Exercice 4 : ( 10 pts) Pour les SPE Maths. Arithmétique 1 ...

Anne-Marie Dischler

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Exercice 4 : ( 10 pts) Pour les SPE Maths. Arithmétique 1 ...

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TS1 . 2007_2008. Corrigé de l’exercice 4 du DS 2 Spé Maths Exercice 4: (Pour les SPE Maths. Arithmétique10 pts) 1°) Enoncez et faites la preuve du critère de divisibilité par 11. Ceci est dans votre cahier. La démarche consiste à écrire tout nombre entier N en base 10 : k k%1 N = a k ´10 +a k%1 ´10+ ........+ a 1 ´10 + a 0 10et d’utiliserº%1(modulo 11). 2°) Déterminez tous les entiers naturelsn tels que :n< 100 etPGCD (n; 360) = 5 On utilise la propriété du cours ci-dessous : ©©©Sid= PGCD(a;b) , alors il existe deux entiersa’ etb’ premiers entre eux tels quea=da’ etb=db’  n= 5´n'   Ici 5 = PGCD (n; 360) donc il existen',n'.premier avec 72 tel que   360 = 5´72 De plus0n< 10005´n'< 1000n'< 20. 3 n’ est donc un entier compris entre 0 et 20 et premier avec 72 = 2´3² . n’ ne doit donc être ni un multiple de 2, ni un multiple de 3. Les valeurs possibles pourn1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 }.’ sont donc : D’où en multipliant par 5 pourn: { 5 ; 25 ; 35 ; 55 ; 65 ; 85 ; 95 }. 3°) Congruences. Soitnun entier naturel, n 1°) Trouver suivant les valeurs den, les restes de la division de 5par 13. (On utilisera les notations des congruences) 0 1 5º1 ( mod 13; 5º5 ( mod 13) ; 2 5º12 ( mod 13) car 25 = 12 + 13´1 º%1 ( mod 13) 3 32 5º%5 ( mod 13) car 5 = 5´5 º8 ( mod 13) 4 4 22 2 5º1( mod 13) car 5 = ( 5 )  et5º%1 ( mod 13) Nous en déduisons, pour tout entier naturelk, (compatibilitédes congruences avec les puissances) 4k  5º1 ( mod 13) 4k +1 5º5 ( mod 13) 4k +2 5º12 ( mod restes sont donc respectivement : 1; 5 ; 12 et 813) Les 4k +3 5º8 ( mod 13) 1981 2°) En déduire que 1981– 5 est divisible par 13. La méthode est classique, vous devez la connaître parfaitement. On commence par déterminer le reste de la division euclidienne de 1981 par 13 ; Autrement dit, on cherche à quoi est congru 1981 modulo 13. 1981 = 13´152 + 5 donc 1981º5 (mod 13) 1981 1981 On en déduit par compatibilité avec les puissances 1981º5 (mod 13) D’après la question 1, il faut mettre 1981 sous la forme 4k+ …. C'est-à-dire qu’il faut déterminer le reste de la division euclidienne de 1981 par 4. 1981 = 4´495 + 1, donc de la forme 4k+ 1. 1981 Donc, d’après 1°),5º5 ( mod 13). 1981 1981 Nous en déduisons 1981º5 ( mod 13) c'est-à-dire 1981 % 5º0 ( mod 13). 1981 Autrement dit, 1981– 5 est divisible par 13. 4n4+ 1n– 1 Démontrez que, pour tout entier naturelnestsupérieur ou égal à 1 , le nombre N= 31+ 18 divisible par 13 .