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Invent. Math. 159 (2005), 531–588. Entiers friables : inegalite de Turan–Kubilius et applications? R. de la Breteche & G. Tenenbaum Sommaire 1 Introduction et description des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Entiers friables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 L'inegalite de Turan–Kubilius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Sur la constante de l'inegalite Turan–Kubilius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Theoreme d'Erdo˝s–Wintner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Theoreme de Daboussi .

• constante de l'inegalite turan–kubilius


• equation di?erentielle aux di?erences


• parametre positif arbitraire


• inegalite de turan–kubilius


• variance relatives


• preuve du theoreme


• di?erentes variables


• kubilius


• ?? semi-asymptotiques

Sujets

• Kubilius

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Extrait

Invent. Math.159(2005), 531–588.

∗

Entiersfriables:in´egalite´de Ta´n–Kubiliusetapplications ∗ ur

R. de la Bret`eche & G. Tenenbaum

Sommaire 1Introduction et description des r´esultats. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Entiers friables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2L’in´egalite´deTur´an–Kubilius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.3Surlaconstantedel’in´egalit´eTura´n–Kubilius. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7 1.4Th´eor`emed’Erd˝os–Wintner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.5The´or`emedeDaboussi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.6 Les facteurs premiers d’un entier friable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.7 Commentaires historiques et m´ethodologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2Le cas classique revisit´e :C(x, x) = 2 +o(1). . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16 3irna´meiPlries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 3.1 Point-selle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2Moyennespond´ere´esdesf(p ν ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Comportement local de Ψ m (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.4De´rive´eslogarithmiquesdeg m (α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 3.5 La fonctionr(v). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ´ 3.6 Evaluation d’une covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 41eme1.´hTu`roere:peduvbiKuusli´Iedt´ligan–´aureT. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 30 ne 4.1Re´ductionpr´eliminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Grandes valeurs dey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 4.3 Petites valeurs de. . . . . . . . . . . . . . . . .y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 5Analyse asymptotique de la variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 6udevuerpe`roe´hT21.meForale:medu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 45 7emerE’dso˝dniW–ertnre:peduvh´uT.4e1eTmhr´`eeoor. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46 ` 8Tu´hvudep:ersuisDabomedeor`eTh´e.5r`eoe1em. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 9Ordre normal deω t et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 9.1 Valeur moyenne deω t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 9.2 Ordre normal deω t me1e6.:preuveduTh´eor`. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 52 9.3 Ordre normal dep j (n) : preuve du Corollaire 1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

Nousincluonsicicertainescorrectionsparrapport`alaversionpublie´e.

2 nenbaumheetG.TeBaer ` tceRd.le 1. Introduction et description des r´esultats 1 · 1. Entiers friables Depuisunequinzained’ann´ees,l’e´tudedespropri´et´esarithm´etiquesdesentiers friables, i.e. sans grand facteur premier, a pris une place consid´erable dans les travaux de recherche en th´eorie des nombres et en algorithmique. SoitP(n) le plus grand facteur premier d’un entiern >1. Convenons encore de poserP(1) = 1 et introduisons les notations S(x, y) :={nx:P(n)y}, pour l’ensemble des entiersynselbairf-e’cxe´adtnapsx, et Ψ(x, y) :=|S(x, y)|, poursoncardinal.Las´eriedeDirichletassoci´eea`Ψ(x, y) est le facteur initial du produiteule´riendeζ(s), soit 1  n s =ζ(s, y) :=  1− 1 1/p s (σ >0) P(n) y py o`u,icietdanslasuite,nousd´efinissonsimplicitement,pours∈C, les nombres r´eelsσetτpar la relations=σ+iτ. La majoration de Rankin Ψ(x, y)x σ ζ(σ, y) (x2, y2, σ >0) est optimale lorsqueσ=α=α(x, y)eniefid´stleu’ocmmseloinuqnposutioeitiv del’´equationtranscendante logp = logx. (1·1)  p α −1 py Nous rappelons au Lemme 3.1infrales principales estimations explicites disponibles pourαnteuq,seedepourent,lesifixerismmtonotamee´id ´ α≈ +1(go g l lo /y y logx) (xy2). Lam´ethodeducolapermis`aHildebrandetTenenbaum[18]d’´evaluerpre´ci- se´mentlerapportdeΨ(x, ydeRationjoralamao:anknnia`) (1·2) Ψ(x, y) = α x α √ ζ 2 (yα, πσ 2 )  1 +O  u 1  (xy2),

Ine´galit´edeTur´an–Kubilius

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ou`l’onapos´e (1·3)u:= (logx)/logy, u:= min(u, y/logy), et σ 2 :=  d 2 ogl d ζ s 2 (s, y)  s=α . Les formules asymptotiques (3·3) et (3·8)infrafournissent respectivement des approximations explicites deαetσ 2 en fonction dexety. Conformement`al’usage,nousd´esignonsparla fonction de Dickman, d´efinie ´ comme l’unique solution continue sur [0,∞1[revite´dus]rbael,∞del’[atio´equn diffe´rentielleauxdiff´erences  ( ) +(v−1) = 0 v v avec la condition initiale (v) = 1 (0v1). Nous posons(v) = 0 pourv <deiveres´ese´detlstsuoegnoolonetpr0par continuite´a`droitesurR. L’int´erˆetdelaformule(1·2) est double. D’une part elle permet de retrouver facilement la validit´e de la formule de Hildebrand [16] (1·4) Ψ(x, y) =x(u)  1 +O ε  lo g(lou gy + 1)  dans le domaine (H ε )x3,e (log 2 x) 5/3+ε yx, o`uεest un param`etre positif arbitraire. (1) D’autre part elle permet d’´etudier, uniforme´mentenx,y, le comportement local de l’applicationx→Ψ(x, y). Il est ainsi´etablidans[18]quel’ona (1·5) Ψ(cx, y) =c α Ψ(x, y)  1 +O  u 1  uniform´ement pour (x, y)∈(H ε ) et 1cye,d´esign´eesrofselumcedspyteLe. parErd˝oscomme  semi-asymptotiques  , sont des sous-produits sp´ecifiques de la ´thode du col et de ses avatars. me 1 · alitn´eg.L’i2libuK–na´ruTede´siu L’ine´galit´edeTur´an–Kubiliusestunoutilessentieldelath´eorieprobabiliste desnombres,o`uelleestlependantduth´eor`emeclassiquedeProbabilit´erelatif 1. Ici et dans la suite, nous notons log k lak.emhtiragolno`e-iitme´re´edeeofalitcn

