Éléments aléatoires d'un Banach

Charles Suquet

Description

• cours - matière potentielle : p


• cours - matière potentielle : analyse fonctionnelle

Chapitre 1 Éléments aléatoires d'un Banach Dans la théorie classique des probabilités, une variable aléatoire ou un vecteur aléa- toire sont des applications mesurables d'un espace (?,F) dans R ou Rd munis de leur tribu borélienne. Dans le cas où l'espace d'arrivée est un espace de Banach B, on par- lera plutôt d'élément aléatoire, é.a., mais ceci suppose une clarification préalable sur les tribus concernées par la mesurabilité requise. 1.1 Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans un Banach Sur un espace de Banach, on considère naturellement les deux tribus suivantes : – B est la tribu borélienne de B engendrée par les ouverts de la topologie forte. On dit qu'un é.a. X défini sur un espace mesurable (?,F) et à valeurs dans B est borélien s'il est F-B mesurable. On dit aussi que X est fortement mesurable. – C est la tribu cylindrique 1 : c'est la plus petite tribu rendant mesurables toutes les ? ? B?, dual topologique de B. C'est aussi la tribu engendrée par les ?(B,B?) ouverts de B. Lorsque B = C[0, 1], cette tribu correspond à celle construite à partir des observations des valeurs d'une trajectoire en un nombre fini de points et est bien connue en théorie des processus stochastiques.

• séparabilité de l'espace


• réunion dénombrable de boules ouvertes


• tribu borélienne


• probabilité


• vecteur aléatoire au sens classique


• base dénombrable


• vecteur aléatoire

Sujets

• exercice
• cours
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Informations

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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 1

Éléments aléatoires d’un Banach

Dans la théorie classique des probabilités, une variable aléatoire ou un vecteur aléa- toire sont des applications mesurables d’un espace(ΩF)dansRouR d munis de leur tribu borélienne. Dans le cas où l’espace d’arrivée est un espace de BanachB, on par- lera plutôt d’élément aléatoire, é.a., mais ceci suppose une clarification préalable sur les tribus concernées par la mesurabilité requise.

1.1 Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans un Banach Sur un espace de Banach, on considère naturellement les deux tribus suivantes : –Best la tribu borélienne deBpar les ouverts de la topologie forte. Onengendrée dit qu’un é.a.Xdéfini sur un espace mesurable(ΩF)et à valeurs dansBest borélien s’il estF-Bmesurable. On dit aussi queXestfortementmesurable. –Cest la tribu cylindrique 1 la plus petite tribu rendant mesurables toutes: c’est lesϕ∈B 0 , dual topologique deB. C’est aussi la tribu engendrée par lesσ(B B 0 ) ouverts deB. LorsqueB=C[01], cette tribu correspond à celle construite à partir des observations des valeurs d’une trajectoire en un nombre fini de points et est bien connue en théorie des processus stochastiques. SiX: Ω→Best mesurable F-C, on dit qu’il estfaiblementmesurable. Proposition 1.1.SiBest séparable, les tribus borélienne et cylindrique surBsont les mmes. Preuve.On a toujoursC⊂Bcar tout ouvert faibleσ(B B 0 )est ouvert fort. Pour établir l’inclusion dans l’autre sens, on prouve que tout ouvert fort est dansC en montrant que a) SiBest séparable, tout ouvert deBest réuniondénombrablede boules ouvertes. b) SiBest séparable, toutebouleouverte appartient àC. 1. Abus de langage pourtribu engendrée parles ensembles cylindriques

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Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

