Enoncés - Exercices de révision sur les matrices

Bernard

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Enoncés - Exercices de révision sur les matrices

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Exercices de révision sur les matrices

Exercice 1 On considère les matrices à coefficients réels  et  définies par :                où I désigne la matrice unité d'ordre 3. ( . Calculer ) )  en fonction de . 2. Calculer les produits  +  et  + . Qu'en concluez-vous pour la matrice  0 3. Montrer que pour tout entier naturel ) il existe des réels et tels que :          Les suites  et  vérifiant les relations de récurrence :      ;   < 9     ;   avec =   et =  >. . En déduire en fonction de .  5. Justifier que pour tout entier ) non nul : ; B +    Ç; Ç ÇÈF 6. En déduire que pour tout entier  H     +   3   7. Donner alors l'expression) sous forme matricielle) de enfonction de l'entier . 8. On considère les suites réelles N ) )  ) définies par :  Ô Ô Ô  N  2N      ;     <   N  2    ;       N    2  ;     avec N=  ) =  =  >. On pose alors : N   W       a. Déterminer W=) WX. b. Vérifier que) pour tout entier naturel  H W W ;  c. Puis montrer que) pour tout entier naturel  H  W  W=  d. En déduire l'écriture de N) ) en fonction de ) puis leur limite lorsque  tend vers plus l'infini.   

Exercice 2  +36 > > On donne les matrices suivan>  > tes: \  6 +8 2  et  ]   3 +3 >>  ( . Calculer \et montrer qu'il existe deux réels  et  que l'on déterminera tels que \^  \  . ]