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Ammarcha, Chawki

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
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• p21


• transition p21


• vidange de mélangeur


• évolution de la masse des particules m1


• p21 pendant la vidange


• approche de modélisation markovienne


• probabilité


• masse retenue


• fluence sur l'évolution de la probabilité de transition

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Probabilité

Informations

• Publié par: profil-mazor-2012
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• Langue: Français
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Extrait

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Introduction

4

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la modélisation de la dynamique de l’écou- lement des poudres, dans le pilote de mélange en continu "Gericke GCM 500", lors des différentes phases transitoires étudiées auparavant (démarrage, vidange, changement de

conditions opératoires...). En particulier, deux approches de modélisation markovienne se-

ront développées dans le but de modéliser l’effet de l’agitation sur l’écoulement des particules,

et ce à un niveau macroscopique "boite noire", puis mésoscopique "boite grise". L’objectif

est de trouver un cadre de modélisation dans lequel les résultats précédents vont pouvoir être

inclus, et de le généraliser par la suite pour qu’il soit utilisable dans le cas de l’écoulement

d’un mélange.

4.1

Développement d’un modèle "Macroscopique"

L’approche de modélisation Markovienne consiste à prédire l’évolution dans l’espace

et/ou le temps d’une propriété donnée du système, telle que la taille, le nombre ou la masse

des particules. L’état de ce système est observé à des intervalles de temps réguliers, avec un

pas de discrétisation suffisamment petit. Dans cette approche, il est habituel de décomposer

le système étudié en plusieurs cellules entre lesquelles les particules peuvent transiter et la propriété observée peut changer. Dans cette première partie, le procédé de mélange en

continu est représenté avec une approche simplifiée en utilisant uniquement deux cellules,

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE APPLIQUÉ EN VIDANGE DE MÉLANGEUR

comme le montre la figure4.1. La première représente le mélangeur en entier : le niveau de

discrétisation est ainsi la totalité de la cuve de mélange. La deuxième cellule correspond à la

sortie du mélangeur, elle est appelée état absorbant. Aucune transition n’est possible depuis

cette deuxième cellule, la probabilité que les particules restent dans l’état absorbant est ainsi

P 22 =1. Après chaque transition, les particules peuvent se déplacer de la cellule 1 vers la cellule 2.

Ainsi, la propriété observée, qui est dans notre cas la masse des particules dans chaque cellule,

est modifiée. La matrice des probabilités de transition entre les cellules est appelée P. C’est

une matrice carrée d’ordre 2. Chaque élément P i j de cette matrice représente la probabilité d’une particule de se déplacer de la cellule j vers la cellule i en une transition.

F IGURE 4.1 – Mélangeur continu représenté avec deux cellules de chaîne de Markov

Notons ΔF 1 ( n ), la masse de particules introduites dans le mélangeur pour la transition n. Soit M 1 ( n ) la masse de particules dans le mélangeur (ou dans la cellule1) et M 2 ( n ) celle collectée en sortie du mélangeur (l’état absorbant). Le procédé peut être représenté par une

équation matricielle écrite sous la forme suivante :

      M 1 (n+1)P 1,1(n) 0M 1 (n)+ΔF 1 (n) = ∗(4.1) M 2 (n+1)P 2,1 (n) 1M 2 (n) Cette simple représentation peut être utilisée pour décrire aussi bien la vidange que le

démarrage ou le régime permanent. Pour cela, il suffit de connaitre l’état initial du système

et d’identifier la matrice des probabilités de transitionP(n), à chaque transition n, dans ces

deux cas de figure.

136

M ODÈLE M ACROSCOPIQUE APPLIQUÉ EN VIDANGE DE MÉLANGEUR

4.1.1

Application du modèle en vidange de mélangeur

4.1.1.1 Détermination des probabilités de transition

La vidange du mélangeur peut être considérée comme un mode de fonctionnement semi-

batch. Initialement, le mélangeur est rempli par une masse connue M 1 ( t= 0) =M i ni t i al e . Quant à l’état absorbant, il est initialement videM 2 (t=0)=0. Au démarrage de l’agitation, les particules commencent à sortir avec un débit décroissant.

