Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre Notions d'analyse

Michael Eisermann

Description

Mathematiques assistees par ordinateur Chapitre 2 : Notions d'analyse Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Annee 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours _ mao Document mis a jour le 6 juillet 2009 1/68

• theoreme des accroissement fini


• mathematiques assistees par ordinateur chapitre


• maniere compatible avec les operations du corps


• surtout en mathematiques


• langage mathematique


• fonctions trigonometriques

Sujets

• Langage mathématique
• multiplication
• cours
• mathématiques
• mathématique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Math ´ ematiquesassist ´ eesparordinateur Chapitre 2 : Notions d’analyse

Michael Eisermann

Mat249, DLST L2S4, Anne´  e 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao Document mis a` jour le 6 juillet 2009

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Objectifs de ce chapitre

Les connaissances, surtout en mathe´  matiques, se construisent et se transmettentleplusefficacementpardese ´ tapesbienorganis ´ ees, chaque ´ etapefaisantappel ` adese ´ tapespre ´ c ´ edentes,parn ´ ecessit ´ e logique ou bien dans l’objectif de tisser des liens profitables.

Ainsicecourssebasesurlesmath ´ ematiquesquevousavez acquises,jel’e ` nd ´ ebutdelicence:langagemath ´ ematique, spere, e calculalg ´ ebrique,etnotammentdesargumentsd’analyse.

Cechapitrerappelle/pr ´ esentequelquesnotionsdebasequisont indispensablespourl’analysemath ´ ematique.L’objectifestdevous guider dans votre re´  vision/approfondissement. Ceci vous donne un pointded ´ epart,puisdevraitvousencourager ` aallerplusloin.

Comme outils indispensables pour l’analyse nous discutons ici la convergencedessuitesetdess ´ eries,puislesnotionsdecontinuite ´ etdede ´ rivabilit ´ edesfonctions.Lesr ´ esultatsfondamentauxsont x k ensuiteapplique ´ spour ´ etudierl’exemplephareexp(x) = P k ∞ =0 k! , qui est sans doute la fonction la plus importante en mathe´  matiques.

Il existe de nombreux ouvrages d’analyse. En voici un que j’aime : Walter Rudin : Principes d’analyse mathe´  matique, Dunod, Paris 2002.

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Sommaire 1 quri ´ eumestesetiuSnseire ´ s Nombres re´  els,  suites re´  elles,  convergence, crite`  res Nombres complexes, suites complexes, convergence, crite`  res S ´ eriesnum ´ eriques,convergence,crite ` res Fonctions continues D ´ finition  et exemples e Leth ´ eor ` emedesvaleursinterme ´ diaires Leth ´ eor ` emedumaximum Fonctionsd ´ erivables De´ finition  et exemples Leth ´ eor ` emedesaccroissementsfinis Fonctionde ´ rive ´ eetcrit ` eredemonotonie ´ Etude de la fonction exponentielle Propri ´ et ´ esdelafonctionexponentielleexp :C→C Le logarithmeln :R >0 →R et puissances re´  elles Fonctions trigonome´  triques et racinesn complexes -ie` mes Le the´ ore` me  de Gauss–d’Alembert

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§1.

Corps Lesnombresr ´ eelsformentunensembleR muni de deux ope´  rations, l’addition+ :R×R→Ret la multiplication∙:R×R→R. Le triplet (R,+,∙)est uncorps,’cseir-d ` at-joilu’eqrpsedtiu ´ te ´ irpoivanessutes:

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(A1 : associativite´  ) (A2 : commutativite´  ) (A3: ´ ele ´ mentneutre) (A4:el ´ ementoppose ´ ) ´

∀a, b, c∈R: (a+b) +c=a+ (b+c) ∀a, b∈R:a+b=b+a ∃0∈R∀a∈R: 0 +a=a ∀a∈R∃b∈R:a+b= 0

(M1:associativit ´ e)∀a, b, c∈R: (a∙b)∙c=a∙(b∙c) (M2 : commutativite´  )∀a, b∈R:a∙b=b∙a (M3: ´ ele ´ mentneutre)∃1∈R,16= 0∀a∈R: 1∙a=a (M4:e ´ l ´ ementinverse)∀a∈R, a6= 0∃b∈R:a∙b= 1

(D : distributivite´  )

∀a, b, c∈R:a∙(b+c) = (a∙b)+(a∙c)

Remarque:Vousavezpeut- ˆ etrerencontre ´ lanotiondecorpsen alg ` ebrelin ´ eaire.Elleregroupebeaucoupd’exemples,dontles nombres rationnels(Q,+,∙)sleer ´ ,(R,+,∙)ou complexes(C,+,∙).

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§1.

Corps ordonnes ´ Lesnombresre ´ elssontordonn ´ es:ondistinguedese ´ le ´ mentspositifs, note ´ sx >0e ` inocer,amed:satiop ´ ercorpnsdubielpmtaelosvace 1 Pour toutx∈Ron a soitx >0soitx= 0soit−x >0. 2 Six >0ety >0, alorsx+y >0ainsi quexy >0.

1

On de´  finit l’ordre strictx > yparx−y >0. L’ordre faiblex≥yveut dire quex > youx=yxevi ´ rfleeetse;llvetint,atre,sianeuqi.mysirte ´ L’ordre inversex < y par fini est de´ y > x, etx≤yveut dire quey≥x.

Les intervalles dansR comme suit : sont note´  s

[a, b] :={x∈R|a≤x≤b},]a, b] :={x∈R|a < x≤b}, ]a, b[ :={x∈R|a < x < b},[a, b[ :={x∈R|a≤x < b}.

Pour toutx∈Rsbareulorapond ´ efinitlavaleu|x|:=xsix≥0et par |x|:=−xsix≤0e ´ te ´ irptnaviuss:es.refiinO ´ v ´ emeeaissprontle |x| ≥0, et|x|= 0si et seulement six= 0. |x+y| ≤ |x|+|y|pour toutx, y∈R. |x∙y|=|x| ∙ |y|pour toutx, y∈R.

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Bornessup ´ erieureetinf ´ erieure Une partieA⊂Rest majore´ e parm∈Rsia≤mpour touta∈A. Dans ce cas on dit aussi quemest unmajorantdeA. On dit ques∈Rest laborne superieuredeAsisest le plus petit ´ majorant deA e . Si elle existe, elle est unique et sera note´ s= supA. SiA  ´ n’est pas majorA= +∞. ee on posesup Pour l’ensemble vide on posesup∅=−∞. Demanie ` resym ´ etriqueond ´ efinitminorantet borne infe´  rieure. Une partie est borne´ e ´ lleesielafost ` aon ´ rsiimamojeete ree. Exemple : pourA={1, 21 , 31 , 41 , 1 5 , . . .}on asupA= 1etinfA= 0. Exemple : la partieA={a∈Q|a 2 ≤2}ajor ´ eemestmtemda’nsia pas de borne supe´  rieure dansQ. DansRon asupA= √ 2. The ´ ore ` me(caract ´ erisationdesnombresr ´ eels,admis) Les nombres re´  els  forment un corps ordonne´ (R,+,∙,≤)tel que toute partie non vide majore´  e deReiru ´ preetnenuusbaermodsedanR. Toutcorpsayantcettepropri ´ ete ´ estcanoniquementisomorphea ` R. §1.1 6/68