Baccalauréat série S La Réunion correction

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat, série S – La Réunion, correction 29 juin 2010 Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]?1 ; +∞[ par f (x)= 1+ ln(1+ x). On note C f sa courbe représentative dans un repère orthononnal (O;~ı ;~?). On note D la droite d'équation y = x. Partie A 1. (a) Sens de variation de la fonction f : f ?(x)= 11+ x > 0 sur ]?1 ; +∞[ La fonction f est donc croissante sur (O;~ı ;~?) (b) Limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition : lim x??1+ f (x)=?∞ car lim x??1+ 1+ x = 0+et lim x??1+ ln(1+ x)=?∞ lim x?+∞ f (x)=+∞ car lim x?+∞ 1+ x =+∞ et lim x?+∞ ln(1+ x)=+∞ Tableau de variations de f : x f ?(x) f (x) ?1 +∞ + ?∞ +∞ 2. On désigne par g la fonction définie sur l'intervalle ]?1 ; +∞[ par g (x)= f (x)? x.

• face verte au pre


• restitution organisée de connaissances


• lamême couleur


• points commun


• repère orthonormal direct


• plan complexe

Sujets

• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2010
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

Baccalauréat,sérieS–LaRéunion,correction
29juin2010
Exercice1 6points
Communàtouslescandidats
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]?1;?1[par
f(x)?1?ln(1?x).
OnnoteC sacourbereprésentativedansunrepèreorthononnal(O;~ı;~|).f
OnnoteDladroited’équation y?x.
PartieA
1. (a) Sensdevariationdelafonction f :
10f (x)? ?0sur]?1;?1[
1?x
Lafonction f estdonccroissantesur(O;~ı;~|)
(b) Limitesdelafonction f auxbornesdesonensemblededéfinition:
?lim f(x)??1car lim 1?x?0 et lim ln(1?x)??1
? ? ?x!?1 x!?1 x!?1
lim f(x)??1car lim 1?x??1et lim ln(1?x)??1
x!?1 x!?1 x!?1
Tableaudevariationsde f :
x ?1 ?1
0f (x) ?
??11
f(x)
??11
2. Ondésigneparglafonctiondéfiniesurl’intervalle]?1;?1[par g(x)? f(x)?x.
(a) lim g(x)??1:
x!?1
?
lim g(x)? lim 1?x?ln(1?x)??1car lim 1?x?0 , lim ln(1?x)??1et lim 1?x?2
? ?x!?1 x!?1 x!?1 x!?1 x!?1
(b)
ln(1?x) lnX
lim ?0car lim 1?x??1et lim ?0
x!?1 x!?11?x X!?1 X
? ?
1?x ln(1?x) ln(1?x) 1?x
lim g(x)? lim ? lim (1?x) ? ??1car lim ?0et lim ??1
x!?1 x!?1 x!?1 x!?1 x!?11?x 1?x 1?x 1?x
(c) Sensdevariationdelafonction g
1 ?x0 0g (x)? f (x)?1? ?1? dusignede?x sur]?1;?1[
1?x 1?x
Lafonction g estdoncstrictementcroissantesur]?1;0[etstrictementdécroissantesur]0;?1[.
Ellepossèdeunetange,ntehorizonateaupointd’abscisse0.
Tableaudevariationsdelafonction g :
1x ? ? ?1?1 0
0 ?f (x) ? 0
1
0 0f(x)
?1 ?1
(d) Surl’intervalle]?1; 0[,lafonction g estcontinue,commesommeetcomposéedefonctionscontinues,et
strictementcroissante.Elleréalisedoncunebijectionde]?1; 0[sur]?1; 1[.Or0appartientàl’ensemble
d’arrivée]?1; 1[.Donc,0possèdeununiqueantécédent,noté?dans]?1; 0[.
Sur l’intervalle ]0 ; ?1[, la fonction g est continue, comme somme et composée defonctions continues,
et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de ]0 ; ?1[ sur ]?1 ; 1[. Or 0 appartient à
l’ensembled’arrivée]?1; 1[.Donc,0possèdeununiqueantécédent,noté?dans]0;?1[.
Deplus: ?
g(2)'0,0986?0
?)2???3
g(3)'?0,614?0
(e) Signede g(x):
• ?1?x???)g(x)?g(?)?0. (Lafonction g estcroissantesur[?1;?[).