Sachant que le mélangeur n’est pas alimenté pendant cette phase ( ΔF 1 ( n ) = 0) , l’équation représentant ce procédé (équation4.1) peut être simplifiée par l’équation4.2:

      M 1 (n+1) 1−P 2,1 (n) 0M 1 (n) = ∗(4.2) M 2 (n+1)P 2,1 (n) 1M 2 (n) La connaissance de l’état initial de ce système et de la matrice des probabilités de transi-

tion, ou de leur évolution dans le temps dans le cas d’une chaîne non-homogène, permet de

prédire l’état du système à n’importe quel instant par des multiplications successives.

Le paramètre inconnu a priori est ainsi la probabilitéP 21 , qui s’exprime par :

M 2 (n+1)−M 2 (n) (M 1 (t=0)−M 1 (n+1))−(M 1 (t=0)−M 1 (n)) P 21 (n)= = M 1 (n)M 1 (n)

(4.3)

Cette probabilité de transition de la cellule 1 vers la cellule 2 peut être déterminée expé-

rimentalement. Pour cela, il suffit de mesurer l’évolution de la masse des particules M 1 au cours du temps, puis de calculer cette probabilité par l’équation4.3.

La figure4.2montre un exemple de résultats obtenus. Dans cet exemple, la probabilité de

transition P 21 est représentée en fonction de la masse retenue dans le mélangeur ( M 1 ). Ces résultats ont été obtenus pour différentes vitesses d’agitation (entre 10 et 50Hz) et un pas de

discrétisation de 1,6 s.

D’après l’ensemble des résultats, nous pouvons dire que la masse initiale n’a pas d’in-

fluence sur l’évolution de la probabilité de transition. Ce résultat n’est pas surprenant puisque

nous avons vu précédemment (chapitre 3) que la masse initiale n’a pas d’influence sur l’évo-

lution du débit de la vidange.

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE APPLIQUÉ EN VIDANGE DE MÉLANGEUR

F IGURE 4.2 – Évolution expérimentale deM 1 etP 21 pendant la vidange

En examinant ces résultats, nous remarquons que selon la valeur de la masse retenue dans

le mélangeur, nous distinguons trois régimes de probabilités de transition correspondant aux

différents régimes d’écoulement qui ont été définis précédemment (partie 3.1.2).

En effet, tant que la masse retenue est supérieure à la masse seuil M se ui l , la probabilité de transition P 21 reste constante. De même, en dessous de la masse minimale M m i n cette probabilité est nulle. Entre ces deux masses limites ( M m i n ) et ( M se ui l ) la probabilité P 21 varie linéairement avec la masse retenue. Ainsi, nous écrivons :

pour M 1 ≥M se ui l :

P 21 =P 21m a x

pour M 1 ≤M m i n :

pour M≤M≤M: m i n1 se ui l

P 21 =0

P 21 (n)=a v (M 1 (n)−M m i n )

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Quand la masse retenue est supérieure à la masse seuil, la probabilité P 21 reste constante. Ceci signifie que la matrice des probabilités de transition ne dépend pas de l’état du système

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE : R ÉPONSE À UN ÉCHELON

M= ( M 1 ,M 2 ). Dans ce cas, la chaîne de Markov est homogène, et l’évolution de ce système est décrite par l’équation suivante :     n   M 1 (n) 1−P 2,1m a x 0M 1 (1) = ∗(4.7) M 2 (n)P 2,1m a x 1M 2 (1) Dans ce régime, et selon cette représentation Markovienne, le débit de sortie à l’instant n∗Δt

s’écrit sous la forme :

Qout(n)∗Δt=P 21m a x (n)∗M 1 (n)

(4.8)

En utilisant les équations3.7et3.12, il est possible de déterminer P 21m a x . En effet, pour M 1 (n)>M se ui l nous pouvons écrire : P 21m a x Qout(n)=r m a x ∗M 1 (n)=k v 3 ∗N∗M 1 (n)= ∗M 1 (n) (4.9) Δt

Ainsi, on déduit :

P 21m a x =k v 3 ∗N∗Δt

(4.10)

