Les mathematiques appliquees

Various

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Les mathematiques appliquees

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• mathématiques
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• Publié par: ojurarop
• Publié le: 08 décembre 2010
• Nombre de lectures: 238
• Langue: Français
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The Project Gutenberg EBook of Journal de Mathématics Pures et Appliquées Tome II: 1837, by Various

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Title: Journal de Mathématics Pures et Recueil mensuel de mémoires sur mathématiques

Author: Various

Editor: Joseph Liouville

Release Date: February 16,

Language: French

Character set

Appliquées Tome II: 1837 les diverses parties des

2010 [EBook #31295]

encoding: ISO88591

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK JOURNAL DE MATHÉMATICS PURES ***

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Transcriber’s Note :The original page numbers of this Journal have been preserved in the margin, in the form “[JMPA 1837 :144]”. Internal page references (mostly in the Table des Matières) give both this number and the corresponding PDF page number, as “page 144 (PDF:116)”. Numerous typographical errors in the original were discovered during the preparation of this edition : these have here been corrected and noted at the end of the text. The plates for M. Combes’ Mémoire on “frottement” were not available for this edition.

JOURNAL

de MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES,

ou RECUEIL MENSUEL de mémoires sur les diverses parties des mathématiques ;

Publié

PAR JOSEPH LIOUVILLE, Ancien Elève de l’École Polytechnique, répétiteur d’Analyse à cette École.

TOME DEUXIÈME.

ANNÉE 1837.

PARIS, BACHELIER, IMPRIMEURLIBRAIRE de l’école polytechnique, du bureau des longitudes, etc. o quai des augustins, n 55.

1837

TABLE

DES

MATIÈRES.

Solution d’un Problème d’Analyse ; par M.Liouville1 (. Page . . PDF:6) Solution d’une question qui se présente dans le calcul des Probabi lités ; par M.Mondésir3 (. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8) Note sur les points singuliers des courbes ; par M.Plucker. . . . 11 (15) Second Mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable, par M.Liouville. . . . . . . . . . . . 16 (19) Extrait d’une lettre de M.Terquemà M.Liouville. . . . . . . 36 (35) Note sur les équations indéterminées du second degré. — Formules 2 2 d’Euler pour la résolution de l’équation Cx∓A=y. — Leur identité avec celles des algébristes indiens et arabes. — Démons tration géométrique de ces formules ; par M.Chasles37 (. . . . . 36) Mémoire sur la classification des transcendantes, et sur l’impossi bilité d’exprimer les racines de certaines équations en fonction finie explicite des coefficients ; par M.Liouville56 (. . . . . . . . 50) 1 2− Sur le développement de(1−2xz+z); par MM.IvoryetJacobi. 105 (86) 2 Sur la sommation d’une série ; par M.Liouville107 (. . . . . . . . . 88) Mémoire sur une méthode générale d’évaluer le travail dû au frotte ment entre les pièces des machines qui se meuvent ensemble en se pressant mutuellement. — Application aux engrenages coniques, cylindriques, et à la vis sans fin ; par M.Combes. . . . . . . 109 (90) Note sur une manière simple de calculer la pression produite par les parois d’un canal dans lequel se meut un fluide incompressible ; par M.Coriolis130 (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105) Sur la mesure de la surface convexe d’un prisme ou d’un cylindre tronqué ; par M.Paul Breton133 (. . . . . . . . . . . . . . . 108) 1 2− Note sur le développement de(1−2xz+z); par M.Liouville(. 135 110) 2 Note sur un passage de la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques ; par M.Poisson140 (. . . . . . . . . . . . . . . . 114) Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homo gènes en équilibre de température ; par M.Lamé147 (. . . . . . . 119) Note de M.Poisson184 (. . . . . . relative au mémoire précédent. 148) Addition à la note de M. Poisson insérée dans le numéro précédent de ce Journal ; par l’Auteur . . . . . . . . . . . . . . . 189 (152) Mémoire sur l’interpolation ; par M. Cauchy . . . . . . . . . 193 (155) Note sur un passage de la Mécanique céleste relatif à la théorie de la figure des planètes ; par M. Liouville . . . . . . . . . . 286 (165)