• ??x?0?)g(?)?0?g(x). (Lafonction g estcroissantesur[?;0]).
• 0?x???)g(x)?0?g(?). (Lafonction g estdécroissantesur[0;?[).
• x???)g(x)?0?g(?). (Lafonction g estdécroissantesur[?;?1[).
x ? ? ?1?1
? ?Signe de g(x) ?0 0
Position relative deC et de D C ?(D) C ?(D) C ?(D)f f A f B f
PositionrelativedelacourbeC etdeladroiteD:f
• C estsituéeaudessusdeladroiteDpour x2]?;?[.f
• C estsituéeendessousdeladroiteDpour x2]?1;?[[]?;?1[.f
3
B
2
1
?
??1 1 2 3 4 50
A ?1
?2PartieB
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en
comptedansl’évaluation. ?
u ? 20Soit u lasuitedéfiniepourtoutnombreentiernatureln par:( )n u ? f (u )n?1 n
1. Pourtoutnombreentiernatureln, 2?u ??.Démonstrationparrécurrence:n
• Ona2?u ?2??0
• Supposonsque,pourunn donné,onait:2?u ??,alors,lafonction f étantcroissantesur[2;?]:n
2?u ???) 2 ?2,09861228867' f(2)? f(u )? u ? f(?)? ?n n n?1
• Ainsi,8n, n2 , 2?u ??.n
2. Lasuite(u )estcroissante(enutilisant lesignede g(x)étudiéplushaut):n
u ?u ? f(u )?u ?g(u )?0sur[2;?]n?1 n n n n
Donc,(u )étantunesuitecroissanteetmajoréepar?,elleestconvergente.n
Exercice2 4points
Communàtouslescandidats
PartieI
On dispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces
rouges.
Unjeuconsisteàlancerdeuxfoisdesuite etdemanièreindépendantecedé.Onnoteàchaquelancerla couleur
delafaceobtenue.
OnnoteV ,N etR (respectivementV ,N etR )lacouleurobtenueaupremier(respectivementsecond)jet.1 1 1 2 2 2
1. Probabilitépourqu’àl’issued’unjeu,lesdeuxfacesobtenuessoientnoires:
2 2 1
Lesdeuxjetsétantindépendants,nouspouvonsécrire: p(N \N )?p(N )?p(N )? ? ?1 2 1 2
6 6 9
2. Soitl’évènement C:«àl’issued’unjeu,lesdeuxfacesobtenuessontdelamêmecouleur».
? ? ? ? ? ?2 2 21 2 3 7
p(C)?p(V \V )?p(N \N )?p(R \R )?p(V )?p(V )?p(N )?p(N )?p(R )?p(R )? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6 6 6 18
3. Probabilitépourqu’àl’issued’unjeu,lesdeuxfacesobtenuessoientdecouleursdifférentes:
7 11
p(C)?1?p(C)?1? ?
18 18
4. Àl’issued’unjeu,sachantquelesdeuxfacesobtenuessontdelamêmecouleur,laprobabilitépourquelesdeux
facesobtenuessoientvertes:
? !2
1
6p(C\V) p(V) 1 36 1
V?C?)C\V?V?)p (V)? ? ? ? ? ?C
p(C) p(C) 7 36 14 14
18
PartieII
Ondisposed’unseconddécubiqueBéquilibréprésentantquatrefacesvertesetdeuxfacesnoires.Lenouveaujeu
sedérouledelamanièresuivante:onlanceledéB;
• silafaceobtenueestverte,onlanceànouveauledéBetonnotelacouleurdelafaceobtenue;
• silafaceobtenueestnoire,onlanceledéAetonnotelacouleurdelafaceobtenue.
1. (a) Arbredeprobabilitéstraduisantcettesituation.:
NR
3/6
2/6
N N1
1/63
V
1/3 N2
3 V
2/3 V
(b) Probabilitéd’obtenirunefaceverteaudeuxième lancer,sachantquel’ona obtenuunefaceverteaupre-
mierlancer:
2
p (V )?V 21
3
4
2. Probabilitéd’obtenirdeuxfacesvertesestégaleà :
9
2 2 4
p(V \V )?p (V )?p(V )? ? ?1 2 V 2 11
3 3 9
3. Probabilitéd’obtenirunefaceverteaudeuxièmelancer:
1 1 2 2 9 1
p(V )?p(N \V )?p(V \V )?p (V )?p(V )?p (V )?p(V )? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 N 2 1 V 2 11 1 6 3 3 3 18 2
Exercice3 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; ?1[, vérifiant la
