Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Calcul matriciel et algebre lineaire

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 9 : Calcul matriciel et algebre lineaire Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009

• mathematiques assistees par ordinateur chapitre


• algorithme de gauss calcul matriciel


• systemes d'equations lineaires


• calcul matriciel

Sujets

• Google
• Matrice (mathématiques)
• multiplication
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• Langue: Français

Extrait

Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 9 : Calcul matriciel et algèbre linéaire

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Année 20082009 wwwfourier.ujfgrenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis à jour le 6 juillet 2009

Sommaire

1

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4

Résolution de systèmes d’équations linéaires

Réduction des endomorphismes

Méthodes approchées itératives

Comment fonctionne Google ?

Sommaire

1

2

3

4

Résolution de systèmes d’équations linéaires Systèmes d’équations linéaires, l’algorithme de Gauss Calcul matriciel : addition, multiplication, inversion, déterminant Stabilité numérique, conditionnement d’une matrice

Réduction des endomorphismes

Méthodes approchées itératives

Comment fonctionne Google ?

Systèmes d’équations linéaires

Dans la suite nous fixons un corpsK(par exempleQ,R, ouC).

Systèmes d’équations linéaires

Dans la suite nous fixons un corpsK(par exempleQ,R, ouC). Nous souhaitons résoudre unsystème d’équations linéaires :  a 11 x 1 +a 12 x 2 +∙ ∙ ∙+a 1n x n =y 1   a 21 x 1 +a 22 x 2 +∙ ∙ ∙+a 2n x n =y 2 .   a m1 x 1 +a m2 x 2 +∙ ∙ ∙+a mn x n =y m

Systèmes d’équations linéaires

Dans la suite nous fixons un corpsK(par exempleQ,R, ouC). Nous souhaitons résoudre unsystème d’équations linéaires :  a 11 x 1 +a 12 x 2 +∙ ∙ ∙+a 1n x n =y 1   a 21 x 1 +a 22 x 2 +∙ ∙ ∙+a 2n x n =y 2 .   a m1 x 1 +a m2 x 2 +∙ ∙ ∙+a mn x n =y m

On écrit ce système plus succinctement comme Ax=yoù       a 11 a 21 . . . a 1n x 1 y 1 a 21 a 22 a. . . 2n x 2 y 2 A=   , x=   , y=   .       . .... a m1 a m2 . . . a mn x n y m

Matrices triangulaires et échelonnées

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires Ax=y.

Matrices triangulaires et échelonnées

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires Ax=y. SiAesttriangulaire , la solution est immédiate : il suffit de remonter.     1∗ ∗ ∗1 0 0 0 0 1∗ ∗0 1 0 0     A=voireA=.     0 0 1∗0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Matrices triangulaires et échelonnées

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires Ax=y. SiAesttriangulaire , la solution est immédiate : il suffit de remonter.     1∗ ∗ ∗1 0 0 0 0 1∗ ∗0 1 0 0     A=voireA=.     0 0 1∗0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Plus généralement la solution est facile si Aeste é nnolehc é :     1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1∗0 0∗ ∗0 0 0 1∗ ∗ ∗ ∗0 0 1 0∗ ∗0 A 0 0 1= 0 ∗ ∗ ∗ voireA = 0 0 0 1∗ ∗0 .        0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Matrices triangulaires et échelonnées

On cherche à résoudre un système d’équations linéaires Ax=y. SiAesttriangulaire , la solution est immédiate : il suffit de remonter.     1∗ ∗ ∗1 0 0 0 0 1∗ ∗0 1 0 0     A=voireA=.     0 0 1∗0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Plus généralement la solution est facile si Aesten é onelch é :    1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1∗0 0∗ 0 0 1∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 1 0∗ A 0 0 1= 0 ∗ ∗ ∗ voireA 0 0 1= 0 ∗      0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0

 0 0 0 .   1 0

« Solution générale = solution particulière + solutions homogènes. »