Extrait d’un mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les différents termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle linéaire, contenant un paramètre variable ; par MM. Sturm et Liouville . . . . . . . . . . . . . . . Remarques sur les intégrales des fractions rationnelles ; par M. Pois son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mémoire sur le degré d’approximation qu’on obtient pour les va leurs numériques d’une variable qui satisfait à une équation diffé rentielle, en employant, pour calculer ces valeurs, diverses équa tions aux différences plus ou moins approchées ; par M. Coriolis Sur une lettre de d’Alembert à Lagrange ; par M. Liouville . . . Observations sur des théorèmes de Géométrie énoncés, page 160 (PDF:129; par) de ce volume et page 222 du volume précédent M. Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recherches sur les nombres ; par M. Lebesgue . . . . . . . . . Note sur un cas particulier de la construction des tangentes aux projections des courbes, pour lequel les méthodes générales sont en défaut ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . Théorèmes sur les contacts des lignes et des surfaces courbes ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note relative à un passage de la Mécanique céleste ; par M. Poisson Remarques sur l’intégration des équations différentielles de la Dy namique ; par M. Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . Thèses de Mécanique et d’Astronomie ; par M. Lebesgue . . . . Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géomé trie peut se résoudre avec la règle et le compas ; par M. Wantzel Solution d’un problème de Probabilité ; par M. Poisson . . . . Mémoire sur diverses manières de généraliser les propriétés des diamètres conjugués dans les sections coniques.–Nouveaux théo rèmes de Perspective pour la transformation des relations mé triques des figures.–Principes de Géométrie plane analogues à ceux de la Perspective. Manière de démontrer, dans le cône oblique, les propriétés des foyers des sections coniques ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de Mécanique ; par M. Cauchy . . . . . . . . . . . . . . Sur quelques propriétés générales des surfaces gauches ; par M. Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Troisième mémoire sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers termes sont assujétis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre, contenant un paramètre variable ; par M. Liouville . . . . . . . . . . .

220 (176)

224 (179)

229 (183) 245 (195)

248 (197) 253 (201)

293 (231)

299 (235) 312 (244)

317 (248) 337 (263)

366 (286) 373 (292)

388 (303)

406 (316)

413 (321)

418 (325)

Note sur une propriété des sections coniques ; par M. Pagès . . 437 (340) Solution nouvelle d’un problème d’Analyse relatif aux phénomènes thermomécaniques ; par M. Liouville . . . . . . . . . . . 439 (342) Note sur l’intégration d’un système d’équations différentielles du se cond ordre, entre un nombre quelconque de variables, analogues à celles du mouvement d’un point libre autour d’un centre fixe, sol licité par une force fonction de la distance au centre ; par M. Binet 457 (355) Solution d’un problème de Probabilité relatif au jeu de rencontre ; par M. Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 (364) Sur la formule de Taylor ; par M. Liouville . . . . . . . . . . 483 (375) Errata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 (376)

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.

JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES.

SOLUTION D’UN PROBLÈME D’ANALYSE ;

Par Joseph LIOUVILLE

1. Soientxune variable indépendante comprise entre deux limites réellesx, X, etφ(x)une fonction dexdéterminée, mais inconnue, qui ne devienne jamais infinie lorsquexcroît dexà X. Cela posé, le problème que je veux résoudre est le suivant : quelle doit être la valeur de la fonctionφ(x)pour que l’on ait constamment Z X n (1)x φ(x)dx= 0, x nétant un quelconque des nombres entiers 0, 1, 2, 3,. . . ? Je dis que la fonction φ(x)qui résout ce problème est identiquement nulle, en sorte que l’on aφ(x) = 0 depuisx= xjusqu’àx=X. En effet, si la fonctionφ(x)n’est pas nulle depuis x= xjusqu’àx=X, il faut que dans cet intervalle elle change de signe un certain nombre de fois, sans quoi les éléments de l’intégrale placée au premier membre de l’équation (1) seraient tous de même signe et ne pourraient avoir zéro pour somme. Supposons donc que la fonctionφ(x)change de signemfois, et soientx 1 ,x 2 ,. . .x m , lesmvaleurs dexpour lesquelles ce changement s’effectue. Faisonsψ(x) = (x−x 1 )(x−x 2 ). . .(x−x m ): en développant le produit des m m−1 facteurs binômes,ψ(x)prendra la formex+A 1 x+. . .+A m−1 x+A m . Si donc on fait, dans l’équation (1), successivementn=m,n=m−1,. . .n= 1, n= 0, et qu’on ajoute membre à membre les équations ainsi obtenues, après les avoir multipliées par les facteurs respectifs 1, A 1 ,. . .A m−1 , A m , on obtiendra Z X (2)ψ(x)φ(x)dx= 0 : x or l’équation (2) est absurde, puisque les deux fonctionsφ(x)etψ(x)changeant de signe en même temps, l’élémentψ(x)φ(x)dxdoit au contraire conserver tou jours le même signe. Ainsi, lorsquexcroît de x à X, il est absurde d’attribuer à φ(x)une valeur autre que zéro, C. Q. F. D. Cette démonstration subsiste même

6

[JMPA 1837:1]

