Introduction 1 / 353

Description

• cours - matière : histoire
• cours - matière potentielle : plan

Introduction 1 / 353 Mathematiques : une definition ? Mathematiques←− µαθηµατικα ↓ ≃ apprendre Un outil pour : 1. exprimer avec coherence et precision une grande variete de notions complexes, 2. “legitimer les conquetes de notre intuitiona” - apprendre, comprendre et conclure correctement. 2 / 353 aJacques Hadamard Mathematiques : une definition ? Que sont les Mathematiques? Au moins deux approches possibles a la question : • Repondre en faisant des mathematiques →֒ e.

• abstraction finale de la propriete commune
• creation de la premiere regle
• communes aux motifs partageant des caracteristiques geometriques similaires
• cognition humaine
• mathematiques →֒
• premiere fois
• geometrie
• mathematiques

Sujets

• Histoire
• Chapters
• Cantor
• Mathématiques
• Humain
• Géométrie
• Création
• Première
• Commune
• Propriété

Informations

• Publié par: seyn
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• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

Introduction 1 / 353
Mathe´matiques : une de´finition ?
Mathematiques←−μαθηματικα
↓
≃ apprendre
Un outil pour :
´ ´ ´ ´1. exprimer avec coherence et precision une grande variete de notions complexes,
a2. “le´gitimer les conqueˆtes de notre intuition ” - apprendre, comprendre et conclure correctement.
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aJacques Hadamard
Mathe´matiques : une de´finition ?
Que sont les Mathe´matiques?
Au moins deux approches possibles a` la question :
• Re´pondre en faisant des mathe´matiques
֒→ e.g. Courant, Robbins & Stewart, “What is Mathematics ?”
• Re´pondre en philosophant sur les mathe´matiques
֒→ e.g. Hersh, “What is Mathematics, really ?”
Adoptons principalement la premie`re approche dans ce cours
(avec quelques excursions dans la seconde)
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1Histoire des Mathe´matiques
L’histoire de cette matie`re est longue et complexe.
• Les mathe´matiques ont e´volue´ a` travers de nombreuses pe´riodes
֒→ parfois tre`s diffe´rentes de ce que l’on accepte aujourd’hui.
´• Evolution des concepts et formulation des ide´es de base sont essentiels
֒→ ce qui semble trivial aujourd’hui a mis tre`s longtemps a` muˆrir
• Nombre incalculable de “participants”, de nombreux protagonistes, et souvent connecte´ au
´ ´conditions sociale-economiques-geographiques.
Quel est le but de ce cours ?
´ ´ ´ ´• Pas tant de developper une exposition historique detaillee et erudite
mais
´ ´ ´• De presenter, dans un contexte historique, les tournants dans l’evolution des idees clefs des
mathe´matiques, ainsi que les mathe´maticiens qui en sont a` l’origine.
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Mon (mes) objectif(s) pour ce cours
• Les maths paraissent souvent se`che et or-
donne´es dans les livres
• La cre´ation des maths est souvent dramatique
et chaotique
(pensez au films vs. les coulisses)
• Duel de Galois, suicide de Go¨del’s, excentri-
cite´s de Pythagore, de´clarations d’Hilbert. . .
´• Apprecier la saga des maths et partager l’exci-
tation
On suivra∼ Howard Eves, “Great Moments in Mathematics”, AMS.
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20.1 Plan du cours
Plan (*approximatif*) des sujets
• De l’ordre a` partir du chaos.
֒→ Preuves de l’origine des activite´s mathe´matiques.
´֒→ L’he´ritage des Babyloniens et des Egyptiens.
• La naissance du concept de preuve.
֒→ Le The´ore`me de Pythagore, avant et apre`s Pythagore.
֒→ Le de´veloppement de la me´thode axiomatique.
֒→ Les e´le´ments d’Euclide et leur re´percussions.
֒→ La naissance de la the´orie des nombres. L’he´ritage des Grecs.
• La naissance de l’alge`bre.
֒→ Apparition des manipulations symboliques.
֒→ Approches ge´ome´triques des e´quations cubiques, et l’he´ritage des Arabes.
`• De la certitute a l’incertitude.
֒→ La naissance des probabilite´s mathe´matiques.
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Plan (*approximatif*) des sujets
´ ´• L’inspiration de l’infinitesimal et la naissance du calcul infinitesimal.
֒→ Le The´ore`me fondamental du calcul infinite´simal.
´֒→ L’apparition de l’approximation par des series.
• La ge´ome´trie revisite´e : la libe´ration de la ge´ome´trie et la re´volution non-Euclidienne.
• L’alge`bre revisite´e : la libe´ration de l’alge`bre et la re´volution non-commutative.
֒→ La naissance de la the´orie des groupes.
• Le calcul infinite´simal revisite´ : la naissance de l’analyse.
֒→ Le roˆle fondamental du syste`me des nombres re´els.
֒→ L’e´mergence de la the´orie des ensembles et des espaces abstraits.
• La me´thode axiomatique revisite´e. The axiomatic method revisited.
֒→ Peut-on prouver ou re´futer tout ?
´ ` ´ ¨[Les Theoremes d’incompletude de Godel]
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3Course Evaluation
C’est difficile d’e´valuer un cours d’histoire des maths !
[et je ne veux pas faire comme un cours d’histoire traditionnel]