4 laBret ` eR.deneneabmuhceeGtT. `alavarianced’unesommedevariablesal´eatoiresind´ependantes.Elleestsouvent employe´e,vial’in´egalite´deBienayme´-Tch´ebychev,pourd´eterminerl’ordrenormal d’une fonction arithm´etique additive. Pour plus de d´etails, le lecteur pourra consulter les chapitres concern´es de [10] et [30]. L’undesobjetsdupr´esenttravailconsiste`adonnerdel’ine´galite´deTura´n– Kubiliusuneversionadapt´eeaucasou`seulslesentiersdeS(x, y) sont retenus. Unetelle´etudeesta`mettreenperspectiveaveclemod`eleprobabilistedeKubilius — voir notamment [21], [22], [10], [11], [31]. Le lemme fondamental de Kubilius fournit une mesure universelle de l’approximation de la loi de r´epartition d’une fonction additive r´eellefdont le support est inclus dansS(x, y) par celle d’une variable al´eatoire abstraite (1·6)Z f,y =  ξ p py ou`lesξ p sont des variables al´eatoires ind´ependantes de lois d´efinies par (1·7)P(ξ p =f(p ν )) = (1−1/p)p −ν (ν= 0,1,2, . . .). De´signonsparν x mesure empirique uniforme sur l’ensemble des entiersla n’exce´dantpasx. Kubilius [21], [22], a montr´e que la quantit´e K(x, y) := sup sup|ν x (f∈A)−P(Z f ∈A)|, f A⊂R ou`lepremiersupremumportesurtouteslesfonctionsadditivesnulleshorsde S(x, y,ten)s0d`dverlepeseuqe`rtreamau1ap(rfiein´d·3) tend vers l’infini, i.e. y=x o(1) te,dequivalen,eamsie´irsne`uqntsilunpioitfin´edenU.K(x, ye´nnee)odts dans [32]. Il est ´etabli dans [31] que l’on a, pour toutε >0, K(x, y) ε u −u +x −1+ε (xy2). Lemeˆmetravailfournit´egalement,dansunlargedomaineen(x, y), une formule asymptotique pourK(x, y). Conside´ronslesvariablesal´eatoiresdeBernoulliX pν seinΩrusfie´d x par X pν :  1si d0a p n ν s  le n csaoctn , raire. = Le mod`ele de Kubilius repose sur l’observation queX qμ etX pν sont  presque  inde´pendanteslorsque,d’unepart,q=pet, d’autre part,q μ etp ν sont petits devantx. Comme l’esp´erance deX pν vaut (1·8)w x (p ν ):= 1 [x]   x p ν  −  p ν x +1   = p 1 ν  1− p 1  +O  x 1  ,

Ine´galit´edeTur´an–Kubilius 5 les approximations naturelles de l’esp´erance et de la variance d’une fonction additive complexefsur Ω x sont, avec la notation (1·6), A f (x) :=E(Z f,x ) =  f(p ν ) 1− 1  , p ν x p ν  p V(Z f,x ) =B f (x) 2 −   1− 1 p  2  1ν  lgo lgo x p f(p p ν ν )  2 px o`ul’´ on a pose B f (x) 2 :=  E(|ξ p | 2 ) =  |f(p p ν ν )| 2  1− p 1  px p ν x et`uEetVdise´nengsertctpeemivtlensp’ee´arcneeltvaraaincerelatives`alaiol o deprobabilit´esde´finiepar(1·chwarzCa7uchy–Sse`t.)lIreuqnaton´egel’i´edealit implique immediatement ´ V(Z f,x ) 1 2 B f (x) 2 . Avec ces notations, l’in´egalit´e classique de Tur´an–Kubilius (cf., par exemple, [10], chap. 4 ou [31], chap. III.3) s’´ecrit (1·9)V f (x) := x 1  |f(n)−A f (x)| 2 B f (x) 2 nx o`ufest une fonction additive complexe arbitraire et la constante implicite est absolue — donc en particulier ind´ependante def. Notons (1·10) Ψ m (x, y) :=  1 n∈S(x,y) (n,m)=1 le nombre des entiersysaptnadnse’cxe´f-irbaelxet relativement premiers avecm. Lorsque l’on remplace la mesureν x par la mesure uniforme, disonsν x,y , surS(x, y), l’analogue du membre de gauche de (1·8) devient Ψ p (x/p ν , y) (1·1)1 Ψ(x,) . y Cettequantite´neposse`dea prioripas d’approximation simple et l’on peut dire qu’enuncertainsenstouteladifficult´einhe´rente`al’introductionduparam`etrey r´esidedanslacompr´ehensiondesfluctuationsdecerapportrelativementaux diffe´rentesvariables.