Amaury THUILLIER Présentation Les groupes algébriques linéaires ...

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Amaury THUILLIER Présentation Les groupes algébriques linéaires ...

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• Publié par: abubidur
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• Langue: Français

Extrait

G

ROUPES ALGÉBRIQUES LINÉAIRES

Amaury T

HUILLIER

Présentation

Les groupes algébriques linéaires sont des groupes de matrices définis par des équations polynô-

miales (ainsi le groupe linéaire GL

n

, le groupe spécial linéaire SL

n

des matrices de déterminant 1, le

groupe des matrices diagonales, des matrices triangulaires supérieures, le groupe orthogonal d’une

forme bilinéaire symétrique, etc.).

Si l’on s’intéresse aux matrices à coefficients complexes ou réels, ces groupes sont des exemples

fondamentaux de groupes de Lie et peuvent être appréhendés via des techniques topologico-différentielles.

À la suite de Ludwig M

AURER

, Claude C

HEVALLEY

et Ellis R. K

OLCHIN

ont initié l’étude de ces

groupes pour des matrices à coefficients dans un corps

quelconque

, via des méthodes algébriques ;

travaillant avec des corps finis, cela a par exemple conduit C

HEVALLEY

à la découverte de nouvelles

familles de groupes finis simples.

Contenu

Ce cours a pour but d’introduire à la théorie des groupes algébriques linéaires sur un corps algé-

briquement clos (que l’on supposera parfois de caractéristique zéro). Il s’agira pour l’essentiel de

comprendre leur structure, tout en introduisant progressivement les notions de géométrie algébrique

nécessaires sous une forme raisonnablement moderne ([3]). La familiarité acquise avec les groupes

algébriques devrait s’avérer utile pour le cours de Georges T

OMANOV

du second semestre, tandis

que les rudiments de géométrie algébrique que l’on présentera pourront préparer au cours de François

B

RUNAULT

.

1. Groupes algébriques affines et groupes de matrices.

2. Groupes diagonalisables et tores.

3. Décompositions de Jordan.

4. Groupes résolubles.

5. Espaces homogènes, quotients. Sous-groupes de Borel et sous-groupes paraboliques.

6. L’algèbre de Lie d’un groupe algébrique affine.

7. Groupes réductifs ; classification (esquisse).

Bibliographie

[1] B

OREL

, A. –

Linear Algebraic Groups

, Graduate Texts in Mathematics126, Springer Verlag,

1991.

[2] B

OREL

, A. –

Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups

, History of Mathematics

21, American Mathematical Society and London Mathematical Society, 2001.

[3] M

ILNE

, J.S. –

Algebraic Groups and Arithmetic Groups

, notes de cours disponibles sur le site

http ://www.jmilne.org/math/.

[4] S

PRINGER

, T.A. –

Linear Algebraic Groups

, Second Edition, Birkhäuser, 1998.