Preuve de a).SoitWun ouvert fort deB. Comme il hérite de la séparabilité deB, il existe une suite{x i ,i∈N}dense dansW. On vérifie alors queWest égal à la réunion dénombrable V:= [ Δ(x i  r) i∈N r∈Q Δ(x i r)⊂W oùΔ(x i  r) :={x∈B;kx−x i k< r}. Par constructionVest inclus dansW. Pour montrer l’inclusion inverse, considérons un élémentxquelconque deW. PuisqueW est ouvert, il existe un rationnelr >0suffisamment petit pour queΔ(x2r)⊂W. Par densité de la suite{x i ,i∈N}dansW, on peut alors trouver unx i k tel quekx i k −xk< r. Alors touty∈Δ(x i k  r)vérifieky−xk ≤ ky−x i k k+kx i k −xk<2r, doncy∈ Δ(x2r)⊂W. On en déduit queΔ(x i k  r)⊂Wet commex∈Δ(x i k  r), ceci montre quexappartient àV. Ceci étant vrai pour toutxdeW, on a bienW⊂Vet finalement W=V. Preuve de b).Il est clair qu’il suffit de montrer que la boule unitéΔ := Δ(01)est dansC. On sait, cf. cours d’Analyse Fonctionnelle Appliquée, que siBest de dimension infinie,Δn’est pas un ouvertde la topologieσ(B B 0 ). CommeΔ =ϕ −1 (]− ∞1[)avec ϕ:B→R,x7→ kxk, il nous suffit en fait de montrer queϕest mesurableC-Bor(R), où Bor(R)désigne la tribu borélienne deR. Par séparabilité deB, on dispose d’une suite {x i ,i∈N}dense dansB. On peut alors lui associer une suite{f i ,i∈N}dansB 0 telle que pour touti,kf i k B 0 = 1etf i (x i ) =kx i k, l’existence de cette suite résultant du théorème de Hahn-Banach. Nous allons vérifier queϕ= sup i∈N |f i |, ce qui entraînera sa mesurabilité comme sup d’une familledénombrabled’applicationsC-Bor(R)mesurables. D’une part puisque lesf i sont de norme1dansB 0 , on a pour toutx∈B, et tout i∈N,kxk ≥ |f i (x)|d’oùkxk ≥sup i∈N |f i (x)|, autrement dit,ϕ≥sup i∈N |f i |. D’autre part, pour chaquexdeB, il existe une sous-suite(x i k ) k≥1 convergeant fortement versx. Cette convergence entraîne celle des normes et on peut écrire : kxk B = k l → i + m ∞ kx i k k B = k l → i + mf i k (x i k ) = k l → i + m ∞ f i k (x)≤s i u ∈N p|f i (x)| ∞ en utilisant pour la dernière égalité le fait que kf i k (x i k )−f i k (x)k B ≤ kf i k k B 0 kx i k −xk B =kx i k −xk k B −− → − + − ∞ →0 Commexétait quelconque, on en déduit queϕ≤sup i∈N |f i |et finalement queϕ= sup i∈N |f i |. La preuve de la proposition1.1est terminée. SiBn’est pas séparable, on n’a plus en généralB=C, ce qui cause quelques ennuis. Voici un autre inconvénient de la non-séparabilité du point de vue de la mesurabilité : si les topologiesT 1 etT 2 surB 1 etB 2 ne sont pas à base dénombrable, en général B 1 ⊗B 2 6=σ(T 1 ⊗ T 2 ), autrement dit :σ(T 1 )⊗σ(T 2 )6=σ(T 1 ⊗ T 2 )On se heurte donc à un problème pour montrer que la mesurabilité deXetYimplique celle deX+Ypar exemple.

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Ch.Suquet,Cours P.E.F. 2006

1.1. Éléments aléatoires de Radon à valeurs dans un Banach

Une façon de surmonter ce problème de non-séparabilité de l’espace est de supposer que l’image d’un é.a.Xest séparable (à un ensemble de mesure nulle près). Ceci nous amène à définir les é.a. de Radon. Définition 1.2.Un é.a. borélienX: Ω→Best dit régulier relativement aux compacts, ou de Radon ou tendu si : ∀ε >0∃Kcompact,P(X∈K)≥1−ε Remarque 1.3.SiBest de dimension finie, tout é.a. borélien (par assimilation deBà R d donc d’un vecteur aléatoire au sens classique) est tendu. Exercice laissé au, il s’agit lecteur (démontrez le directement sans utiliser la proposition1.4ci-dessous). Proposition 1.4.Xest tendu si et seulement s’il prend presque sûrement ses valeurs dans un s.e.v. fermé séparableEdeB, i. e.P(X∈E) = 1. Dans la suite, on noteP X la loi deXqui est une probabilité sur la tribu borélienne deB:P X (A) =P(X∈A). Preuve.SiXest tendu, il existe une suitecroissante(K n ) n≥1 de compacts deB(K n ⊂ K n+1 ) telle que : ∀n≥1 P(X∈K n )≥1− 1  n Par continuité séquentielle croissante de la mesureP, on en déduit que = limP(X P(X∈ n≥ ∪ 1 K n ) n→+∞ ∈K n ) = 1 L’union desK n  ?),étant séparable (pourquoi on prend pourEle s.e.v.fermé 2 deB engendré par cette réunion. En effetEest alors lui aussi séparable (justifiez) etP(X∈ E) = 1. Réciproquement, siEest un s.e.v. fermé séparable deBvérifiantP(X∈E) = 1et si{x k  k∈N}est une suite dense dansE, on a : ∀n≥1 x k  1  E⊂ k∈ [ N Δ( n ) en notantΔ(x r)la boule fermée de centrexet de rayonr. On en déduit que pour tout n≥1,P X  k∈ ∪ N Δ(x k 1n)  = 1d’où en utilisant la continuité séquentielle croissante de P X , ∀n≥1∃N(n) P X
k≤N ∪ (n) Δ(x k 1n) ! ≥1− ε  2 n On prend alors : K=K(ε) = n ∩ ≥1 k≤N ∪ (n) Δ(x k 1n) 2. En dimension infinie, un sous-espace vectoriel n’est pas toujours borélien. Le fait de prendreE fermé est donc une utile précaution.

