Mathématiques - OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE ...

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Mathématiques - OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE ...

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• Publié par: ywijabiv
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CLASSE PSI ´ OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

I OBJECTIFS DE FORMATION

1)Objectifsge´n´erauxdelaformation Danslafilie`rePhysiqueetSciencesdel’Ing´enieur,lesmathe´matiquesconstituentconjointementunediscipline scietifi`apartentie`re,d´eveloppantdesconcepts,desr´esultats,desme´thodesetuned´emarchespe´cifiques, n que etunedisciplinefournissantdesconnaissancesetdesm´ethodesne´cessairesa`laphysique,`al’informatique,`ala chimie et aux sciences industrielles. Lare´flexionsurlesconceptsetlesme´thodes,lapratiqueduraisonnementetdelad´emarchemathe´matique constituentunobjectifmajeur.Lese´tudiantsdoiventconnaıˆtrelesd´efinitions,lese´nonc´esetlesde´monstrations desthe´or`emesfigurantauprogramme,savoiranalyserlaporte´edeshypothe`sesetdesr´esultats,etsavoir mobiliserleursconnaissancespourl’e´tudedeproble`mes.Enrevanche,certainsr´esultatspuissants,maisdont lad´emonstrationesthorsdeport´eeauniveaudesclassespr´eparatoires,sontadmis. a)Objectifs de la formation ¸ n fonction de quatre o jecti La formation est concue e b fs essentiels. -De´velopperconjointementl’intuition,l’imagination,leraisonnementetlarigueur. -Promouvoirlar´eflexionpersonnelledese´tudiantssurlesproble`mesetlesphe´nome`nesmath´ematiques,surla port´eedesconcepts,deshypothe`ses,desr´esultatsetdesme´thodes,aumoyend’exemplesetdecontre-exemples; de´velopperainsiuneattitudedequestionnementetderecherche. -Exploitertoutelarichessedelade´marchemathe´matique:analyserunproble`me,expe´rimentersurdes exemples,formuleruneconjecture,´elaboreretmettreenœuvredesconceptsetde´ltatsth´eoriques,re´diger s resu unesolutionrigoureuse,contrˆolerlesr´esultatsobtenusete´valuerlapertinencedesconceptsetdesr´esultatsau regardduprobl`eme´ntdese´le´mentsindissociablesdecetted´emarche;valoriserainsil’interactionentre pose, so d’unepartl’´etudedeph´enom`enesetdeproblemesmath´ematiques,etd’autrepartl’e´laborationetlamiseen ` œuvredesconceptsth´eoriques,lesphasesd’abstractionetdemiseenthe´orieinteragissantdoncconstamment avec celles de passage aux exemples et aux applications. -Privil´egierlesproble`mesmathe´matiquessusceptiblesdede´velopperlar´eflexionpersonnelledes´etudiantset lescapacit´esdesynthe`se.Enparticulier,onnesauraitenaucuncasselimitera`l’e´tudedeproble`mesdontles ´enonce´ssontferme´setd’exercicesmettantenœuvredestechniquesbienr´epertori´ees.Ilestne´cessaired’entraˆıner lese´tudiant`ˆesdesquestions,c’est–a`–direa`prendreencompteuneprobl´ematique s a se poser eux–mem math´ematique;l’effortdesynthe`sedoitconstituerl’aboutissementdecetted´emarche. b)nUrmfoioat´eitladeqfieusnicneit Ilestimportantdemettreenvaleurl’interactionentrelesdiffe´rentespartiesduprogrammed’unemˆeme discipline,tantauniveauducoursquedesth`emesdestravauxpropos´esaux´etudiants.Pluslargement, l’enseignementd’unedisciplinescientifiqueesta`reliera`celuidesautresdisciplinessousdeuxaspectsprincipaux: organisationconcert´eedesactivite´sd’enseignementd’unemˆemeclasse;´etudedequestionsmettantenœuvre desinteractionsentreleschampsdeconnaissances(mathe´matiquesetphysique,math´ematiquesetinformatique, math´ematiquesetsciencesindustrielles. . .). La´tiondesenseignantsd’unemˆemeclasseoud’unemeˆmedisciplineet,pluslargement,cellede coopera l’ensembledesenseignantsd’uncursusdonne´,ycontribuedefac¸onefficace,notammentdanslecadredes travauxd’initiativepersonnelleencadr´es. Ilimporteaussiquelecontenucultureldesmath´ematiquesnesoitpassacrifie´auprofitdelaseuletechnicite´. Enparticulier,lestextesetlesr´efe´renceshistoriquespermettentd’analyserl’interactionentrelesproble`mes mathe´matiquesetlaconstructiondesconcepts,mettentene´videncelerˆolecentraljoue´parlequestionnement scientifiquepourlede´veloppementth´eoriqueetmontrentenoutrequelessciences,etlesmathe´matiquesen particulier,sontenperpe´tuellee´volutionetqueledogmatismen’estpaslar´efe´renceenlamatie`re.

