LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p DIVISIBLES

Description

LA FILTRATION CANONIQUE DES POINTS DE TORSION DES GROUPES p-DIVISIBLES LAURENT FARGUES AVEC LA COLLABORATION DE YICHAO TIAN Resume. Etant donne un entier n ≥ 1 et un groupe de Barsotti-Tate tronque d'echelon n et de dimension d sur un anneau de valuation d'inegales caracteristiques, nous donnons une borne explicite sur son invariant de Hasse qui implique que sa filtration de Harder-Narasimhan possede un sous-groupe libre de rang d. Lorsque n = 1 nous redemontrons egalement le theoreme d'Abbes-Mokrane ([1]) et de Tian ([37]) par des methodes locales. On applique cela aux familles p-adiques de tels objets et en particulier a certaines varietes de Shimura de type PEL afin de montrer l'existence de familles compatibles de sections de certaines correspondances de Hecke sur des voisinages tubulaires explicites du lieu ordinaire. Abstract. Given an integer n ≥ 1 and a truncated Barsotti-Tate group of level n and dimension d over an unequal characteristic valuation ring, we give an explicit bound on its Hasse invariant so that its Harder-Narasimhan filtration has a break which is free of rank d. When n = 1 we also give a local proof of the Abbes-Mokrane ([1]) and Tian ([37]) theorem. We apply this to p-adic families of such objects and in particular prove the existence of compatible families of sections of some Hecke correspondences on explicit tubular neighborhood of the ordinary locus in some PEL type Shimura varieties.

• filtration de harder-narasimhan


• invariant de hasse


• yy yy


• filtration


• ee ee


• spk

Sujets

• Wortmann
• Nicole
• Filtration

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2011
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Extrait

LAFILTRATIONCANONIQUEDESPOINTSDETORSIONDESGROUPES
p
-DIVISIBLES

LAURENTFARGUES
AVECLACOLLABORATIONDEYICHAOTIAN

Re´sume´.
E´tantdonne´unentier
n
≥
1etungroupedeBarsotti-Tatetronque´d’e´chelon
n
etdedimension
d
surunanneaudevaluationd’ine´galescaracte´ristiques,nousdonnonsune
borneexplicitesursoninvariantdeHassequiimpliquequesafiltrationdeHarder-Narasimhan
posse`deunsous-groupelibrederang
d
.Lorsque
n
=1nousrede´montronse´galementlethe´ore`me
d’Abbes-Mokrane([1])etdeTian([37])pardesme´thodeslocales.Onappliquecelaauxfamilles
p
-adiquesdetelsobjetsetenparticuliera`certainesvarie´te´sdeShimuradetypePELafinde
montrerl’existencedefamillescompatiblesdesectionsdecertainescorrespondancesdeHecke
surdesvoisinagestubulairesexplicitesdulieuordinaire.

Abstract.
Givenaninteger
n
≥
1andatruncatedBarsotti-Tategroupoflevel
n
anddimension
d
overanunequalcharacteristicvaluationring,wegiveanexplicitboundonitsHasseinvariant
sothatitsHarder-Narasimhanfiltrationhasabreakwhichisfreeofrank
d
.When
n
=1we
alsogivealocalproofoftheAbbes-Mokrane([1])andTian([37])theorem.Weapplythisto
p
-adicfamiliesofsuchobjectsandinparticularprovetheexistenceofcompatiblefamiliesof
sectionsofsomeHeckecorrespondencesonexplicittubularneighborhoodoftheordinarylocus
insomePELtypeShimuravarieties.
1.
Introduction
1.1.
Soit
p
unnombrepremier.Soit
K
uneextensionvalue´ecomple`tede
Q
p
devaluationdiscre`te
et
A
unsche´maabe´liendedimension
g
sur
O
K
.Si
A
are´ductionordinairesurlecorpsre´siduel
de
K
et
n
≥
1estunnombreentier,lespointsde
p
n
-torsionde
A
sontmunisd’unefiltration
canonique
0
−→
A
[
p
n
]
0
−→
A
[
p
n
]
−→
A
[
p
n
]
e´t
−→
0
ou`
A
[
p
n
]
0
estunsche´maengroupesdetypemultiplicatifd’ordre
p
ng
et
A
[
p
n
]
e´t
este´taledumeˆme
ordre.Soit
S
ord
lelieuforme´despointsa`bonnere´ductionordinairedansl’espaceanalytiquerigide
p
-adique
S
associe´auxvarie´te´sdeSiegeldeniveaupremiera`
p
.C’estunouvertadmissibleausens
delage´ome´trierigidequel’onpeutvoircommeletubeaudessusdel’ouvertd’ordinarite´dela
re´ductionmodulo
p
desmode`lesentierscanoniquesdecesvarie´te´s.Soit
S
P
n
−→S
lereveˆtement
e´talefiniassocie´ausous-groupedecongruence
∗∗P
n
=
x
∈
GSp
2
g
(
Z
p
)
|
x
≡
mod
p
n
,
∗0lesblocsdelamatricepre´ce´dentee´tantdetaille
g
×
g
.Surlelieuordinaire,lesfiltrationpre´ce´dentes
semettentenfamilleetfournissentunesectiondureveˆtement
S
P
n
→S
.Lorsque
n
varie,ces
filtrationsve´rifientcertainesrelationsdecompatibilite´.
Surlare´ductionmodulo
p
desvarie´te´sdeSiegel,ilyauneformeautomorphealge´briquede
poids
p
−
1.Savaluationde´finitunefonction
≪
invariantdeHasse
≫
Ha:
S−→
[0
,
1]
.
Date
:20octobre2011.
2010
MathematicsSubjectClassification.
14K02,14K10,14L05,11F33.
Keywordsandphrases.
Groupesp-divisibles,p-divisiblegroups,varie´te´sdeShimura,Shimuravarieties.
1

