Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Developpement de Taylor et series entieres

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 5 : Developpement de Taylor et series entieres Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/36

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Sujets

• Polynôme
• Série formelle
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Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre5:De ´ veloppementdeTaylorets ´ eriesentie ` res

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´  e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Objectif : des polynoˆ  mes  aux se´  ries Rappel : avec les quatre ope´  rations  arithme´  tiques+,−,∗,/ onpeutconstruiredespolyn ˆ omesetdesfractionsrationnelles. Prochaine ´ etape:construiredesfonctionsplusg ´ en ´ eralescomme exp(x) = 1 +x+ x 2 2 + x 3! 3 + x 4! 4 +. . . ln(1 +x) =x− x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 +. . . sin(x) =x− x 3! 3 + x 5 5 ! − x 7 7 ! +. . . 4 x 6 cos(x) = 1− x 2 2 + x 4! 6! +. . . − Proble` me  :quel sens donner aux trois petits points«. . .»? Commentrendrecesformulesrigoureuses?Deuxpossibilit ´ es: 1 onylop:infitnemeorylTademelopp ´ eveD P k n =0 a k x k + erreur ! ˆ 2 ` iterre ´ sneei ´ Dventinfini:eloppeme P k ∞ =0 a k x k  !+ convergence e Les deux approches sont tre`  s importantes dans les applications. 2/36

Sommaire

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2

3

D ´ eveloppementdeTaylor D ´ eveloppementdeTaylor,restedeLagrange Application a`  l’exponentielle, sinus et cosinus Impl ´ ementationdel’exponentielle

Se ´ riesformellesetse ´ riesenti ` eres Se´ ries formelles, ope´  rations formelles Se´ ries entie`  res, rayon de convergence Se´ ries  de Taylor, fonctions analytiques

Imple´ mentation  de fonctions usuelles Fonctionsusuellesde ´ veloppe ´ esens ´ eries Exemple : imple´  mentation deln(x) Exemple : fonctions de Bessel

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