Universite du Sud Toulon Var Annee U F R de Sciences Mathematiques

Yves Aubry

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Universite du Sud Toulon-Var Annee 2011/2012 U.F.R. de Sciences Mathematiques Licence de Mathematiques - 3eme annee Algebre Unite d'enseignement M-53 Travaux Diriges Yves Aubry 1

• loi de composition interne associative


• universite du sud - toulon - var


• symetrique pour la seconde loi


• difference symetrique

Sujets

• Mathématiques
• Troisième
• Évariste Galois
• Université de Toulon
• Algèbre des parties d'un ensemble

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eduSudToulon-Var U.F.R. de Sciences Mathe´matiques

Anne´e2011/2012

LicencedeMath´ematiques-3e`meann´ee

Alg`ebre

Unit´ed’enseignementM-53

TravauxDirige´s

Yves Aubry

1

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Universite´duSudToulon-Var U.F.R. de Sciences Math´ematiques Licence3-i`emeanne´e

Pre i` m ere

3

partie

An´ee n

2011/2012

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Universit´eduSudToulon-Var U.F.R. de Sciences Mathe´matiques Licence3-ie`meannee ´

Alg`bre T.D. - 1 e

Anne´e2011/2012 Evariste Galois (1811-1832)

Exercice. Construction deZ(g´usplouelare´nemys,tnem´etrisationd’unsme-irguoep) Quiz : Exemples (ou non) de groupes Lesensemblessuivantsmunisdelaloiindiqu´eesont-ilsdesgroupes? 1.(Z,+) 2.(Z,×) 3.(Z− {0},×), (Z ∗ ,×). 4.L’ensemble des entiers relatifs pairs muni de l’addition. 5.des entiers relatif impairs muni de l’addition.L’ensemble 6.(Q,+) 7.(Q,×) 8.(Q ∗ ,×) 9.(Q( √ 2) ={a+b √ 2, a, b∈Q},+) 10.(Q(i √ 5) ∗ ={a+ib √ 5, a, b∈Q,(a, b)6= (0,0)},×) 11.(R,+), (R ∗ ,×), (C,+), (C ∗ ,×) 12.L’ensemble des racinesnet´eledni’u-me`iµ n ={e 2inkπ , k= 0,    , n−1}muni de la multiplication. 13.L’ensembleS X des permutations d’un ensembleX(i.e. des bijections deX) muni de la loi de composition des applications. 14.(P(E),∩) `P(E) est l’ensemble des parties d’un ensembleE. ou 15.(P(E),∪) 16.(P(E),tsalu`eΔreneid´ffm´etcesye(riqu)oΔAΔB=A∪B−A∩B= (A−B)∪(B−A)) 17.(M n (R),+) 18.(M n (R),×) 19.(GL n (R),×) 20.L’ensemble{0,1} + 1muni de l’addition avec 1 0. = Exercice.Montrer que tout semi-groupe fini est un groupe. (Rappelons qu’un semi-groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative tellequetot´le´mentsoitre´gulier(`adroiteet`agauche)). u e Remarquonsquecelamontrequetoutanneaufiniint`egreestuncorps(rappellonsqu’ilsuffit pourcelademontrerquetout´l´mentnonnul(i.e.diffe´rentdel’e´le´mentneutredelapremie`re e e loi)del’anneauestinversible(i.e.admetunsyme´triquepourlasecondeloi). Demanie`reanalogue,onmontrequetoutepartienonvide,stableetfinied’ungroupeenest un sous-groupe. 5

Exercice.Soient (G,∗) et (H,> soient ;) deux groupesfetgdeux morphismes de (G,∗) dans (H,>). Notons K={x∈G|f(x) =g(x)} Montrer que (K,∗) est un sous-groupe de (G,∗). Exercice. Groupes d’exposant 2. Montrerqu’ungroupedanslequeltout´ele´mentnonneutreestd’ordre2estne´cessairement abe´lien. Donner un exemple de tel groupe. Exercice.erquontrMlee´emtnomnius´n.d’ordre2fiepu’dinuoteorgtdmraauetdroraiep Exercice. Groupes d’ordreppremier. SoitGun groupe d’ordreppremier. Montrer queGqieuyclcemtniaercesssn´ealorestutpeet ˆetreengendre´parl’unquelconquedesese´l´ementsautrequel’´ele´mentneutre.Ende´duireque Gei.n´bletaes Exercice. Groupes d’ordre 4. 1)Montrer que la table de Pythagore d’un groupeGesnctui,niq.e.´rratale´el´emenuechaquet deGchnsdaisfoleeuesngil(ee´gnareuqaLar´ne).oloneouce-lleetsoruqcepieueentenugfiru vraie ? 2)SoitG={e, a, b, c}grunpeou’drord4ed,´’lee´mentneutree. Construire les tables possibles deG. Exercice.Intersectionetr´euniondesous-groupes. SoitGun groupe etHetKdeux sous-groupes deG. 1)Montrer queH∩Kest un sous-groupe deG. 2)Montrer queH∪Kest un sous-groupe deGsi et seulement siH⊂KouK⊂H. Exercice.SiHetKsont deux sous-groupes d’un groupeG it :, on d´fi e n H K={hk, h∈H, k∈K} L’ensembleH Kemirtuenounsgrs-seli-tce´nassedepeouG? (Onpourraconside´rerlecasparticuliero`uG=S 3 ,H=< τ 1 >etK=< τ 2 >). Exercice.Montrer que siHetKsont deux sous-groupes d’un groupe finiGalors : |H K|= | | H H ∩ |×| K K | | Unexemple:groupenonabe´lien. SoitE={1,2,3}etS 3 =S(E)rgelepuom´syrietedqueE. On a : S 3 ={e, τ 1 , τ 2 , τ 3 , σ 1 , σ 2 } avece=  32 213 1  ,τ 1 =  2 132 31  = ( 2 3 ),τ 2 =  12 123 3   3 ),= ( 1τ 3 =  321 321   ),= ( 1 2σ 1 =  2 3 13 12   ), 2 3 1= (σ 2 =  12 123 3  = ( ). 1 3 2 Ecrire la table de (S 3 ,◦´etd)eerinrmteous-groutoussessep.s

