Fsjes Salé - économétrie Prof Meslouhi - Chapitre 2

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• Publié par: abdenj88
• Publié le: 16 juin 2016
• Nombre de lectures: 470
• Langue: Français

Extrait

Chapitre 2.
Modèle linéaire simple




C’est un modèle simple à une seule équation, soumis à un ensemble d’hypothèses H et
comportant seulement deux variables. Il s’agit du modèle de type :
(1.1) y = ax + b
Où y : la variable endogène ou expliquée
x : la variable exogène ou explicative
a et b : deux paramètres réels inconnus à estimer et
H : un ensemble d'hypothèses théoriques, statistiques ou comptables sur (1.1)
Malgré sa simplicité, il permet de ressortir les propriétés fondamentales et de développer
l’essentiel des concepts et des instruments d’analyse utilisés en économétrie.
I Hypothèses
I.1 La linéarité
La linéarité de (1.1) n'est pas restrictive puisqu'on peut se ramener par une transformation
appropriée à la forme linéaire. Ainsi :Y = f ( X ) est linéarisable si Y (ou, toute fonction de
Y ) peut être exprimée comme une fonction linéaire de X (ou toute fonction de X ).
aAinsi la spécification suivante : Y = B X ; n’est pas directement linéaire, mais elle peut se
ramener, par la transformation logarithmique :
ln Y = ln B + a ln X (1.2)
à la forme linéaire de type : où : . y = ax + b y = ln Y , b = ln B et x = ln X
La forme log-linéaire est fréquemment utilisée dans les modèles de demande et de production.
C’est le fameux modèle à élasticité constante. En effet la dérivée de y par rapport à x n’est rien d’autres
que le paramètre a donnant l’élasticité de Y par rapport à X :
lnY / ln X = a
Exercice :
AX X Transformer les expressions suivantes : Y = BA ; et , en forme Y = Y =
X A + BX
linéaire de type : y = ax + b
I.2 Présentation
Nous postulons la relation linéaire, soit par simplicité, soit par faute de théorie précisant la nature
xde la relation entre y et . Considérons, par exemple, le modèle keynésien simple de la
consommation y d’un ménage fonction de son revenu x. de type:
y = a x + b
On peut observer qu’il est vraisemblable que y ne soit pas expliquée uniquement par x. Deux
ménages ayant, par exemple, le même revenu n’ont pas forcément des comportements
identiques en matière de consommation. D’autres facteurs expliquent ce comportement (nombre
d’enfants, ancienneté du mariage, le caractère dépensier ou économe du ménage, son goût pour le
luxe, …). Certains de ces facteurs ne sont même pas mesurables, ou, du moins, on ne peut
disposer de leurs observations.
On peut aussi penser que la vraie relation entre y et x ne soit pas une droite ou que les variables
ne soient pas mesurées de manière précise.
Pour tenir compte de l’oubli de ces facteurs, de l’erreur de spécification ou des erreurs de mesure,
nous procédons à l'introduction d'une troisième variable aléatoire notée .
-D’un modèle théorique nous considérons maintenant un modèle économétrique de type :
e¶¶y ax +b + = t = 1,K,T (1.3) t t t
y x Où : est la variable endogène qui est expliquée par : variable observable exogène, ainsi t t
que par une variable aléatoire non observable : représentant l’ensemble des erreurs qu’on t
commet lorsqu’on postule le modèle linéaire simple (Non prise en compte d’autres variables
explicatives, erreurs de spécification, erreurs de mesure sur les variables et erreurs
d'échantillonnage).
-a et b sont les coefficients de la régression. Ce sont deux paramètres réels inconnus.
- suit une loi de probabilité L( ) où L dépend du paramètre implicite .
t
x , yOn dispose d’un échantillon d’observations sur ( x , y ) noté ( ). Les données étudiées en t t
économétrie peuvent être de différentes natures.
- des séries chronologiques portant sur T périodes où : . Par exemple la t = 1,K,T
consommation et le revenu des ménages marocains de t = 1 en 1970 à T = 38 en 2007
t = 1,.K,n- en coupe instantanée portant sur n individus observés au même instant où :
Par exemple, les revenus de n ménages marocains en fonction du nombre d’années d’études du
chef de ménage en 2007.
- un mélange des deux appelé données de panel lorsqu’on observe n individus sur T périodes.
Nous nous limiterons ici, aux modèles temporelles et en coupe instantanée. Les modèles sur des
données de panel, plus complexes, seront laissés à un niveau supérieur.
a b A partir de ces données on cherche à estimer et ainsi que certaines caractéristiques de la
loi de .
La conséquence, c’est que devient aléatoire aussi puisqu'elle est fonction de . Plus y
yprécisément on fait l’hypothèse que la valeur observée de , est le résultat d’un tirage t
x = xaléatoire dans la sous population conditionnée par une valeur de . Elle est a priori t
susceptible de prendre plusieurs valeurs possibles dont une seule est observée. Le modèle
x = xpostule donc que la loi de y est une loi conditionnée par et sera fonction de la loi de : t
y  = y =ax +b +   t t tx = x t 
yChaque est considérée comme une observation de y , i.e. Le résultat d'un tirage aléatoire sur t
la loi de y pour une valeur fixée de x.