2LAURENTFARGUES
1−Deplus,lelieud’ordinarite´de
S
estexactementlelieuHa(
{
0
}
).Seposealorslaquestionde
savoirsil’onpeute´tendrepourun
n
donne´lasectioncanoniquepre´ce´dentesurunvoisinagetu-
bulaireHa
−
1
([0
,ǫ
n
[)de
S
ord
pourun
ǫ
n
∈
Q
>
0
quel’onaimeraitpouvoircontroˆler.Laquestion
pre´ce´dentes’e´tendenunproble`meplusge´ne´ralconcernantlesgroupesdeBarsotti-Tatetronque´s
(pourl’e´tudedumeˆmeproble`medanslecasdesvarie´te´sdeShimuraautresquelesvarie´te´sde
Siegel,lecasdespointsdetorsiondessche´masabe´liensestinsuffisant).
Lecasdescourbeselliptiquesae´te´comple`tementre´soluparKatz([25])etLubin([30]).Dans
l’article[1]AbbesetMokraneontre´solulecasdesvarie´te´sabe´liennesdedimensionge´ne´rale
lorsque
n
=1,c’est-a`-direlecasdespointsde
p
-torsion.Ilsutilisentpourcelaladescription
donne´eparBlochetKatodescyclese´vanescents
p
-adiquessurlesvarie´te´sprojectiveslissesayant
bonnere´duction,couple´ea`lathe´oriedelaramificationde´veloppe´eparAbbesetSaitodans[2].
Dansl’article[37],Tianae´tendulere´sultatd’Abbes-MokraneaucasdesgroupesdeBarsotti-Tate
tronque´sd’e´chelon1.Ilfaitusagepourceladere´solutionsdetelsgroupespardessche´masabe´liens
etdesre´sultatsdeBloch-Katosurlescyclese´vanescents
p
-adiquesassocie´s.Dansl’article[3]
AndreattaetGasbarriontretrouve´lere´sultatd’Abbes-Mokranepard’autresme´thodesglobales,
c’est-a`-direfaisantintervenirdessche´masabe´liens.Conradamontre´dans[10]lasurconvergence
enge´ne´ralpourlespointsde
p
n
-torsiondessche´masabe´lienspourtout
n
maissansborneexplicite.
Lecasdesvarie´te´smodulairesdeHilbertae´te´e´tudie´ende´tailsdans[26],[21]et[22].Notons
enfinquedans[32],desre´sultatssurlessous-groupescanoniquesdeniveauquelconqueonte´te´
obtenuspasdesme´thodescomple`tementdiffe´rentes.Cesre´sultatsconcernentd’autresfiltrations
dessche´masengroupesfinisetplatsquecellesquenousutilisons(cesfiltrationsinterviennent
toutdemeˆmedanslasection3ou`nouslesappelonsfiltrationsderamificationinfe´rieurenaı¨ves,
maisuniquementcommeinterme´diairepourene´tudierd’autres).
1.2.
Nouscommenc¸onstoutd’abordparrede´montrerlethe´ore`med’Abbes-MokraneetTianpar
desme´thodeslocalesnefaisantpasintervenirdesche´masabe´liens(cependantcontrairementa`
AbbesetMokrane,nousnetraitonspasdanscetextelecasdessche´massemi-abe´liens).Nous
pre´cisonse´galementlecomportementdeleursfiltrationsvis-a`-visdeladualite´etdoncdespo-
larisations.Voicilethe´ore`mede´montre´danslasection6.Onfixeuneextensionvalue´ecomple`te
K
|
Q
p
pourunevaluationa`valeursdans
R
.Onsupposedeplusque
p
6
=2
,
3danslerestedecette
introduction.
The´ore`me
(The´ore`me4point(2)etCorollaire2)
.
Soit
G
ungroupedeBarsotti-Tatetronque´
d’e´chelon
1
,dehauteur
h
etdedimension
d<h
sur
O
K
.Soit
(
G
λ
AS
)
λ>
0
lafiltrationd’Abbes-Saito
1de
G
.SupposonsquesoninvariantdeHasse
w
∈
[0
,
1]
soitstrictementpluspetitque
2
.Alors
pλwpour
p
−
1
≤
λ<
p
−
1
(1
−
w
)
legroupe
G
AS
estderang
d
,inde´pendantde
λ
.Ilenestdemeˆme
de
G
D
,lafiltratione´tantalorsderang
h
−
d
.Pour
λ
commepre´ce´demment,vial’accouplement
G
(
O
K
)
×
G
D
(
O
K
)
→
F
p
(1)
,onal’e´galite´
(
G
D
)
λ
AS
(
O
K
)
⊥
=
G
λ
AS
(
O
K
)
.
Lade´monstrationdecethe´ore`mefaitintervenirunee´tudefinedel’applicationdeHodge-Tate
dessche´masengroupesfinisetplatssur
O
K
.Danslasection6nousde´montronsd’autresre´sultats
concernantcetteapplicationquisontutilesdanslasuite,notammentlere´sultatsuivant.
The´ore`me
(The´ore`me4point(3))
.
Sousleshypothe`sesduthe´ore`mepre´ce´dentlare´ductiondu
cranderang
d
delafiltrationde
G
modulolese´le´mentsde
O
K
devaluationsupe´rieureoue´gale
a`
1
−
w
coı¨ncideaveclenoyaudumorphismedeFrobeniusdelare´ductionde
G
.
L’undesre´sultats-clefspourlasuiteeste´galementlethe´ore`mesuivant(quidenotreav