Exercice p

Dom_Non_Admin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Exercice 5 p 302 : 1) ; 145 ; ; 113 Dans le repère orthonormé, · 1 4 15 18 Or, · cos, . Ainsi, cos, · 18!1_$ 4$ 5$ √1$ 1$ 3$ 18√462 c'est-à-dire : cos ( 18√462 2) OU 1ère méthode : · ) · ) , car · , 0 (la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc, ) · 18√11 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d'après le théorème de Pythagore : )$ $ )$ )$ 42 . 18√11/$ 42 32411 13811 , donc ) 213811 L'aire du triangle est donc : )2 √11 3 138112 12√138 u. a.

• ssi z


• kl m12012


• ei ei


• ssi


• √22 √22


• milieu de fg


• eb kl


• √32 √32

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Extrait

Exercice 5 p 302 : 1)        1   1                ;  4  ;     ; 1       5   3 Dans le repère orthonormé,    ·  1  4  15  18     Or, ·      cos,. Ainsi,    · 18 18   cos,     $ $ $$ $ $    !"1#  4 5 √1 1  3 √462 c’est-à-dire : 18 ( cos  √462 2)

OU

ère 1 méthode:      ·  ) ·   )  ,car  ·  0 (la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc,    · 18 )   √11 $ $ $ Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d’après le théorème de Pythagore :) )  $ 18 324138 138 $ ) 42  / 42  , donc )   11 1111 √11 L’aire du triangle est donc : 138  √11    )1 11     u. a. √138 2 22

ème 2 méthode: Notons "; ; # les coordonnées du point H.    On sait que) ·   0et que)etsont colinéaires.           )      3  ; )       4   ) ·   0      3  3  12  0      3  15  0    )etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que)  :. Or       1      )      1 ; )       1   1  :   < Ainsi,)etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que   1  :   1  3:   1 : < ssi il existe un réel:tel que   1  :   1  3: Par conséquent, H est le pied de la hauteur issue de A ssi   1 : <     3  15  0 et il existe un réel : tel que   1  :   1  3:   1 : < ssiil existe un réel : tel que   1  :et 1  :  1  :  3  9:  15  0   1  3:   1 : EF < ssiet :   1  :il existe un réel : tel que EE   1  3: $G HIJ ssi ;  ;  EE EEEE $G EE $ $ $ $N $G $N EEJF   Ainsi, )  et) R S RS R S   EE EE EE EEEE E  EE O ère On termine comme à la 1méthode pour le calcul de l’aire.

Exercice 7 p 302 : 1 4 T 2 etU 2  3 0 1) a) Dans le repère orthonormé, T·U4400 TetUsont donc bien orthogonaux. E $ $ $ b) V T1 √ V 432 √ 1, doncWolinéaire àTe E Test ct de norme 1. √EI E $ $$  0 20 c)  "2# √ VUV  !4 , doncW $ Uest colinéaire àUet de norme 1. √$X   2  3  0  2  3  0 < < 2) a)Yest orthogonal àTetUssi0YT·YU·ssiZssiZ 4  2  0  2 \    < ssi[ J   2 Il y a donc une infinité de solutions. 3 Si l’on choisir, par exemple,  3, on obtient :6 Y etYest orthogonal àTetU. 5 b) En utilisant ce qui précède, il suffit de prendre un vecteur de norme 1, colinéaire àY. E ^E $ $$ V Y V  ! 36 " 5 # 7WYWY √ 0, donc J ou J . √HX √HX

Exercice 10 p 302 : Voir figure sur Geospace. Choisissons un repère orthonormé.    Le repère_; _, _, _)convient. Dans ce repère, les différents points ont pour coordonnées : "1; 0; 0#, "1; 1; 0#, "0; 1; 0#, _"0; 0; 0#, `"1; 0; 1#, à"1; 1; 1#, b"0; 1; 1#, )"0; 0; 1# 1 11 1 1 C 1;; 1/ , D 0;; 1/ , É ; ;/ 2 22 2 2 carCest le milieu de f`àg ,Dla milieu de f)bg et O le milieu f)g . On obtient donc : 1 1 2 2      h h 1 1           É   h et de même É  , soit É ,  h  , É 2 2      h h 1 1   O O 2 2 E E EE   Ainsi,  É · É  I I II $ $ $$ $$ E E E√J EE E√J    OrR S RS R SÉ ,R SÉ R S RS et $ $ $$ $$ $$   ( É · É  É  É  cosÉ, donc 1   É · É1 4 ( ( cosÉ  et Ék 70,5°   3 É  É √3 √3  2 2 De la même façon, 1  2 1    1 É· Éb1 4  (( Éb ,cosÉb   etÉb k 109,5°   3 2 É  Éb √3 √3  1 2 2 O 2 1 1  2 2   ÉC · ÉD0    ÉC 0 ,ÉD 0 ,cosCÉD  0 et CÉD  90°   ÉC  ÉD √2 √2 1 1  2 2 2O 2 O 0 1 5   1 1 C · D5 √5 4    C ô , D ô , cosCD  et CD k 41,8°  3 2 2 C  D √5 3 3√5  1 1 2 2

Exercice 38 p 305 : "3; 0; 3# et "1; 1; 4# 1) Le plan (P), médiateur de fg est le plan perpendiculaire à "# , passant par le milieu de fg .  Le vecteurest donc un vecteur normal à (P).     2           1 ,     1 Cherchons une équation cartésienne de (P) sous la formep        0. On peut prendrep  2,  1et  1. (P) admet donc une équation du type :2        0. (P) passe par le milieu de fg ; notons ce point I. E EE EH "  #  2 ;  "  #    "  #  On a :      et   . $ $$ $$ 1 7 C û "v#  2     0  4    0       0 2 2 (P) admet donc pour équation :2      0. 2) "Π# admet pour équation    2  3  0. 1 Le vecteur 1   est donc normal au plan "Π# . 2 # "Π#fg On cherche " ;  ;  tel quesoit le plan médiateur de.    Cela revient à chercher C tel queetsoient colinéaires et "Π# passe par le milieu de fg .        3 1             ,   et 1 sont colinéaires ssi il existe un réel:tel que  :    3     2  3  : 3  :   < <  : : ssi il existe un réel:tel que    ssi il existe un réel:tel que   3  2: 3  2:   NotonsDle milieu de fg . E zE zE   " #  3  ;   "   #     "  #  3  : Alors, y    y  et y  $ $$ $$ : : D û "Π#     2 3  0  3   /  2"3  :#  0  :  4 y yy 2 2  1  <  Ainsi,    4 .  5  3) {"; ; # est équidistant de A, B et C ssi{appartient au plan médiateur de fg et à celui de fg . 2      0 < ssi "; ; # est solution deZ     2  3  0 ssi { û "v# | "Π# . 2 1  Remarquons que les vecteurs 1et 1 ne sont pas colinéaires. Les plans "v# et "Π# ne sont pas 1 2 parallèles et "v# | "Π# est une droite.