qqeeeeeee

Figure 1 La droite a x + b passe par les points (x E(y/ x = x ) t , t


I.3 Hypothèses

Soit le modèle (1,3) :
y ax +b += t = 1,K,T t t t

x xH1: y (ou toute transformation de y )est linéaire en (ou toute transformation de ) t t t t
xH2: Il n’y a pas d’erreur de mesure sur et y . t t
E( ) =0H3: t = 1,2,L,T . En moyenne, on espère que les erreurs soient nulles. t
2 H4:V( ) = t = 1,2,L,T . Il s’agit de l'hypothèse de l' homoscédasticité des erreurs ou t
de l’égalité de leurs variances. Si les variances sont différentes on parle de modèle
héteroscédastique.

"es"ee




Les hypothèses H3 et H4 signifient que suit une loi indépendante du temps.
' 'E(H5: ) = 0 t t , ou l'hypothèse de l'indépendance des erreurs. Son absence signifie t t
l’auto corrélation des erreurs.
H6: Cov( ,x ) = 0 , l'erreur est indépendante de la variable explicative. Sinon, x est t t
endogène.
H7: suit une loi normale. Si on ajoute les deux hypothèses H3 et H4 on peut résumer le tout t
par le fait que suive une loi normale N(0,) t
H8 : Lorsque T , les premiers moments empiriques de x tendent vers des quantités finies.

T T
2x (x x )∑ ∑t t
2t =1 t=1? ?? x et ? ?? S 0T TT T
Rem :
E( y/x = x ) =ax +bLa conséquence de H3 est que : la droite de la liaison inconnue entre y t t
et x au niveau de la population est une espérance de la loi conditionnelle. Les paramètres a et b
demeureront inconnus tant qu’on n’a pas observé toute la population. Ils seront estimés par
ˆ ˆˆa et b ˆ ˆ . La droite y = ax + b est alors l’estimation par l’échantillon de la droite inconnue dans t
ˆla population. La différence entre la valeur y et la valeur de ˆy , est ˆ le résidu = y yt t t t t
= y E( y/x = x )estimation de l’erreur (voir le graphique (2.2)) t t t
eefiefie¥-"fi-fieeese¥¥-fi„y y = ax +b +désignera donc tantôt la tième observation, tantôt, la variable aléatoire. Si , t t t t
ˆˆy = ˆ ˆil s’agit d’une variable aléatoire. Si aˆx + b + où a et b sont des estimations de , a et bt t t
il s’agira de la tième observation.
ˆˆa et b désigneront également tantôt des estimations (observations) tantôt des estimateurs
(variables aléatoires).

I.4 Espérance, variance et loi de y

y = ax +b + y• A partir de : , est une variable aléatoire alors l'est aussi t t t t t
E( y ) = ax +b•