DIFFERENTES FORMULES DE TAYLOR POUR UNE FONCTION D UNE VARIABLE REELLE

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DIFFERENTES FORMULES DE TAYLOR POUR UNE FONCTION D UNE VARIABLE REELLE

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• Publié par: porthos
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- " ¢ -    ˛ - ˛ DIFFÉRENTES FORMULES DE TAYLOR POUR UNE FONCTION D'UNE VARIABLE RÉELLE Introduction p Soient ƒ une fonction de classe C sur un intervalle I, a I et T un polynôme de degré p tel que :p (p)' ( p)T (a) = ƒ(a) ; T (a) = ƒ'(a) ; ... ;T (a) = ƒ (a)p p p Nous savons que toute famille de p + 1 éléments échelonnée en degré est une base de
[X].p On peut donc écrire : p jT (x) = (x a)p j j =0 p (k) k j kOn a : T (x) = k! + C k ! (x a)kp j j j = k +1 (k ) (k)T (a) ƒ (a)p(k)D'où : T (a) = k! et = = .k kp k ! k ! p k (x a) (k )On a donc : T (x) = ƒ (a)p k ! k =0 T s'appelle le polynôme de Taylor à l'ordre p de la fonction ƒ en a.p 1. Formule de Taylor avec reste intégral Théorème 1 p+1 Soit ƒ une fonction de classe C sur un intervalle I et soit a I. Alors : x I, ƒ(x) = T (x) + R (x)p p p k px(x a) (x t)(k ) ( p+1)où T (x) = ƒ (a) et R (x) = ƒ (t) dt .p p k ! a p! k =0 (T s'appelle encore la partie régulière d'ordre p du développement de Taylor et R est le reste intégral d'ordre p)p p Démonstration par récurrence finie sur n p : On considère la propriété H définie pour n 0, p par :n H : x I, ƒ(x) = T (x) + R (x)n n n x Le point de départ : on sait que : ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ (t) dt x I, ce qui est H .0 a Supposons que H soit vraie pour un certain entier n tel que 1 n p.n 1 À l'aide d'une intégration par parties de R (x), il vient :n (n+1) n (n) n 1 (en posant u (t) = ƒ (t), v (t) = (x t) , u (t) = ƒ (t) et v (t) = n(x t) ) :n nn n xn (n) x HR(x t) ƒ (t) 1 n 1 (n) R (x) = + (x t) ƒ (t) dt = T (x) + T (x) + R (x) = T (x) + ƒ(x) d'où H .n n n 1 n 1 n n an! (n 1)! a Autres formulations : En posant h = x a, la formule de Taylor peut encore s'écrire : Formules de Taylor Page 1 G. COSTANTINI- j
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j $ - p k pa+hh (a + h t)(k ) ( p+1)ƒ(a + h) = ƒ (a) + ƒ (t) dt ak ! p! k =0 Et, en posant u = t a dans le reste intégral, on obtient (du = dt) : p k phh (h u)(k ) ( p+1)ƒ(a + h) = ƒ (a) + ƒ (a + u) du k ! 0 p! k =0 2. Formule de Taylor-Lagrange. Inégalité de Taylor-Lagrange Théorème 2 p Soit ƒ une fonction de classe C et (p + 1) fois dérivable sur un intervalle I = [a, b] et à valeurs réelles. Alors c ]a, b[ tel que : p k p+1(b a) (b a)(k ) ( p+1) ƒ(b) = ƒ (a) + ƒ (c) k ! ( p + 1)! k =0 Démonstration 1 : p k p+1 (b t) (b t)(k) Posons (t) = ƒ(b) ƒ (t) A et choisissons A tel que (a) = 0. k ! ( p + 1)! k =0 pp+1 k (b a) (b a) (k ) (On a donc A = ƒ(b) ƒ (a) ) ( p + 1)! k ! k =0 En outre, on a (b) = 0. p Puisque ƒ est de classe C sur I, la fonction est dérivable sur I et l'on a : p k k 1 p (b t) (b t) (b t)(k +1) (k )'(t) = ƒ'(t) ƒ (t) ƒ (t) + A k ! (k 1)! p! k =1 p pk k 1 p (b t) (b t) (b t)(k +1) (k )'(t) = ƒ'(t) ƒ (t) + ƒ (t) + A k ! (k 1)! p! k =1 k =1 p p 1k k p (b t) (b t) (b t)(k +1) (k +1)'(t) = ƒ'(t) ƒ (t) + ƒ (t) + A k ! k ! p! k =1 k =0 p p p (b t) (b t) (b t)( p+1) ( p+1)'(t) = ƒ (t) + A = A ƒ (t)( ) p! p! p! D'après le théorème de Rolle ( est dérivable sur [a, b] et (a) = (b) = 0), c ]a, b[ tel que '(c) = 0 donc tel que : ( p+1)A = ƒ (c) d'où la formule de Taylor-Lagrange. ( p+1)Dans le cas où, de plus, ƒ est continue sur I, on a la démonstration 2 suivante plus simple : pb(b t) ( p+1)On a : R (b) = ƒ (t) dt .p a p! p (b t) Or : 0 sur [a, b]. p! D'après la formule de la moyenne (voir exposé sur la définition de l'intégrale), on a : Formules de Taylor Page 2 G. COSTANTINI - ˛ e ˛ -  - - - - e  fi  e $ - - -  ˛  $ ˛ - - ˛ - -  ˛  - - ¥ - 
- p+1pb(b t) (b a)( p+1) ( p+1)c [a, b] tel que R (b) = ƒ (c) dt = ƒ (c)p a p! ( p + 1)! La formule de Taylor-Lagrange n'est pas valable si ƒ est à valeurs dans . Inégalité de Taylor-Lagrange : En majorant le reste intégral (ou le reste dans la formule de Taylor-Lagrange pour les fonctions réelles
) : (p+1) (p+1) La fonction ƒ étant continue sur le compact [a, x] (ou [x, a]), il existe un majorant M de |ƒ | sur ce compact. On a alors : xM p|R (x)| (x t) dtp p! a p+1 x a |R (x)| Mp ( p + 1)! Attention, dans l'inégalité ci-dessus, le majorant M dépend de p. D'où l'inégalité de Taylor-Lagrange : Théorème 3 p+1 Soit ƒ une fonction de classe C sur une intervalle I et soit a I. (p+1) Soit M un majorant de |ƒ | sur l'intervalle [a, x] (ou [x, a]). p+1 x a Alors pour tout x I : |ƒ(x) T (x)| Mp ( p + 1)! Autre écriture : p k p+1 (b a) b a(k) (p+1)ƒ(b) ƒ (a) ||ƒ || k ! ( p + 1)! k =0 3. Aspect local : formule de Taylor-Young Théorème 4 p Soit ƒ une fonction de classe C sur un intervalle I et soit a I. p Alors pour x situé au voisinage de a : ƒ(x) = T (x) + o (x a)p ( ) Démonstration : Soit x I. On écrit la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre p 1 sur l'intervalle [a, x]. p(x a) ( p) c I tel que ƒ(x) = T (x) + ƒ (c)p 1 p! Lorsque x tend vers a, c tend nécessairement vers a, si bien que l'on a : ( p) ( p)ƒ (c) = ƒ (a) + (x) où lim (x) = 0 x a p p (x a) (x a)( p)D'où : ƒ(x) = T (x) + ƒ (a) + (x)p 1 p! p! pƒ(x) = T (x) + o (x a) au voisinage de a.p ( ) Formules de Taylor Page 3 G. COSTANTINI