La démonstration

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• Publié par: ovehoqux
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• Langue: Français

Extrait

La démonstration Introduction : Nous avons tendance à faire de la démonstration l’énoncé le plus excellent de la raison.« … mais vous, ô mathématiques concises, par l’enchaînement rigoureux de vos propositions tenaces et la constance de vos lois de fer, vous faîtes luire, aux yeux éblouis, un reflet puissant de cette vérité suprême dont on remarque l’empreinte dans l’univers. » (Lautréamont, Les chants de Maldoror, II, XXIV) Loin de la conjoncture d’une simple interprétation ou d’un constat d’expérience, la démonstration semble un modèle d’intelligibilité. Cela donnerait aux mathématiques le privilège d’une étude systématique non seulement des procédures de la raison, mais en outre - et comme semble le suggérer le poète ici, mais aussi un modèle quasi divin pour schématiser et se donner une intelligence rigoureuse du réel. Faut-il étendrecet art de convaincre au-delà des bornes de la raison ? Peut-on inscrire le réel dans un ordre des raisons qui en déploierait toute l’intelligence ? Question qui nous invite à réfléchir l’ordre que prétend instaurer la démonstration. Le réel peut-il s’écrire en langue mathématique, comme le suggère Galilée, dans l’Essayeur, et considéré comme un des pères de la physique mécanique qui décrirait des rapports de mouvements ? 1.Un modèle de la pensée (l’idéal de la démonstration). - Platon, République VII :l’exemplarité de la démonstration mathématique.« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »est la formule que Platon avait fait inscrire au fronton de l’Académie, pour exprimer cet idéal de rigueur et de certitude : les mathématiques sont une propédeutique, «un prélude à l’air qu’il faut apprendre», «une image de rêve». - Platon, Ménon: la démonstration est unmodèle universella raison. pourExemple du jeune esclave à qui Socrate fait découvrir (par la maïeutique),par pure et simple déduction, comment doubler géométriquement l’aire du carré (l’esclave double d’abord le côté, puis se corrige, avant de trouver la solution) : soit un carré de côté a, calculer le côté x d’un carré de surface double (2a²) : si x² = 2a² alors x =√2a. Cet exemple montre quela démonstration mathématique est doublement universelle: non seulement le calculà faireest automatique en lui-même (le résultat de l’opération est toujours le même : l’opération est infaillible et ne laisse pas de place à l’interprétation), mais en outre le calculà trouver: elle ne dépend pas desle même pour tous (l’opération est toujours la même est individus mais est accessible à tous). Le jeune esclave, pourtant ignorant en mathématiques, trouve et fait le même calcul que Socrate. Aristote, Seconds analytiques : la démonstration est un discours qui montre, non pas le réel, mais la raison en acte. Elle établit lanécessité d’unrésultat par un raisonnement qui entraîne, par sa force propre, sans appuis extérieurs, l’adhésion rationnelle de tous ceux qui la suivent. C’est parce que la démonstration est nécessaire (= elle ne peut pas être autrement qu’elle est) qu’elle estuniverselle. « Même s’il était possible de voir que le triangle a ses angles égaux à deux droits, nous en chercherions encore la démonstration ». Mais la démonstration relève d’un domaine spécifique. Aristote opposel’analytique (théoriede la science et du raisonnement démonstratif) et ladialectique (théoriedes opinions incertaines et des syllogismes probables). La démonstration mathématique est supérieure au raisonnement qui porte sur les choses contingentes (exemple :interprétationdes lois). Peut-on dès lors étendre la logique démonstrative à tous les domaines de la pensée? Ce sous-ensemble idéal qu’est la démonstration mathématique peut-il couvrir l’ensemble des activités humaines ?Si le calcul est un modèle de la pensée, la pensée peut-elle être un modèle de calcul ?Une connaissance mathématique de ce qui est objet d’expérience est-elle possible ? 2.Une méthode pour la connaissance (la démonstration et le réel).

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