MAT2412. - Département de mathématiques et de statistique

Description

• cours - matière potentielle : analyse numérique
• mémoire

MAT2412. Analyse Numérique I. Anne Bourlioux et Robert G. Owens 2 septembre 2011 1 Analyse des erreurs 1.1 Introduction L'analyse numérique se distingue de beaucoup d'autres domaines de mathé- matiques puisque, pour un problème donné, plusieurs méthodes approxima- tives peuvent être proposées pour sa résolution. La précision des résultats obtenus avec ces méthodes ou algorithmes différents peuvent varier forte- ment et est en fonction des approximations utilisées. Ce qui nous intéressera principalement dans ce cours d'analyse numérique, sera l'utilisation de méth- odes pour la résolution de problèmes appliqués sur l'ordinateur ainsi que l'estimation et le contrôle des erreurs provenant de ces méthodes numériques

• chiffres après la virgule
• −1023 ×
• virgule flottante
• arithmétique en virgule
• base β
• précisions
• précision
• représentations
• représentation
• erreur
• erreurs

Sujets

• mathématiques
• mathématique

Informations

• Publié par: urka
• Nombre de lectures: 67
• Langue: Français

Extrait

utiles
des
Ce
fonctions,
ainsi
euv
cours!)
appro
terp
être
sources
t
ces
meilleures
p
ne
et
et
tro
d'équations
ce
dériv
umérique
directemen
our
p
erreurs
us
des
de
mesure
algorithmes
faudrait
des
bien
arier
tout
donné,
ainsi
des
celles
Ow
trouv
téressera
des
p
les
umérique,
l'utilisation
2
systèmes
osées
manière
distingue
en
résolution.
être
trôle
résultats
v
d'autres
ces
v
umériques.
1
sera
des
distinguer
matiques
des.
ts
les
ert
des
t
mais
un
eut
men
dans
1.1
métho
en
tro
métho
inclueron
ximations
seron
Anne
our
nous
les
tiv
2.
t
olynômes
L'analyse
3.
d'analyse
ximations
en
et
t
tégrales
Bourlioux
résoudre
prop
algébriques,
se
soit
p
e.
septem
rencon
sa
n
de
en
La
ées
con
des
des
eaucoup
pro
obten
enan
2011
de
a
métho
domaines
n
ec
C'est
Rob
qu'on
métho
en
mathé-
de
ou
les
Analyse
métho
diéren
(Il
puisque,
comparer
p
coûts
I.
métho
en
aussi,
our
sûr,
v
on
erreurs
p
forte-
pas
problème
faire
t
ce
G.
Les
est
des
plusieurs
in
fonction
duites
In
analysées
appro
t
des
qui
utilisées.
t
Analyse
p
qui
1.
xima-
er
in
racines
duction
non-linéaires,
principalemen
construire
es
p
dans
d'in
ens
olation,
cours
obtenir
euv
appro
n
aux
n
ées
sera
in
de
T2412.
Numérique
et
bre
b
précision
suit:
de
4.
méth-
les
o
d'équations
des
soit
p
t,
our
d'une
la
itérativ
résolution
Les
de
d'erreurs
problèmes
trées
appliqués
analyse
sur
umérique
l'ordinateur
euv
ainsi
t
que
classi-
l'estimation
comme
et
1
le
MAplus
he
qualité
oin
ph
pliqué,
ce
qui
retien
que
bien
ée
P
un
est
t
dicile
cen
nom
de
ondi
grandes
dèle
dériv
une
des
Une
partie
utilisan
de
les
s'il
etit
en
arrêté
implémen
cette
er
d'erreur
nécessairemen
n
t,
celui
ces
don
la
termes.
viennen
able
par
La
fon
t,
le
blables
c
yp
tac
principal
umérique
solution
calculée
sera
t
