Mathematiques exercices Lycee A Brizeux PC

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Mathematiques ; exercices Lycee A. Brizeux PC 2009-2010 Chapitre 7 : Espaces prehilbertiens, espaces euclidiens I. Applications directes du cours Exercice 1 Soit n 2 N. Dans chacun des cas suivants, dites si l'expression proposee de (x; y), pour tous vec- teurs x = (x 1 ; : : : ; x n ) et y = (y 1 ; : : : ; y n ) appar- tenants a Rn deni un produit scalaire sur Rn : a) (x; y) = x 1 y 1 ; b) (x; y) = n X i=1 x i y i ; c) (x; y) = ( n X i=1 x 2 i y 2 i ) 1=4 ; Exercice 2 a) Verier que (j) : R[X] R[X] ! R denie par : 8 (P;Q) 2 R[X]; (P jQ) = Z 1 1 P (t)Q(t)dt est un produit scalaire sur R[X]. b) En notant k k la norme associee, calculer k1k, kXk, kX 2 k, kX 3 k.

• produit scalaire


• r3 par les expressions


• projecteur orthogonal


• base orthonormale


• matrice dans la base cano


• espace prehilbertien

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Extrait

Lycee´ A. Brizeux PC 2009 2010
Chapitre 7 :
Espaces pr´ehilbertiens, espaces euclidiens
I. Applications directes du cours
Exercice 1 Exercice 6
N R
R R
Exercice 7
R R R R
R
Exercice 2
R R R
R
R
Exercice 8
R C C C C
i i i i
Exercice 3 C
C C
C
C
Exercice 9
R
N
R
Exercice 4
C C C
R
R
C
R
Exercice 5 R
R
K Exercice 10
K
i i
Espaces pr´ehilbertiens, espaces euclidiens
sura1tstoutnbasedbx)enie.v.un;produitourscalaire2surtenannk:soita)ay(3x;;uny;)par=jxbles1xy311;>b)eterminer(surx!;axycx)une='na;Xbyi)=12.xOni3y2i);1c)x(jxhacun;xy=)Mon=x(etn(Xyin=1Mathxla2laiec-y32a;i;)+1bz=un4b);ourappar-Sur)a)parV;!erier+que)(.jsur)une:3nles[NX]x)yN[2X2]=!2;Nd1)enie=par1:D8;(oPDans;Qour):22:1[xX]2;que(<P3j+Qexercices)d=?Zdans1nique1jectionP.(vt:)ourQ;(ctx;)d))t2estczunbxprocyduit'scalaireduitsur3:oui[orthonormaleXdans].;b)3Endenotan3tk:ckx;la))norme+asso10ciay+ee,(2calculerazk'1duitk3,ouikorthonormaleXdanskan,ellekNX22surkt,pk=X;3xkdes.expressions:(;qSur+le+1,-espacexvxectorieljC+0j([(max;i]les;Dyx);desxap-oplications=conctin2uesdeD[x;;xo]quevxerson(1dxemon3trerxque1(fxjNg))E=MonZ8E;f1(ktk)kg.(ematiquestg)dtFestetunmatriceproladuitcano-sca-delaireprohermitienorthogonale(semi-linFteurseaireSur3a'gauctoushe)et3quep(((tb;7!)e(inty)zn7!2+=byest6une+famille+orthonormale.2y2etazVa)est-elleerierproquescalaire(),j?)si:donner)base[pX']y.nx[(Xsoit]:!3xeed!denieeniepar':((8b;P);(Qy2z;7[axX2]+;cz(osPpropj(2Ql'expression)bz=siZcy1cx11.Pest-elle(protscalaire)ditesQ?(sitdonner)dbasetpest'unts,pro.duitsuivscalairerapphermitienque(semi-linnormes1eaireN;a1gauccashe)sonsurd:enies[ourXx].(:1:xsoit;a3un2v3ecteurlesnon:n2ulxd'un=espacexpr1xehilb2ertienxr3Neel(ou)complexejE1et+Hxl'orthogo-jnaljde3feta1gx,=d1ieterminer3laxprojjectionDessinerorthogonaleensemde:tout1vnecteur2x3deNE(sur);1a,et2cellensur2H3enNfonction(de)x1,eta1etnde2leur3proNduit(scalaire,)don-1ner2)latrerdistancep1tout2.,aaxNa(et)celleNde(x)paNH(.),(onNp(ourr)aNs'aider(d'un)dessin)3(1=xDansxSoit4unsoithermitien.Ftrer=:fx;(2x;;yx;yz=;4tX);=0xkyx+Soitzyt2=Ch.7y;t=0de1/3xM. Roger Lycee´ A. Brizeux PC 2009 2010
II. Exercices
Exercice 11 Exercice 14
M C
M C
C
M C
M C
Exercice 15
Exercice 12
NC
Exercice 16
R
R
N
R
Exercice 17
R
Exercice 13
Espaces pr´ehilbertiens, espaces euclidiensAE)sous-espace=deux[)Xdei2=1pro::n)dXbasejv=1j::nerjyaestijpj(2L]n1.=(22a)aD(emonourrtrerappliquerqueecNkestMonuneeduirenorme[hermitienneeels(i.e.0assoeciencineeLCalculeraduun;p.s.=hermitien)3)sur,lesym(l'ensem-espace(viii)ec-(toriel.N)n((Imcieve)(utilise;Soienb)deProuvqueerdeque82)(qA;SoitBdes)cien2()asso)npro(;on)))n2;nNemon(2A[)jNdes(usuel,Bpar);3N;(2ABsyst)?etdequelajpartr(baseABSoit))jj))Nx(kA))x:Nour()Bon)se.y)p(,Soit)Sx2Al'ensemprbleedendesp;suitesjecteurscomplexesE(),unpro).2quenestdeorthogo-,dtellespqueqlaAs=]erieolyn^Xcojru1.ntrerj;2Zcon(v(erge.estAscalairetoutX(Onu;(v[)Xde(S2ndeSX2donqueasso)cieest<deu]jLvn>matrices=m+duit1FXn==0;usn1v1),n;.;1.(1justier1l'donnezemeecrituredeetdeprouvbaseer?que;Sde2etriemortunidansdeCh.7<(j)>yest=unxespaceppry;ehilb8ertien22.;SoitpFxlakpartiekdekS(p2montrformiiiiees,despsuitesadondonnertx;le)nomKerbredeptermesetnoniiinauulscteurest+