FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

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FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

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• Publié par: porthos
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* É - fi *  h h h h fi - "  " e - - "  e  É e - ˛ ˛ - ˛ $ e * ˛ ˛ $ e h " ˛ h ˛ h $ ˛ * - É - É $ h - FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT Théorème 1 Soit I = [a, b] un segment de
et ƒ : I
une application continue. Alors ƒ est bornée sur I. Démonstration : Supposons ƒ non bornée sur I. Soit c le milieu de I. Posons a = a et b = c si ƒ non bornée sur [a, c].1 1 Posons a = c et b = b sinon.1 1 En réitérant ce procédé, on construit, par récurrence, une suite de segments emboîtés : [a, b] [a , b ] ... [a , b ] ...1 1 n n Sur chacun de ces intervalles, ƒ est, par construction, non bornée. b a De plus, par construction, la longueur de [a , b ] est .n n n 2 Les segments [a , b ] ont donc des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (a ) et (b ) sont donc adjacentes.n n n n Notons x leur limite commune.0 Comme ƒ est continue en x , on a (avec = 1) :0
, x I : (|x x | < |ƒ(x) ƒ(x )| < 1)0 0+ C'est-à-dire :
, x I : (|x x | < ƒ(x ) 1 < ƒ(x) < ƒ(x ) + 1)0 0 0+ Donc ƒ est bornée sur ]x , x + [.0 0 Comme les segments [a , b ] ont des longueurs qui tendent vers 0, on a :n n *
, N : (n N b a < )n n+ Donc, pour un certain N, les segments [a ; b ], n N, sont contenus dans ]x , x + [.n n 0 0 Or, ƒ n'est pas bornée sur [a , b ] d'où une contradiction.n n Donc ƒ est bornée sur I. Théorème 2 Soit I = [a, b] un segment de
et ƒ : I
une application continue. Alors ƒ atteint ses bornes. Démonstration : D'après le théorème 1, on sait que ƒ est bornée. Notons M = sup ƒ et m = inf ƒ. II Montrons qu'il existe x dans I tel que ƒ(x ) = M.0 0 Comme M est la borne supérieure de ƒ sur I :
, x I : M < ƒ(x) M+ Fonction continue sur un segment Page 1 G. COSTANTINIfi - j fi ˛ j  fi $ ¥   j e 1 1 En particulier, avec = : x I : M < ƒ(x ) Mn n n n La suite (ƒ(x )) converge donc vers M.n En outre, la suite (x ) est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut donc en extraire une sousn * *suite qui converge vers un certain réel x . Notons : une application strictement croissante telle que0 (x ) converge vers x .0(n) La fonction ƒ étant continue en x , on a : M = lim ƒ (x ) = ƒ(x ).0 0(n) n + Donc ƒ atteint son maximum. On démontre, de même, que ƒ atteint son minimum. Corollaire Soit I = [a, b] un segment de
et ƒ : I
une application continue. Alors ƒ(I) est un segment. Démonstration : On sait déjà, que l'image (par ƒ continue) d'un intervalle est un intervalle. D'après le théorème 1, J = ƒ(I) est un intervalle borné. D'après le théorème 2, J est fermé. Donc J est un segment. Fonction continue sur un segment Page 2 G. COSTANTINI