GEOMETRIE ANALYTIQUE Theoremes d'annulation pour la coho mologie des puissances tensorielles d'un fibre vectoriel positif Note de Jean Pierre Demailly presentee par Pierre Lelong

Jean-Pierre Demailly

Description

GEOMETRIE ANALYTIQUE. — Theoremes d'annulation pour la coho- mologie des puissances tensorielles d'un fibre vectoriel positif. Note de Jean-Pierre Demailly, presentee par Pierre Lelong. Soit E un fibre vectoriel holomorphe de rang r au dessus d'une variete C–analytique compacte X de dimension n . Si E est positif au sens de Griffiths, nous montrons que les groupes de cohomologie de Dolbeault Hp,q(X, E?k ? (detE)l) s'annulent pour p + q ≥ n + 1 et l ≥ r + C(n, p, q) . La demonstration repose sur le fait classique que toute puissance tensorielle E?k se decompose en representations irreductibles de Gl(E) , chaque composante etant isomorphe a l'espace des sections d'un fibre lineaire homogene positif sur une variete de drapeaux de E . La propriete d'annulation s'obtient alors en combinant l'isomorphisme de Le Potier avec une nouvelle estimation de courbure pour le fibre des formes differentielles X–relatives sur la variete de drapeaux de E . ANALYTIC GEOMETRY. — Vanishing theorems for cohomology groups of tensor powers of a positive vector bundle. Let E be a holomorphic vector bundle of rank r over a compact complex manifold X of dimension n . If E is positive in the sense of Griffiths, it is shown that the Dolbeault cohomology groups Hp,q(X, E?k?(detE)l) vanish for p+q ≥ n+1 and l ≥ r+C(n, p, q) .

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Sujets

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Extrait

´ ´ GEOMETRIE ANALYTIQUE. —hTe´roe`sdmenn’aatulnpiolruohocao mologiedespuissancestensoriellesd’unfibre´vectorielpositif. Note deJeanPierre Demailly.,rpeLergnoleparPier´esent´e SoitEgnedarpreholomnuritohoelr´fibecevrae´te´vari’unesusdudes C –analytique compacteXde dimensionn. SiEest positif au sens de Griffiths, nous montrons que les p,q⊗k l groupes de cohomologie de DolbeaultH(X, E⊗(detE) ) s’annulent pourp+q≥n+ 1 etl≥r+C(n, p, qontiporeonemrast.)´daLecnasoutepuisiquequetiactalssesuslrfe ⊗k tensorielleEeGl(eeosmpco´eedslesdctib´edusirritnoneat´rsernpeE) , chaque composante ´etantisomorphe`al’espacedessectionsd’unfibr´elin´eairehomoge`nepositifsurunevari´et´ede drapeaux deEsi’ltnanibmocnesLedemeisphoromlutaa’nn´tdeire´alorient’obtionsaL.porp Potieravecunenouvelleestimationdecourburepourlefibr´edesformesdiff´erentiellesX–relatives surlavarie´t´ededrapeauxdeE. ANALYTIC GEOMETRYVanishing theorems for cohomology groups of tensor powers. — of a positive vector bundle. LetEbe a holomorphic vector bundle of rankrover a compact complex manifoldXof dimensionn. IfEis positive in the sense of Griffiths, it is shown that the Dolbeault cohomology p,q⊗k l groupsH(X, E⊗(detE) )vanish forp+q≥n+1andl≥r+C(n, p, q). The proof rests on ⊗k the wellknown fact that any tensor powerEsplits into irreducible representations ofGl(E), each component being canonically isomorphic to the space of sections of a positive homogeneous line bundle over a flag manifold ofE. The vanishing property is then obtained by a combination of Le Potier’s isomorphism theorem with a new curvature estimate for the bundle ofX–relative differential forms on the flag manifold ofE.

1.esedc ´ ontaulesr ´ stnEr´elefibaRpp—.qseulenoEest dit>0 , resp. ≥0 (au sens de Griffiths [3]) si la forme de courbure de Chern X ⋆ ic(E) =i e c ijλµ dz i ∧z j ⊗e λ ⊗ µ ,1≤i, j≤n ,1≤λ, µ≤r , i,j,λ,µ identifie´e`auneformehermitiennesurT X⊗Eifiev´er, X ic(E) x (ζ⊗(x)ζ i ζ v λ v µ >0,re v) =c ijλµ j sp.≥0 i,j,λ,µ P P pour tous vecteursζ=ζ i ∂/∂z i ∈T x X , v=v λ e λ ∈E x non nuls. Al’heureactuelle,onnedisposepasdethe´ore`mesd’annulationge´ne´rauxet p,q optimaux pour les groupes de cohomologie de DolbeaultHdes puissances tensoriellesd’unfibre´vectorielpositif.Ainsi,lece´le`breth´eor`emedeLePotier[5]: p,q E >0 =⇒H(X, E) = 0 pourp+q≥n+risepasauxpuissancesnsegee´´nrela k sym´etriquesS Em,eˆemoprup=netq=n−2 (cf.[4]) . On a cependant : The ´ or ` eme.—SoitLil´nrbe´heloaeriesphoromunfiurX. On suppose que E >0etL≥0, ouE≥0etL >0. Pour tous entiersp, qtels quep+q≥n+ 1, 1 on poseA(n, p, q) =n(n+ 1)(p+ 1)(q+ 1)/(p+q−n+ 1)sip < n, 4 a etA(n, p, q) = 0sip=n. SoitΓEetasre´noenptairnslteieorielle´rrtcudelbi r deGl(E)de plus haut poidsa∈Z, aveca 1 ≥a 2 ≥. . .≥a h >0et a h+1 =. . .=a r = 0ou`1≤h≤r−1. Sip+q≥n+ 1alors p,q al H(X,ΓE⊗(detE)⊗L) = 0pourl≥h+A(n, p, q). Corollaire. —Pourp+q≥n+ 1on a p,q kl (0.1)H(X, SE⊗(detE)⊗L) = 0sil≥1 +A(n, p, q); p,q⊗k l (0.2)H(X, E⊗(detE)⊗L) = 0sil≥min(k, r−1) +A(n, p, q).

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