[JMPA 1837:2]

√ lorsqu’on attribue àφ(x)une valeur imaginaire P+Q−1, car alors l’équa tion (1) se décompose en deux autres équations qui donnent séparément P= 0, 1 Q= 0. 2. Si l’équation (1) est satisfaite, non pas pour toutes les valeurs den, mais seulement pour les valeurs suivantes 0, 1, 2,. . .(p−1), je dis que la fonctionφ(x) (supposée réelle) change de signe au moinspfois ; car si elle ne changeait de signe quemfois,métant< p, on arriverait comme cidessus à l’équation (2) dont l’absurdité vient d’être démontrée. L’analyse précédente est fondée sur un principe semblable à celui dont j’ai fait usage dans un de mes mémoires (tome er 1 de ce Journal, page 253) ; mais il m’a paru qu’il était utile de donner de ce principe une application nouvelle et simple.

1 Soient B 0 , B 1 . . B, . n des constantes données à volonté. Si l’on cherche une fonction,. . . Z X n φ(x)qui satisfasse à l’équation (3)x φ(x)dx=B n ,nétant un quelconque des nombres x compris dans la série 0, 1, 2, 3,. . ., ce problème n’aura jamais plusieurs solutions. En effet si toutes les équations contenues dans la formule (3) sont satisfaites en prenantφ(x) =f(x), on Z X n pourra poser en généralφ(x) =f(x) +̟(x),et il en résulterax ̟(x)dx= 0, et par suite x ̟(x) = 0, ce qui démontre notre théorème.

7

SOLUTION

D’une question qui se présente dans le calcul des probabilités ;

Par M. É. MONDÉSIR,

Elève ingénieur des PontsetChaussées.

Si une urne contientbboules blanches etnboules noires, et qu’on en tire pau hasard, la probabilité de tirer parmi les boules restantes soitqblanches, soitqnoires, n’est point altérée et reste la même qu’avant la soustraction desp boules. Il y aura trois cas à examiner, suivant quepsera à la fois plus petit quebet quen, ou compris entre les deux, ou plus grand en même temps quebet quen.

er 1 cas :p < b,p < n.

Il y aura dans ce cas(p+ 1)hypothèses à faire sur la composition desp boules, savoir :

re 1 hyp. . . . . . . . . . .pblanches, e 2 hyp.(p−1)bl., 1 noire, . . . . . . . . . . me (p+ 1). . . . . . . . .hyp. . pnoires. Dans chacune de ces hypothèses, la probabilité pour amenerqblanches, par exemple, parmi les(b+n−p)boules restantes serait,  re (b−p)(b−p−1)...[b−p−(q−1)] Dans la 1 hypothèse, (b+n−p)(b+n−p−1)...[b+n−p−(q−1)]   e (b−p+1)(b−p+1−1)...[b−p+1−(q−1)] Dans la 2 hypothèse, (b+n−p)(b+n−p−1)...[b+n−p−(q−1)] (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  me b(b−1)...[b−(q−1)]  Dans la(p+ 1)hyp.. (b+n−p)(b+n−p−1)...[b+n−p−(q−1)] Cherchons maintenant la probabilité de chaque hypothèse. Soit N le nombre d’arrangements possibles avec(b+n)lettres, en les prenantpàp: ce nombre sera

N= (b+n)(b+n−1). . .[b+n−(p−1)];

il exprimera toutes les manières possibles de faire le tirage despboules, en supposant qu’on les tire de l’urne une à une. Nous aurons d’un autre côté toutes les manières possibles de faire le tirage depblanches, en prenant le nombre d’arrangements deblettrespàp. Nommons ce nombre A 0 : il sera

A 0 =b(b−1)(b−2). . .[b−(p−1)].

8

[JMPA 1837:3]

[JMPA 1837:4]

Nous aurons A 1 , ou le nombre de manières possibles de tirer(p−1)blanches et 1 noire, en observant que l’on peut former ce nombre en prenant chacun des arrangements debboules(p−1)à(p−1), y ajoutant chacune desnboules noires, et permutant cette boule auxpplaces qu’elle peut occuper dans chacun des arrangements : nous aurons donc

A 1 =b(b−1). . .[b−(p−2)]p . n.