En revanche, lorsque la masse retenue M 1 est comprise entre la masse seuil et la masse minimale, la probabilité de transition peut être décrite par une relation linéaire, comme

le montre l’équation4.6. Dans le cas de ce régime, la probabilité de transition P 21 dépend de l’état de la cellule 1 ( M 1 ). A la différence du cas précédent, la chaîne de Markov est ici une chaîne non homogène (non linéaire), car il existe une dépendance entre la matrice des

probabilités de transition et l’état du systèmeM=(M 1 ,M 2 ). Plus particulièrement, à l’instant n, la probabilité de transition P 21 ( n ) dépend de la masse retenue à cet instant M 1 ( n ) et de deux paramètres empiriques M m i n et a v . Sachant que

M m i n a été reliée empiriquement à la vitesse d’agitation N selon l’équation3.11: ( M m i n = −0.5 k v 2 ∗N ) ; il reste à déterminer le paramètre a v . Pour cela, nous allons d’abord exprimer le débit de sortie en fonction de ce paramètre en écrivant : a v Qout(n) = ∗M 1 (n)∗(M 1 (n)−M m i n ) (4.11) Δt Puis, en comparant cette équation avec celle obtenue auparavant (3.13) nous pouvons déter-

miner la valeur dea v : (Qout(n)=k v 1 ∗N∗M 1 (n)∗(M 1 (n)−M m i n )). On déduit alors que a v =k 1 ∗N∗Δt . Ainsi, la probabilité que les particules quittent le mélangeur à un instant n peut être décrite par l’expression suivante : k v 2 P 21 (n)=k v 1 ∗N∗Δt∗(M 1 (n)−M m i n )=k v 1 ∗N∗Δt∗(M 1 (n)− ) (4.12) N Finalement dans ce régime non linéaire, on retient que la vitesse de vidange dépend de la

masse retenueM 1 et de la vitesse de rotation N.

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE : R ÉPONSE À UN ÉCHELON

4.1.1.2 Réponse du modèle à un échelon de vitesse d’agitation N

Comme la vitesse d’agitation est le principal paramètre du procédé de mélange, nous

avons voulu étudier son effet sur la dynamique du système à travers des simulations compa-

rées aux résultats expérimentaux.

La démarche expérimentale consiste à appliquer un échelon ( positif ou négatif ) sur la

vitesse d’agitation pour mettre en évidence son effet sur l’évolution de la masse retenue

et le débit de la vidange. En terme de simulation, ces deux paramètres sont calculées par

l’utilisation de la chaîne de Markov. En particulier, à chaque transition n, la matrice des

probabilité de transition P(n) est déterminée par les les équations empiriques4.10et4.12.

Ensuite, les futures masses retenues et absorbantes ( M 1 ( n+ 1) et M 2 ( n+ 1) ) sont calculées par l’équation4.2:

      M 1 (n+1) 1−P 2,1 (n) 0M 1 (n) = M 2 (n+1)P 2,1 (n) 1M 2 (n) Après chaque transition n, la masse retenue M 1 ( n ) et de masse absorbante M 2 ( n ) sont calculées par ce modèle. Ainsi, le débit de sortie à cet instant ( Qout ( n )) peut être calculé par

la variation de la masse des particules dans l’état absorbant entre deux transitions succes-

sives :

Avect=n∗Δt

M 2 (n)−M 2 (n−1) Qout(n)= Δt

(4.13)

Deux exemples de comparaison entre les résultats expérimentaux et ceux issus des simula-

tions sont illustrés sur les figures4.3et4.4. Dans ces deux exemples, la vitesse d’agitation a

été brusquement changée pendant la vidange. Ceci nous a permis d’examiner si le modèle

était capable de prédire l’évolution dynamique du procédé pendant ces phases transitoires.

