Bases du Modele Lineaire

Description

AgroParisTech Bases du Modele Lineaire J.J. Daudin, E. Lebarbier, C. Vuillet

• esperance de ??


• estimation des parametres de l'esperance


• variable explicative


• meme loi


• modele lineaire


• variabilite du materiel experimental


• ligne dans le meme ordre


• statistique

Sujets

• Statistique
• maths

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

Bases

J.J.

du

Daudin,

AgroParisTech

Mode`le

E.

Lebarbier,

Line´aire

C.

Vuillet

Tabledesmati`eres

1 Introduction 2Estimationdesparam`etres 2.1Estimationdesparame`tresdel’esp´erance...................... 2.1.1M´ethodedesmoindrescarre´s......................... 2.1.2Casou`r=p . . . . . . . .  .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ 1 2.1.3Caso`ur < p........e.s´....e´neilarrevn´gesosulr:e´apiritno+1 2.1.4Combinaisonslin´eairesinvariantes...................... 2.2Proprie´te´sdesestimateursdeθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2.3 Loi des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b 2.3.1 Loi deθ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2Combinaisonslin´eairesdesθ k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Estimation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 R´sidus . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Estimation deσ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.4.3 Loi deσ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4D´ecompositiondelavarianceetcoefficientdede´termination........ 2.5 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Testsd’hypothe`ses 3.1Testsurunparame`tre................................. 3.2Testd’unecombinaisonlin´eairedesparam`etres................... 3.3Testdemod`elesemboıˆte´s............................... 3.3.1Mode`lesemboˆıt´es................................ 3.3.2Testdemod`elesemboıˆt´es........................... 3.3.3Visiong´eom´etriquedutest.......................... 4Notiond’orthogonalite´ 4.1D´efinitiondel’orthogonalite´.............................. 4.1.1 Cas de 2 facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2Casge´n´eral:Orthogonalite´d’unpland’exp´eriencesvis`avisd’unmode`le 4.1.3CasdelaRe´gressionmultipleetdel’analysedelacovariance....... 4.2Propri´et´esd’undispositiforthogonal......................... 4.3Sommesdecarr´esajuste´es:TypeI,IIetIII..................... 4.3.1Re´duction................................... 4.3.2 Sommes d ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e carres . . . . . . . .

1

3 5 5 5 9 9 12 13 14 14 14 14 14 15 15 15 17 19 19 19 20 20 20 21 23 23 23 24 26 26 27 27 27

5

6

4.4Moyennesajuste´es...................................28 Limitesetextensionsdumod`elelin´eaire30 5.1Analysedesre´sidus...................................30 5.2G´eneralisationsdumode`leline´aire..........................31 ´ 5.2.1Mod`elesnonlin´eaires.............................31 5.2.2Mode`leline´airege´ne´ral............................31 5.2.3Mode`lelin´eaireg´ene´ralis´e...........................31 5.3Lesvariablesexplicativessontale´atoires.......................32 5.3.1Casdelare´gression..............................32 5.3.2Mod`elesmixtes.................................32 Annexes 33 θ b 1 −a b q b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1 Loi de ( )/V(θ 1  .) . 6.1.1 Loi sousH 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1.2 Loi sousH 1  33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6.2 Loi de (SCM 1 −SCM 0 )/(p 1 −p 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .  33 SCR 1 /ν 1 6.2.1 Loi sousH 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2.2 Loi sousH 1  34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6.3Th´`emedeCochran.................................34 eor 6.3.1 Lemme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3.2 Lemme 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.3.3D´emonstrationduthe´ore`medeCochran...................35 b 6.4Espe´ranceetmatricedevariance-covariancedeθ 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . b 6.4.1Esp´erancedeθ 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . b 6.4.2 Matrice de variance-covariance deθ 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5Esp´erancedelasommedescarr´esr´esiduelle.....................37 6.6D´emonstrationduth´eor`emedeGauss-Markov....................37

2

Chapitre 1

Introduction

Lemod`elelin´eaire 1 noftemadse´exp’esdueiqerm´secneiralysl’anpourntalstunluat´rsedese base´essurdumate´rielexpe´rimentalvariable.Ilsupposedeshypoth`esesmath´ematiquesassez contraignantes,maisiladeuxqualite´smajeures: –ilestcapabledebienrepre´senterlaplupartdesexp´eriences, –sasimplicite´permetdebienconnaıˆtresesproprie´t´es. Decefaitsonemploiesttre`sfre´quentetiljoueunrˆolepivotdanstoutelamode´lisation statistique.Lafac¸ondontontraitelesmod`elesplusge´ne´rauxende´couledirectement.Ilestdonc essentieldebiencomprendrecemod`elefondamentaldelastatistique. Lemod`elestatistiquedebasequel’onutilisepouranalyseruneexpe´rienceou`l’on´etudiesur nt´niuenuvarislesnsd’atio´presexeatelmineensvairarelbope´yen fonction de facteurs qualitatifs ouquantitatifs(appele´saussivariables explicativesri:e´ecruts’),pe y i =m i +e i

` ou i´irinu’ee´term´elodstenulentale, •xpe me m i =f(x i1 , x i2 , . . . , x ip+1 naeceed)ts’lse´prey i vsedairaavalruelesblnddoncdequid´epe explicativesx 1 , x 2 , . . . , x p+1 .fvsecederiae´nilnaticplexesbliaaraisombinnecoestuives. •e i avarantllit´iabitae´demuirleesr´ueide,llpeapee´lerrei,ruulcnestunevairbaellae´taioer expe´rimental,celledueauxvariablesexplicativesnonincluesdanslemode`le,etcelle due aux erreurs de mesure.

L’e´criturematricielledumod`eleest:

Y=X θ+E,

(1.1)

` ou •Y (n,1) contient les valeurs deypour lesnemtnedss.L’ordrederangepxeire´ecney i est arbi- traire.C’estunvecteurale´atoire. •E (n,1) raaielvslae´lbseientcontudlee´iserrstaio,ran`eleumodlesdemeˆmelsnadsee´gueeqdror Y. LesE i epdnnaetnoitdne´meloisetdemˆesN(0, σ 2 ). 1.Cepolycopie´estfortementinspir´edeceluideC.Duby[3]dontnousavonsreprisleplanetcertainesparties.

3