Exercices sur les espaces vectoriels - Exercices d'algèbre

F. Geoffriau

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Exercices sur les espaces vectoriels - Exercices d'algèbre

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Agr´egationinternedeMath´ematiques D´epartementdeMathe´matiques Universit´edeLaRochelle F. Geo!riau

Exercices sur les espaces vectoriels

1. Applications paires et impaires 2. R´union de sous-espaces vectoriels e 3. Base deR[X] 4. Famille libre duQ-espace vectorielR 5. Famille libre de C(R,R) 6. Famille libre deF(A,k) 7.Homoth´etie 8.Suppl´ementairecommun ´ 9.Egalite´entrenoyauetimage 10.Rangetcompose´ed’applications 11.Syme´trieetsous-espacesstables 12. Projecteur de Reynolds

2006-2007

Agre´gationinternedeMathe´matiques De´partementdeMath´ematiques Universit´edeLaRochelle F. Geo!riau

Exercices

sur

les espaces

´ Enonc´es

vectoriels

2006-2007

Agre´gationInternedeMth´tiques,Universit´edeLaRochelle,Exercicessurlesespacesvectoriels a ema

1. – Applications paires et impaires

SoitP(resp.I) l’ensemble des applications paires (resp. impaires) deRdansR. Montrer quePetIsont des sous-espaces vectoriels deF(R,R) et queF(R,R) =P!I. L’ensembledesapplicationscroissantes(resp.d´ecroissantes)deRdansRest-il un sous-espace vectoriel deF(R,R) ?

Indication

Solution

F. Geo!riau

Agre´gationInternedeMath´ematiques,Universite´deLaRochelle,Exercicessurlesespacesvectoriels

2. – lssecapse-eirotcevR ´ euniondesous

SoitEun espace vectoriel et U"V#W. Prouver queU"V

Indication

Solution

U,VetWtrois sous-espaces vectoriels de ou queU"W.

E

tels que

F. Geo!riau

Agre´gationInternedeMathematiques,Universite´deLaRochelle,Exercicessurlesespacesvectoriels ´

3. – Base de

Soit (P n ) n!N une suite deR[X] telle que

R[X]

$n%Ndeg(P n )<deg(P n+1 )

Montrer que (P n ) n!N est une base deR[X] si et seulement si deg(P n ) =npour tout n%N.

Indication

Solution

F. Geo!riau