Pour obtenir A 2 , prenons chaque arrangement deblettres(p−2)à(p−2); ajoutonsy chaque combinaison denlettres 2 à 2 : la permutation de la première lettre aux(p−1)places de l’arrangement de(p−2)lettres donnera lieu à(p−1) me arrangements nouveaux de(p−1)lettres, et la permutation de la 2 lettre transformera chaque arrangement de(p−1)lettres enparrangements dep lettres. On a évidemment de cette manière tous les arrangements possibles de (b−2)boules blanches et de a boules noires : écrivons donc

n(n−1) A 2 =b(b−1). . .[b−(p−3)]p(p−1), 1.2

nous aurons de même

n(n−1)(n−2) A 3 =b(b−1). . .[b−(p−4)]p(p−1)(p−2), 1.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n(n−1)...[n−(p−3)] A p−2 =b(b−1)p(p−1), 1.2 n(n−1)...[n−(p−2)] A p−1 =bp , 1 A p =n(n−1)(n−2). . .[n−(p−1)].

A 0 exprimant le nombre de manières possibles de tirerpblanches, et N le nombre de manières possibles de tirerpboules quelconques, A 0 étant, en d’autres termes, le nombre de coups favorables à la première hypothèse, et N le nombre de coups A 0 possibles, doit exprimer la probabilité de la première hypothèse : de même N les probabilités des hypothèses suivantes seront exprimées par les fractions

A 1 A 2 A p−1 A p , , . . . , . N N N N Si nous multiplions la probabilité de chaque hypothèse par la probabilité correspondante (1), et si nous faisons la somme, nous aurons pour la probabilité de tirerqblanches parmi les(b+n−p)boules restantes, la série suivante n 1 (b−p)(b−p−1)...[b−p−(q−1)] (b−p+1)(b−p+1−1)...[b−p+1−(q−1)] A 0 +A 1 (b+n−p)...[b+n−p−(q−1)] (b+n−p)...[b+n−p−(q−1)] N (b−p+2)(b−p+2−1)...[b−p+2−(q−1)] +A 2 +. . . (b+n−p)...[b+n−p−(q−1)] o b(b−1)...(b−q−1] +A p . (b+n−p)...[b+n−p−(q−1)]

9

[JMPA 1837:5]

Remplaçons dans cette série A 0 , A 1 ,. . . A p , par leurs valeurs, ainsi que N et b(b−1)...[b−(q−1)] remarquons que le facteur suivant est commun à tous (b+n)(b+n−1)...[b+n−(q−1)] les termes ; la probabilité cherchée sera n b(b−1)...[b−(q−1)] (b−q)...[b−p−(q−1)] (b+n)(b+n−1)...[b+n−(q−1) (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)] (b−q)...[b−p+1−(q−1)] +pn (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)] (b−q)...[b−p+2−(q−1)]n(n−1) +p(p−1) +. . . . . . (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)] 1.2 (b−q)(b−q−1)n(n−1)...[n−(p−3)] +p(p−1) (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)] 1.2 b− q n(n−1)...[n−(p−2)] +p (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)] 1 o n(n−1)...[n−(p−1)] +. (b+n−q)...[b+n−p−(q−1)]

Examinons la signification et la valeur de la quantité contenue entre les crochets : tous les termes de la série ont un dénominateur commun(b+n−q). . .[b+n− p−(q−1)] = (b+n−q)(b+n−q−1). . .[b+n−q−(p−1)]: ce dénominateur est le nombre d’arrangements possibles avec(b+n−q)lettres prisespàp; il ne diffère du dénominateur N que par le changement de(b+n)en(b+n−q); il doit donc exprimer le nombre de coups possibles, quand on tirepboules d’une urne qui en contient(b+n−q). Considérons chaque expression de la série, à part ce dénominateur commun, par exemple l’expression

n(n−1) (b−q). . .[b−p+ 2−(q−1)]p(p−1), 1.2

on peut l’écrire ainsi

n(n−1) (b−q)(b−q−1). . .[b−q−(p−3)]p(p−1). 1.2

Comparée à l’expression A 2 , on voit que cette formule n’en diffère que par le changement deben(b−q); elle doit exprimer toutes les manières possibles de tirer(p−2)boules blanches et 2 noires d’une urne qui contient(b−q)boules blanches etnnoires. On verrait de même que les autres expressions contenues entre les crochets ne diffèrent des autres expressions A 0 , A 1 , etc., que par le même changement deben(b−q). La somme de ces expressions, sauf leur dénominateur commun, indique donc toutes les manières possibles de tirerp boules d’une urne qui contient(b−q)blanches et n noires, comme la somme des expressions A 0 etc., indique toutes les manières possibles de tirerpboules d’une urne qui contientbblanches etnnoires. Cette somme d’expressions est donc égale à son dénominateur commun, et la série entière comprise entre les crochets égale à l’unité, ce qui réduit la probabilité cherchée à

b(b−1)...[b−(q−1)] , (b+n)(b+n−1)...[b+n−(q−1)]

c’estàdire à ce qu’elle était avant le tirage depboules.

10

[JMPA 1837:6]