PSI

2 2) Architecture et contenus des programmes a)Intentions majeures Les contenus sont organi ´ t ur de trois intentions majeures. ses au o -Organiserlesprogrammesautourdequelquesnotionsessentielles,ende´gageantlesid´eesmajeuresetleur portee,enfournissantdesoutilspuissantsetefficaces,en´evitanttoutetechnicit´egratuite,etene´cartantles ´ notionsquinepourraienteˆtretrait´eesquedefac¸onsuperficielle. -Donnerunroˆletr`esimportant`alar´esolutiondeprobl`emesetd’exercicesd’application,enparticulier enmettantenœuvrel’outilinformatique.Lebutestd’indiquerlechampdesprobl`emesetphe´nome`nes math´ematiquesa`e´tudierenrelationaveclesconceptsfigurantauprogrammeetdepre´ciserlesm´ethodesetles techniquesusuellesexigiblesdes´etudiants.Enrevanche,ces´etudesdeprobl`emesetd’exercicesnedoiventpas conduire`adesde´passementsdeprogrammeprenantlaformed’uneanthologied’exemplesdontlaconnaissance seraitexigibledes´etudiants. -Re´aliserune´quilibreglobalentrel’alge`bre,l’analyseetlag´eom´etrie.Ilvadesoi,d’ailleurs,quecettes´eparation traditionnellen’estqu’unecommodite´der´edactionetnedoitpasfaireoublierlesinteractionsnombreuseset e´troitesentrecestroisgrandsdomainesdesmathe´matiques.Danscetteintention,lesprogrammessontpre´sente´s selondeuxgrandesparties:analyseetge´om´etriediff´erentielle,alge`breetg´eom´etrie,maisleplanduprogramme n’est pas un plan de cours. C’estenfonctiondesobjectifspre´c´edentsquelesprogrammesson¸etquorairehebdomadai t concus e l’h re doit eˆtrege´re´.DanslaclassePSI,ilestde10heures(7heuresdecourset3heuresdetravauxdirige´s).Pourvaloriser lesconceptsessentielsetlesprincipalesme´thodes(comprenantlesexemplesetcontre-exemplesquiillustrent leurporte´eetleursconditionsdevalidite´),ilconvientdeconsacrer`aleur´etudeenvironauplus6heuresde cours.Letempsrestantesta`cons`al’´etudedeprobl`emesmathe´matiquesdedifficult´evari´ee;`acet´egard, acrer toutetechnicite´gratuiteesta`e´viter. b)Secteur de l’analyse et de ses interventions Danscesecteur,leprogrammeestorganise´autourdesconceptsfondamentauxdefonction,quipermetde mod´eliserlecomportementdesph´enome`nescontinus,etdesuite(oudes´erie),quipermetdemode´liserle comportementdesphe´nom`enesdiscrets.Lesinteractionsentrelecontinuetlediscretsontmisesenvaleur, notammentensecondeann´ee. Leprogrammed’analysecombinel’e´tudedesprobl`emesqualitatifsaveccelledesprobl`emesquantitatifs; ilde´veloppeconjointementl’´etudeducomportementglobaldessuitesetdesfonctionsaveccelledeleur comportementlocalouasymptotique.Pourl’´etudedessolutionsdese´quations,ilcombinelesproble`mes d’existenceetd’unicit´e,lesm´ethodesdecalculexact,lesm´ethodesd’approximationetlesalgorithmesde mise en œuvre. Pour l’ensemble de l’analyse, il met l’accent sur les techniques de majoration. Leprogrammeintroduitleconceptd’espacevectorielnorm´eetd’applicationline´airecontinue,afindefournirun cadrecoh´erentpourl’e´tudedessuites,dess´eriesetdesfonctionsetcelledessuitesetdess´eriesdefonctions.La maıˆtriseducalculdiff´erentieletinte´grala`unevariableetdesesinterventionseng´eom´etriediffe´rentielleplane constitueunobjectifessentiel.L’int´egration,larepr´esentationdesfonctions,notammentpardesse´ries(s´eries enti`eres,s´eriesdeFourier)etpardesinte´gralesde´pendantd’unparam`etre,l’approximationdesfonctions,l’´etude dese´quationsdiff´erentielles(notammentdessyst`emesline´aires),l’´etudedesfonctionsdeplusieursvariables(en interactione´troiteaveclag´eom´etriediffe´rentielle)tiennentuneplacemajeure. c)inesrvtetiensonlea’gle`rbeedtseSecteurd Danscesecteur,leprogrammeestorganise´autourdesconceptsfondamentauxdel’alge`breline´aire(pointsde vueg´eome´triqueetmatriciel),tandisquel’e´tudedesanneauxetdescorpsainsiquel’e´tudege´n´eraledesgroupes enont´et´ee´carte´es.Ilmetenœuvrelesme´thodesdel’alg`ebrelin´eairepourlare´solutiondeprobl`emesissus, nonseulementdesautressecteursdel’alge`bre,maisaussidel’analyseetdelag´eome´trie. Leprogrammeapprofonditceluidepremie`reann´ee(espacesvectoriels,applicationslin´eaires,alge`bres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes orthogonaux du plan et de l’espace)etde´veloppedenouveauxconcepts(polynoˆmesd’endomorphismes,valeurspropresetsous-espaces propores,re´ductiondesendomorphismesd’unespacevectorieletdesendomorphismessyme´triquesd’unespace vectorieleuclidien,re´ductiondesmatrices). d)Setceedru´galeom´etrieetdesesnietvrneitnos Unevisiong´eom´etriquedesprobl`emesimpr´egnel’ensembleduprogrammedemathematiquescarlesme´thodesde ´ lag´eom´etrieetlesapportsdesonlangage(figures,repr´esentationsgraphiques,interpre´tationsg´eom´etriques. . .) jouentunrˆolecapitalenalge`bre,enanalyseetdansleursdomainesd’intervention.