0 2 2xcondition(E):pourtoutnombreréel x strictementpositif, xf (x)?f(x)?x e .
1. Une fonction f, définieetdérivablesur l’intervalle ]0 ; ?1[,vérifiela condition(E), alorsla fonction g définie
f(x)
surl’intervalle]0;?1[par g(x)? vérifie,pourtout x de]0;?1[:
x
? ?0 0 2 2xf(x) xf (x)?f(x) x e0 2xg (x)? ? ? ?e
2 2x x x
2. Ensembledesfonctionsdéfiniesetdérivablessurl’intervalle[0;?1[quivérifientlacondition(E):
1 f(x) 10 2x 2x 2x
f vérifieE?)g (x)?e ?)g(x)? e ?k? ?) f(x)? xe ?kx aveck2
2 x 2
Réciproquement:
1 1 1 12x 0 2x 2x 0 2x 2 2x 2x 2 2xf(x)? xe ?kx?) f (x)? e ?xe ?k?)xf (x)?f(x)? xe ?x e ?kx? xe ?kx?x e
2 2 2 2
1
3. Fonction h définieetdérivablesurl’intervalle]0;?1[vérifiantlacondition(E)ets’annulanten :
2
? ?
1 1 1 1 e 1 e1 2xh ? ? e ?k ?0()k?? ?)h(x)? xe ? x
2 2 2 2 2 2 2
PartieB
Onconsidèrelafonctionh définiesurl’intervalle[0;?1[par
? ?1 e e2x 2x?1
h(x)? xe ? x? x e ?1
2 2 2
OndésigneparC sacourbereprésentativedansunrepèreorthonormal(O;~ı;~|).
R2x?11. Signedeh(x): x étantpositif, h(x)estdusignedee ?1et,commelafonctionexponentielle eststrictement
croissantesur :
12x?1 2x?1 0e ?1?0()e ?e ()2x?1?0()x?
2
Ainsi:
1x ?10 2
?Signe de h(x) 0 0 ?
2. (a) Àl’aided’uneintégrationparparties:
0u?x u ?1
onpose: ,ainsi: et:0 2x 1 2xv (x)?e v(x)? e
2
1 1Z1 ? ? Z1 ? ?
2 22 1 2 1 1 1 1 1 1 12x 2 2x 2xxe dx? xe ? e dx? e? e ? e? e? ?
2 2 4 4 4 4 4 40 00 0
Ainsi:
1Z1 Z1 Z1 ? ?2 2
2 1 2 2 e 1 1 e x 1 e 2?e2xh(x)dx? xe dx? xdx? ? ? ? ? ? '?0,04489
2 2 2 4 2 2 8 16 160 0 0 0
? ?
1(b) Lafonction h étantnégativesurl’intervalle 0; ,l’intégralecalculéeplushautestnégative.2
Ainsi,enunitéd’aire,lavaleurexacteA del’airedelapartieduplansituéeendessousdel’axedesabscisses
etaudessusdelacourbeC est: ? ?
? ?2?e e?2? ?A? ?? ?16 16
0.7
0.6
0.5 C
0.4
0.3
0.2
0.1
A
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
A
?0.1
?0.2
Exercice4 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
PartieI:Restitutionorganiséedeconnaissances
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O;u~;~v).
Soient A,BetCtroispointsdupland’affixesrespectives a, b, c.
OnsupposequeAetBsontdistincts,ainsiqueAetC.
R? ??!!?Onrappelleque u, AB ?arg(b?a) [2?].
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??! ?! ?! ?! ?! ?!!? !? !? !?AB, AC ? AB, u ? u,AC ?? u,AB ? u,AC
? ?c?a
??arg(b?a)?arg(c?a)?arg [2?]
b?a
PartieII
~ ~Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O;u;v).
OnconsidèrelepointAd’affixe1?i.
0Onassocie,àtoutpointMdupland’affixe z nonnulle,lepointM d’affixe
z?1?i0z ?
z
0LepointM estappelélepointimagedupointM.
01. (a) AffixedupointB ,sousformealgébrique,imagedupointBd’affixei:
i?1?i ?1 ?i
z 0? ? ? ?iB 2i i i
0 0 0(b) PourtoutpointMdupland’affixe z nonnulle,l’affixe z dupointM esttelleque z 6?1.Eneffet:
z?1?i0z ?1() ?1()z?1?i?z()?1?i?0 impossible
z
? ?
0 0? ?2. EnsembledespointsMdupland’affixez?x?iy nonnullepourlesquelsl’affixedupointM esttelleque z ?1
estladroited’équation y??x?1:
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?z?1?i 2 20 2 2? ? ? ? ? ? ? ?z ?1() ?1()jz?1?ij ?jzj () x?iy?1?i ? x?iy? ?z
2 2 2 2
()(x?1) ?(y