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Chapitre 1. Éléments aléatoires d’un Banach

On a bien : +∞ ε P X (K c )≤ X 2 n  =ε n=1 d’oùP(X∈K)≥1−ε. De plusKest compact car fermé dansBcomplet donc complet lui-mme et pour toutδ >0, il est clair que l’on peut recouvrirKpar un nombre fini de boules de rayonδ(précompacité 3 ). Proposition 1.5.SiXetYdes é.a. de Radon telles quesont ∀f∈B 0 ,f(X)etf(Y) ont mme loi, alorsXetYont mme loi. Preuve.PuisqueXetYsont de Radon, il existe un s.e.v. fermé séparableEdeB tel queP(X∈EetY∈E) = 1. La tribu borélienne deEet sa tribu cylindrique (engendrée parE 0 ) coïncident. Touteg∈E 0 admet par le théorème de Hahn-Banach un prolongementg˜en une forme linéaire continue surB. On a clairementg(X) =g˜(X) p.s. etg(Y) =g˜(Y)p.s., on en déduit en utilisant l’hypothèse, que pour toutg∈E 0 , g(X)etg(Y)mme loi. Comme la tribu borélienneont B E deEcoïncide avec sa tribu cylindriqueC E , on peut montrer queP X etP Y sont égales sur la tribu borélienne deE puis en déduire queXetYont mme loi. Voici comment faire. La tribuCsurEest engendrée par les cylindres,i. e.les ensembles de la forme C=∩ in =1 g i −1 (D i )où lesD i sont des boréliens deR. En passant par la caractérisation des lois en dimension finie par leurs fonctions caractéristiques, on vérifie que les vecteurs aléatoiresU:= (g 1 (X)     g n (X))etV:= (g 1 (Y)     g n (Y))ont mme loi. En effet pour toutt= (t 1      t n )dansR n , on a ϕ U (t) =Eexp(iht Ui) =Eexp(ih(X)) oùhest la forme linéaire continuet 1 g 1 +∙ ∙ ∙+t n g n . Par hypothèseh(X)eth(Y)ont mme loi, ce qui entraîne que les variables aléatoires complexesbornéesexp(ih(X))et exp(ih(Y))ont mme loi donc mme espérance. Ceci peut se réécrireϕ U (t) =ϕ V (t) et commetétait quelconque, on en déduitϕ U =ϕ V , ce qui montre que les vecteurs aléatoiresUetVdeR n ont mme loi. Ce raisonnement est valable pour toutn≥1et tout choix deg 1      g n dansB 0 . On en déduit queP X (C) =P Y (C)pour tout cylindreC. Pour justifier cette affirma- tion, on écrit : P X (C) =P  X∈ i= n ∩ 1 g i −1 (D i )  =P  ∀i= 1     n X∈g i −1 (D i )  =P  ∀i= 1     n g i (X)∈D i  =P   g 1 (X)     g n (X)  ∈D 1 × ∙ ∙ ∙ ×D n  =P  U∈D 1 × ∙ ∙ ∙ ×D n  =P U (D 1 × ∙ ∙ ∙ ×D n ) 3. Rappel : un espace métrique est dit précompact si son complété est compact. Un espace métrique est précompact si et seulement si pour toutδ >0, on peut le recouvrir par un nombre fini de boules de rayonδ.

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