L’e´valuation comportera donc deux parties :
• 50% de la note : projet en groupe (a` expliquer)
• 50% de la note : e´preuve e´crite, Mardi 8 Novembre (semaines 1-6).
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Grognements, Doigts, Cailloux et Griffures
Origines des correspondances un-a`-un 9 / 353
Polyphemus Compte ses Moutons
Qu’est-ce qui peut eˆtre appele´ le premier grand moment des mathe´matiques?
Vraisemblablement, cela peut eˆtre trouve´ avant meˆme que les humains ont re´alise´ consciemment
qu’ils e´taient en train de faire des mathe´matiques.
Exemple : l’activite´ humaine basique de compter !
L’histoire de Polyphemus, les cyclopes dans
´l’Odyssee d’Homer
֒→ Une des premie`res traces e´crites de la notion
`de correspondance un-a-un comme base de
l’e´nume´ration.
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4L’Algorithme de Polyphemus et les “Nombres”
L’algorithme de comptage de Polyphemus :
• Rassembler un grand tas de cailloux
• Pour chaque mouton qui sort de la cave, prendre un caillou
`• Pour chaque mouton retournant a la cave, lancer un caillou
• Si tous les cailloux ont e´te´ lance´s, tous les moutons sont de retour
´ ´ ´ ´ ´Si nous faisons une pause pour reflechir, Polyphemus a simplement generalise “compter sur ses
doigts”
´֒→ Presque tout le monde admettra avoir compte sur ses doigts !
Aussi simple que cela puisse paraˆıtre, ce n’est absolument pas trivial :
Cela postule que
le “nombre” d’e´le´ments
doit eˆtre compris
comme e´tablissant une correspondance un-a`-un
avec un autre ensemble avec le meˆme “nombre” d’e´le´ments !
[Semble cyclique ? Essayez de de´finir ce qu’est un nombre !]
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Griffures et Grognements
La premie`re fois qu’une correspondance a e´te´ utilise´ pour compter e´tait probablement
´le premier grand moment des mathematiques
Quand est-ce que cela aurait-t-il pu arriver ? Nous pouvons seulement conjecturer.
` ´ ´ ´• Probablement and les premieres petites societes sont apparues, compter devint necessaire
• Une tribu ou une famille devaient se re´partir la nourriture, ou suivre l’e´volution de leur be´tail
´ ´ ´• Cela aurait pu se passer en grattant le sol ou en grognant de fac¸on repetee.
Quelle est la premie`re preuve de comptage par correspondance ?
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5L’Os d’Ishango
Le plus ancien outil mathe´matique pre´serve´ aujourd’hui est l’Os d’Ishango
• Trouve´ en 1960 par le belge Jean de Heinzelin de Braucourt pen-
dant qu’il explorait la re´gion de peˆche d’Ishango, pre`s du Lac
´Edouard (sur la frontie`re entre l’Ouganda et la Re´p. De´m. du
Congo).
• Initialement date´ entre 9’000 av. J.-C. et 6’500 av. J.-C. Nouveaux
indices laissent penser qu’il serait date´ de plus de 20’000 ans !
• Muni d’une pie`ce de quartz au bout, probablement pour faire des
encoches.
• Les encoches sont grave´es dans des colonnes se´pare´es, s’e´talant
sur toute la longueur de l’outil
• Les hypothe`ses quand a` son utilisation varient : outil pour comp-
´ter ? Le fait que les encoches sont groupees (e.g. certains sont des
premiers entre 10 et 20) ont conduit certains experts a` conside´rer si
cela indiquait une compre´hension mathe´matique au-dela` du comp-
tage.
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Abstraire la notion de “2”
´ ´ ˆAussi revolutionnaire que la methode des correspondance a pu etre
−→ elle a e´te´ effectue´e surtout inconsciemment
´ ´ ´ ˆ ´Par exemple, il n’etait pas clair qu’un seul ensemble de reference pouvait etre utilise !
• Par exemple, les premie`res tribus utilisaient diffe´rents cris pour diffe´rents types d’animaux
ˆ `֒→ Peut-etre que Polyphemus utilisait des noisettes pour compter les chevres, et des cailloux
pour les moutons ?
ˆ ´ ´• Meme aujourd’hui, nous avons differents mots pour decrire “2” : une paire de chaussure, un duo
(de chanteurs)
` `Nous pensons que c¸a a pris un long moment jusqu’a ce que nous arrivions a l’abstraction finale de
la proprie´te´ commune de “2”, de´crit par un unique son, symbole ou ensemble, commun a` tous.
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6Pourquoi est-ce un Grand Moment ?
Avant, j’ai demande´ : essayez de penser ce qu’est un nombre.
´ ´ ´ ´Il se trouve que notre definition mathematique moderne n’est pas si eloignee de ce que cette vieille
me´thode de correspondance fait !
• Aujourd’hui la correspondance 1-a`-1 est la base pour compter les ensembles finis.
• En fait, c’est la base pour de´finir la notion meˆme de nombre !
´Dans une serie d’articles dans Mathematische Annalen
et Journal fu¨r Mathematik commenc¸ant en 1874, Georg
Cantor a utilise´ la meˆme notion de correspondance pour
de´finir la notion de cardinalite´ pour les ensembles infinis !
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7Quel est le Volume d’une Pyramide ?
Les Origines de la Ge´ome´trie 16 / 353
Ge´ome´trie Subconsciente
´ ´ ˆLa geometrie est subcons