Corrigé de l'épreuve de Mathématiques ES

Description

Téléchargez le corrigé de l'épreuve de mathématiques du BAC ES de l'année 2014.

Sujets

• Baccalauréat économique et social
• Mathématiques
• BAC
• Baccalaureat
• corrigé bac

Informations

• Publié par: Studyrama
• Publié le: 15 juillet 2014
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT

Séries :
ES/L

Épreuve :Mathématiques
(obligatoire)

Session 2014

Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5

PROPOSITION DE CORRIGÉ

1

Exercice 1(5 points)

B=0 ,7
1) D'aprèsl'arbre ci-contre :pA.
( )
Donc réponse :c).

2)p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26.
( )
Donc réponse :c).

3)Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]

3
4) Sur 0;+∞: ln(x)+ln(x+3)=3 ln2⇔ lnx×x+3=ln 2 ⇔
] [( )(( ))( )

2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 .
( )( )

Donc réponsed).

56
6
5) L'aire,en unités d'aire est égale à∫dx=5 lnx2=5 ln6−5ln 2 .
[( )]( )( )
2
x
Donc réponse :a).

Exercice 2(5 points)

20
1)u=u−u+50=1250.
1 00
100

20 20
=u−u+50=u1− +50=0
2)u+1n nn, 8un+50.
( )
n
100 100

3) a)v=u−250=0 ,8u+50−250=0 , 8u−200=0 , 8(u−250)=0 , 8v.
n+1n+1n nn n
Par suite,(v)est une suite géométrique de raisonq=et de premier terme0 , 8
n
v=u−250=1500−250=1250 .
0 0
n nn
b) Par formule,vn=v0q=1250×0 ,8. Par suite,un=vn+250=250+1250×0 ,8.
4
c)u4=250+1250×0 , 8=762 . Donc la surface de terrain engazonné au bout de 4

2
années est de762m.

2

n nn250
4) a)250+1250×0, 8<500 ⇔ 1250×0, 8<500−250 ⇔,8 0< ⇔
1250
ln 0, 2
( )
)( )<0
nln(0 ,8)<ln(0, 2⇔ n>(avec, 8ln 0).
ln 0,8
( )
ln 0,2
( )
Avec≈, on obtient7 , 2126n=8comme plus petite valeur dentelle que
0
ln 0,8
( )
n
250+1250×0, 8<500 .
Interprétation: au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à
2
500m.
b)

n<500
0,8u+50
n
n+1

0 ,8<1v
6) Comme, la suite(n)est décroissante.

n n
De plus,−1<0 ,8<1,, 8lim 0=0donclim 1250×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞

limun=250.
n→+∞

DoncClaude a raison, la surface de terrain engazonné ne pourra être inférieure à
2
250m.

Exercice 3(5 points)
Partie A
60−30 30 3
( )=(X∈[3])
1)p X>30p0 ; 60== =.
60−20 40 4
60+20 80
2)E X== =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2

3

Partie B
=p(D<57)=0,
1) Comme57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :p15 .
(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)
2)p=p56 , 75<D<57 , 25≈0 ,977d'après la calculatrice.
( )
2
3)p=1−p≈0 , 023.
3 2
Partie C
66
1)f= =0 , 825.
80
1 1
2) Parformule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n

Exercice 4
Partie A
1) Parlecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.
2) Parlecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.
Partie B
−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
1)' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))
−0 , 5x−0 ,5x
=e 1−0 , 5x−1=−0, 5xe.
( )
D'où le tableau de variations def:
x0 15
−
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee
+
Signe def '−
2
Variations def
f(15)

−0 ,5×0−0 ,5×15−3
où0=2 e=2×1=2et15=17 e≈9 , 4×10.
( )( )
fest donc strictement décroissante sur0 ; 15.
[ ]

4

2) Surl'intervalle 0; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]

f0=2>0 ,1etf15≈0 , 009<. Donc d'après la propriété des valeurs0 , 1
( )( )
intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf(x=0 ,1
)
admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]
3) D'aprèsla calculatrice :
◦f9≈0 , 12>et0 , 1f10≈0 , 08<0 , 1doncα∈9 ; 10[.
( )( )]
◦puisf9 , 4≈0 , 104>et0 , 1f9 ,5≈0 , 099<0 ,1doncα∈9 , 4 ; 9 , 5.
( )( )] [
−0, 5x
4) D'aprèsles résultats affichés,' 'x=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )
Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ':

x0 2
signe de
−
0
0 , 25x−0 , 5
−0 , 5x
signe dee
+
f ''
signe de(x)−
0

15
+

+
+

Ainsif0 ; 2(est concave sur'f '<0 ) et convexe sur2 ; 15('f '>0 ).
[ ][ ]
f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )
Partie C
1) D'aprèsla partie B,fα =0 , 1avecα∈9 , 4 ; 9 , 5donc le médicament n'est plus
[ ]
( )
actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.

Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.

2) Labaisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie

au bout de 2 heures.

5