ortera
t
con
les
n
de
trop
eurs
n
limite
rendra
v
dév
tion
bien
L'étude
un
yp
coûteuse
le
métho
de
améliorer
L'exemple
délisation.
t
la
série
en
a
eurs
on
de
que
erreurs
.
du
fonction
du
un
problème
plus
calculs
de
ysique.
bien
toujours
qu'elles
ort
erreurs
limitée
très
dèle
on
Ces
ce
d'erreurs.
l'ob
t
inadéquat,
ximation
la
cette
Le
eut
ce
cours.
but
cémen
aussi.
elles
traité
exp
ar
pro
l'analyse
es
tre,
p
souv
c
est
,
umérique
non-n
com-
herc
mo
d'une
cela
est
de
a
son
an
t
l'obten
tation
de
elopp
limite.
plus
de
umériquemen
t
et
e
des
est
sans
thème
certain
dernières.
t
l'analyse
des
umérique.
la
le
eurs
couran
de
est
préserv
d'une
solution.
innie
bre
T
Err
ylor
t
t
d'arr
ne
un
t
Ces
quelques
précision
Exemple
pro
Soit
simplications
une
t
dériv
mo
en
fait
p
An
t
les
.
ph
dénition
se
la
rapp
ée
t
d'habitude,
Si
soien
sur
est
mathématique
d'arrondi,
suite
aux
mo
sem
de
eets
à
t
hires.
e
de
t
erreurs
de
Les
t
hées
est
en
jet
(1)
réalité.
appro
de
n
sa
à
première
dériv
p
p
de
être
le
en
t
Err
de
d'être
com-
la
départ
son
erreurs
que
for-
Err
son
eurs
ysique,
de
érience
tr
d'une
onc
viennen
atur
données
e/discr
Si
étisation
donné
Il
(2)
s'agit
our
des
certain
erreurs
hoix
commises
sur
lorsqu'un
p
pro
mais
cessus
ul.
de
Err
rec
2
tral
†
†
†
f x
0f (x)
f(x+h)¡f(x)
0f (x)= lim :
h!0 h
f(x+h)¡f(x)0f (x)… ;
h
h
†exemple
ersible
ec
deux
)
alors
n
1.1.1
et
que
un
ec
aléatoire
(a
théorème
gr
que
liné
tes
aleur
,
alue
T
u.
ert
utilisera
la
que
et
Existence:
métho
1
v
les
une
moins
v
in
tégrale
alle
A
erreurs
aut
(
Gauss.
exemples
de
v
t
notre
tes:
une
ecteur
ouver
.
de
itérations
de
2
(a
d'une
,
,
le
son
de
une
de
ar
ec
.
initiale
plus
in
existe
2.
v
numérique
zéro
év
de
t
l'in
e
a
.
à
.
eurs
On
),
analytique
Quelques
La
,
quadratures
à
trap
on
on
1.
n
oit
v
h
des
si
En
r
conn
fonction
v
ép
est
Hilb
On
le
20
matrice
de
métho
:
de
o
bissection
et
v
que
où
exemple
ecteur
fonction.
v
,
dénissons
les
et
matrice
la
P
de
:
Newton
t
v
exemple
une
le
aleur
,
et
Les
v
il
matrice
des
).
au
Inté
erreurs
ation
un
On
aleurs
oudrait
de
aluer
fréquen
umériquemen
dans
l'in
termédiaires
Soit
terv
air
programmation.
e
ce
lgèbr
v
3.
s'attend
:
Err
humaines
umaines
o
zér
une
la
on
prendra
.
v
exemple
,
:
v
On
et
essaie
de
de
les
trouv
èzes
er
des
le
et
zéro
év
,
métho
ensuite
umériquemen
de
a
la
ec
fonction
métho
t
diéren
an
la
résolv
3
†
K =0
f 2 C[a;b] f(a)f(b) < 0
f (a;b)
⁄x f(x)=exp(x)¡
2 a=0
b=1 x =0:50
Z b
I = f(x)dx
a
a = 0 b = 1 f(x) = …sin…x I
2
A (N£N) (N£1)
b = Ax x (N £ 1)
Axe =b xe =x
TA N£N x=(1;:::;1)
A N £N a = 1=(i+j¡1)ij
Tx=(1;:::;1)nous
réel
tés
mais
La
cela
our
rationnels
,
bres
représen
plupart
ec
unique
té
:
son
décimale
général,
tels
en
nécessiter
être
en
que
réel
sur
ni
de
si
)
a
représen
c
généraliser,
que
.
et,
bre
un
tation
erreurs
les
être
ici
p
6
p
p
té
bi-
les
exactemen
facilemen
eut
eut
nom
système
c
ordinateurs
En
exemple
nom
in
en
où
v
base