » qui devrait fonctionner comme le tirage aléatoire d’un nombre réel ap- partenant à l’intervalle [0 ; 1[), ou à partir d’une table de nombres aléatoires (tirage aléatoire avec remise des chiffres 0, 1, …, 9). Le générateur permet en pratique d’obtenir une table de nombres aléatoires, qui sont les décimales du nombre aléatoire. La définition correcte d’un nombre aléatoire n’est pas simple ; écrit en base deux, les chiffres 0 et 1 de ce nombre doivent se comporter comme les piles et faces obtenues lors- qu’on lance une infinité de fois au hasard une pièce de monnaie équilibrée ; écrit en base dix, un tel nombre pourrait être défini par ses décimales comme si l’on tirait sans relâche et avec remise dans une urne des boules marquées 0, 1, …, 9 . Dans ce dernier cas : %   un nombre aléatoire est nécessairement irrationnel, car un rationnel, ayant ses décimales périodiques, ne peut pas contenir certaines séquences dans la suite de ses décimales ; %   les chiffres 0, 1, …, 9 doivent être équiprobables, mais ce n’est pas suffisant car le nom- bre 0,1234567890 1234567890 ...n’est pas équiprobable car la séquence 11 par exemple n’apparaît jamais ; de tels nombres sont dits « équirépartis en base dix » ; %   les 100 séquences 00, …, 99 doivent se retrouver av ec la même fréquence, ainsi que les 1000 séquences 000, …, 999, et plus généralement le s 10 n séquences 0…0, …, 9…9 (n   chiffres) doivent se retrouver avec la même fréquence 10 %n . Les conditions très fortes imposées à ces nombres (appelés « normaux en base dix ») font douter de leur existence ; cette propriété de normalité a pourtant été prouvée pour certains d’entre eux, comme le nombre de Champernowne 0, 1234567891011121314… (for mé en juxtaposant la suite des entiers naturels) ; on conjecture que les nombrese et ϑ  sont eux aussi normaux en base dix, sans avoir pu le prouver. Cependant, les nombres normaux ne sont pas nécessai- rement aléatoires comme on peut le voir avec le nombre de Champernowne dont les dé- cimales sont parfaitement déterminées et donc prévisibles ; %   d’autres nombres comme ϑ ont des décimales sans régularité, mais ne sauraient être con- sidérés comme des nombres aléatoires : on connaît très bien de courts programmes per- mettent d’obtenir lesk premières décimales de ϑ , ou même lak-ième sans passer par les précédentes (algorithmes compte-gouttes). Au cours du XX ème  siècle, de nombreuses tentatives pour définir un nombre aléatoire (ou une suite de chiffres aléatoires) ont échoué, l’idée intuitive de désordre total dans les décima- les étant difficile à décrire en termes de fréquences. La solution est apparue d’abord en 1965 avec le suédois Per MARTIN-LÖF, puis une dizaine d’années plus tard avec le russe Andreï KOLMOGOROV et l’américain Gregory CHAITIN ; c’est la théorie de la complexité – liée au développement de l’informatique – qui en donne une définition satisfaisante : une suite de nombres est aléatoire si et seulement si elle est incompressible au sens informatique du ter-

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me, c’est-à-dire grosso modo s’il n’existe pas de programme d’obtention desn premières dé- cimales qui soit plus court … que d’en donner la li ste ! On démontre qu’il existe de tels nombres, qui sont toutefois difficiles à appréhender, de part même leur définition   (voir [9]).   Il faut donc renoncer à disposer devrais nombres aléatoires, et l’on se contentera de gé- nérateurs qui fournissent des nombres pseudo-aléatoires, c’est-à-dire de nombres qui donnent l’apparence du désordre (certains auteurs, comme Jean-Louis PIEDNOIR, qui a été inspec- teur général de mathématiques, les nomment «nombres canada-dry », du nom de la célèbre boisson qui présente toutes les apparences de l’alcool, mais qui n’est pas de l’alcool), ou tout au moins de l’imprévisibilité, si l’on ne considère qu’une liste finie assez courte de décima- les.   b)   Obtention de nombres pseudo-aléatoires Les méthodes les plus employées sont basées sur des suites récurrentes ; elles fournissent donc des suites périodiques qui, en théorie, n’ont donc rien d’aléatoire. On s’arrange pour que la période soit assez grande pour garder l’illusion du désordre. Par exemple, dans la méthode multiplicative de Lehmer, on définit une suite d’entiers (r i ) par :r i#1 ºar i #b(modm) , où les entiersa,b,r 0  bien choisis sont implémentés à la création du processeur etm est le plus grand possible (sur ordinateur, on prend souvent 2 p%1  oùp est le nombre de bits d’un mot machine, c’est-à-dire 32 ou 64). On considèrem1, alors que les nombres r i forment une suite m%1 de nombres pseudo-aléatoires. (Voir [8].)    3.   Simulation de quelques lois classiques a)   De quoi s’agit-il ? Il s’agit de simuler toute loi de probabilité connue à partir d’un échantillon de nombres pseudo-aléatoires. Théoriquement cela revient, si une variable aléatoireU suit la loi uniforme sur [0 ; 1], à exprimer la loi d’une variable aléatoire donnéeX en fonction de celle deU.   b)   Loi équirépartie sur [[1 ;n]], l’ensemble des entiers compris entre 1 etn   Cette loi correspond au lancer aléatoire d’un « dé » àn faces ou au tirage au hasard dans une urne contenant des boules marquées 1, …,n. La variableX1E(nU)#1 suit la loi correspondante (E désignant la partie entière). Cela signifie en pratique que si lesu i  sont des nombres pseudo-aléatoires, les nombres x i 1E(n´u i )#1 sont des entiers au hasard compris entre 1 etn.   c)   Loi uniforme sur l’intervalle [a,b] La variableX1(b%a)´U#a suit la loi uniforme sur l’intervalle [a,b].   d)    Loi de Bernoulli de paramètrep, et loi binomiale La variableX définie par :X11 siUσp etX10 siU2p suit la loi de Bernoulli de paramètrep. SiX 1 , …,X n suivent la même loi de Bernoulli de paramètrep et sont indépendantes, alors X1X 1 #...#X n  suit la loi binomiale de paramètresn etp. Cela permet aisément de simuler une loi binomiale à partir d’un générateur aléatoire, que l’on itèren fois. Lorsquen est grand, il est préférable de considérer que la loi binomiale est proche d’une loi normale (voir plus loin).       

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