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Universit´eduSudToulon-Var U.F.R. de Sciences Mathe´matiques Licence3-i`emeann´ee

Ann´ee2011/2012 Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Alg`ebreT.D.-2

Exercice. Centre d’un groupe Soit (G, ) un groupe. On appelle centre deG, l’ensembleZ(G) ={x∈G|xy=yx∀y∈G}. 1)Montrer queZ(Gpeougrs-guinstdiede´)snuoseutG`llia(gaedmivmeee´´ttsneGsi et seulement siGest commutatif). 2)Quel est le centre deS 3 ? DeGL 2 (R) ? Du groupe quaternonien ? 3)Montrer que siGZ(G) est cyclique alorsGest commutatif. 4)En utilisant le fait que le centre d’unp-rguoepse),edeme`roedisnruBivtrontn´eThl(ia montrer que tout groupe d’ordrep 2 , avecppremier, est commutatif. Exercice.Centralisateurd’un´ele´ment.Soitxlee´emtnu´nped’ungrouG; on appelle centralisateur dexle sous-groupe deGsuivant :C x ={y∈G|xy=yx}. Montrer que Z(G) = \ C x etx∈Z(G)⇐⇒C x =G x∈G Exercice.Groupedesautomorphismesinte´rieurs. SoitGun groupe et Aut(G) le groupe des automorphismes deG. Soitg∈Geti g l’application i g :G−→G x→−7gxg −1 Montrer quei g est un automorphime deGdeurieerismeint´utomorphpaep´laeGa`ei´ocssa l’e´le´mentg. Soit Int(G) ={i g |g∈G}l’ensemble des automorphismes int´ de ieursG. Montrer que er Int(G)/Aut(G) et queGZ(G)'Int(G)`ouZ(Gsignelecentreded)e´G.

Exercice. Ordre d’un produit : exemples 1)l´emes´eentsMnouqlertrea=  0 1 −1 0  etb=  0 1 −1 1  dans GL(2,R) sont d’ordre fini mais queabest d’ordre infini. 2)stnle´seme´rqreleuentMoa= (0,1) etb= (1,−1) dansZ2Z×Zsont d’ordre infini mais quea+best d’ordre fini.

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Exercice. Ordre d’un produit SoitG´eelntmetica’´fdtlumilpirgnuepuoerentueet soientaetbedinfierdro’dsmentel´eeux´d G. 1)Montrer que a r =e⇐⇒ord(a)|r

2)Montrer que l’ordre deabedet´esalegl’`adrorba. 3)Montrer que siaetbcommutent entre eux alors l’ordre du produit est fini et divise le PPCM des ordres deaet deb. 4)Montrer que siaetbet si leurs ordres sont premiers entre eux alors :commutent entre eux ord(ab) = ord(a) ord(b)

Exercice. Ordre dans un produit. SoientHetKdeux groupes finis et soienth∈Hetk∈K. Montrer que l’ordre de (h, k) dans H×Kest le PPCM de l’ordre dehdansHet de l’ordre dekdansK. Exercice. Ordre dans un groupe cyclique. SoitG=hxiun groupe cyclique d’ordrenegnnedr´eparx. Montrer que, pour toutk∈N: ord(x k ) = n (n, k) En corollaire, on a donc queord(x d ) = n d siddivisenet quex k engendreGsi et seulement si (n, k) = 1. Exercice. Ordre dans un quotient. SoitHorgnu’de´ugnitsieupnusuosorg-depuGet soitg∈G. Montrer que l’ordre degHdans GHdivise l’ordre degdansG. Exercice. Ordre par un isomorphisme. Montrerquel’ordred’une´l´ementestpre´serve´parisomorphisme. Enparticulier,l’imaged’unge´n´erateurparunisomorphismeestung´en´erateur. Unexemple:Groupeinfinidonttousles´ele´mentssontd’ordrefini. Il est clair que siGefiuprongt´ou,tnitneme´leedseutGest d’ordre fini. Mais qu’en est-il de la reciproque?Onpourraconsid´ererlegroupeinfiniQZtnosstneme´lemtnoousses´etrerquet ´ d’ordre fini.

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