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE : R ÉPONSE À UN ÉCHELON

F IGURE 4.3 – Confrontation modèle-expérience lors d’un échelon de 20 à 40Hz à t=40s :(a) masse retenue ; (b) débit de vidange

F IGURE 4.4 – Confrontation modèle-expérience lors d’un échelon de 35 à 15Hz à t=40s : (a) masse retenue ; (b) débit de vidange

Ces exemples illustrent les évolutions expérimentale et théorique de la masse retenue et

du débit de sortie pendant la vidange, avant et après l’application d’un échelon sur la vitesse

d’agitation N. Rappelons que le modèle n’est pas ajusté aux valeurs expérimentales, même

s’il est issu des expériences.

Dans le premier exemple de la figure4.3, la vidange a commencé avec une vitesse d’agi-

tation de 20Hz. Après 40s, cette vitesse a été changée de 20 à 40 Hz, ce qui a entrainé une

augmentation instantanée du débit de sortie sous forme d’un pic. Immédiatement après, ce

141

M ODÈLE M ACROSCOPIQUE : R ÉPONSE À UN ÉCHELON

débit de sortie a repris son allure décroissante qui est devenue régie par la nouvelle vitesse

d’agitation (40Hz). Le deuxième exemple proposé sur la figure4.4consiste à appliquer un

échelon négatif sur la vitesse N de 35 à 15 Hz. Il permet à son tour de confirmer la validité du

modèle développé et sa capacité à décrire l’évolution du système même après une variation

brusque d’un paramètre opératoire tel que la vitesse d’agitation N.

Par ailleurs, il faut préciser que la probabilité de transition (d’une particule du mélangeur

vers la sortie) utilisée dans ces simulations est calculée à partir des équations (4.5,4.10et

4.12). La comparaison entre les évolutions expérimentale et empirique de cette probabilité

est illustrée sur la figure4.5.

F IGURE 4.5 – Comparaison entre l’évolution expérimentale et empirique de la probabilité P 21 pendant la vidange ; (a) échelon positif 20-40Hz ; (b) cas d’un échelon négatif 35-15 Hz

Finalement, si nous analysons l’évolution du débit de sortie en fonction de la masse

retenue, par exemple sur l’expérience de la figure4.6, nous pouvons différencier trois phases

dépendant deNetM 1 : -Initialement, la vitesse N est fixée à 20 Hz. Dans ce cas, la masse retenue dans le mélangeur

est supérieure à la masse seuil , la valeur de P 21 est constante ( P 21m a x = 0 . 07), et le débit de sortie varie linéairement avecM 1 selon l’équation4.9. -La deuxième phase commence quand la vitesse d’agitation est changée de 20 à 40 Hz, (à

t=40s). La valeur deP 21 augmente immédiatement de 0.07 à 0.14, puis elle reste constante

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M ODÈLE M ACROSCOPIQUE APPLIQUÉ AU DÉMARRAGE DU PROCÉDÉ

tant que la masse retenue est supérieure à la masse seuil correspondant à la nouvelle vitesse

d’agitation.

-Une fois que la masse retenue ( M 1 ) atteint la masse seuil , la probabilité devient une fonction linéaire de cette masse retenue. Par conséquent, le débit de sortie varie avec M 1 selon une fonction polynomiale du second ordre (équation4.11).

F IGURE 4.6 – Relation débit de sortie- masse retenue lors d’un échelon appliqué sur N

Les résultats obtenus dans le deuxième exemple « échelon négatif », confirment également

la validité des relations proposées pour identifier la matrice des probabilités de transition à

partir de la vitesse d’agitation N. La dynamique macroscopique de la vidange du mélangeur

est complètement régie par cette vitesse et le modèle macroscopique fournit un cadre de

représentation adéquat.

4.1.2

Application du modèle lors du démarrage du procédé et en régime permanent

4.1.2.1 Détermination des probabilités de transition

Lors du démarrage du procédé, le mélangeur est initialement vide M 1 ( t= 0) = 0. En mesurant, à chaque instant t, la masse introduite dans le mélangeur ( ΔF 1( t )) et celle sortante

( M 2 ( t )), nous pouvons déterminer la masse retenue M 1 ( t ). Ainsi, l’évolution de la probabilité de transitionP 21 (t) au cours du temps peut être déterminée à partir de l’équation4.1:

M 2 (n+1)−M 2 (n) P 21 (n)= M 1 (n)+ΔF 1 (n)

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(4.14)