notes version du

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• cours - matière potentielle : dea

Chapitre 11 Cara tères de Diri hlet 11.1 Cara tères de groupes Soit G un groupe abélien ni. Un ara tère de G est un homomorphisme de G dans le groupe multipli atif C? des nombres omplexes. On note G l'ensemble des ara tères de G, que l'on munit de la stru ture naturelle de groupe multipli atif ( 'est à dire pour ?1 et ?2 deux ara tères de G, ?1?2 est l'homomorphisme x 7? ?1(x)?2(x)) L'élément neutre de G(l'identité sur G), appelé ara tère prin ipal de G, sera noté ?0 ou 1. Il faut noter que l'inverse du ara tère ? est ? : x 7? ?(x). 11.2 Cara tères sur Z/nZ Déterminons les ara tères de (Z/nZ,+), pour n entier quel onque. Nous onsidèrons pour a ? Z/nZ : fa : Z/nZ? C x 7? e2iπax/n (11.1) C'est un ara tère de (Z/nZ,+), et tout ara tère de (Z/nZ,+) est de e type. En eet soit ? un tel ara tère. On a : ?(1)n = 1 don ?(1) = ? est une ra ine n-ième de l'unité, et ? est alors tout simplement l'appli ation 7? ?x.

• teur


• tères de diri hlet


• ara tère


• g2 ?


• inverse du ara tère


• fon tion


• proje tion anonique


• cara tères de diri hlet


• groupe abélien

Sujets

• Groupe abélien
• cours

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Extrait

G G
∗ ˆG G
G
χ χ G χ χ1 2 1 2
ˆx7! χ (x)χ (x) G G1 2
G χ0
χ χ : x7! χ(x)
/n
( /n ,+) n
a∈ /n
f : /n →a
2iπax/nx 7! e
( /n ,+) ( /n ,+)
nχ χ(1) = 1 χ(1) = ω
n χ
x7! ω
/n → /n
a7!fa
homomorphisme

nom
de
11.1
el?
de
,
de
sera

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Z
app
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e
ou
t
1.
11
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t
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.
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est

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Z
un
,
Soit
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Z
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D?terminons
group
les
L'application

Z
de


(11.1)
Z
un
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et
Z
Z

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,

p
C
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Z
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Nous
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En
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la
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Z
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C
simplemen
unit
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m
de
l'on
.
que
Z
,
hlet
de


de
des
Z
ble
Chapitre
l'ensem
11.2
(11.2)
/n
/n
G
G
ˆ ˆ \G ×G →G ×G1 2 1 2
χ ×χ : G ×G →1 2 1 2(χ1,χ2)7!
(x ,x )7!χ (x )χ (x )1 2 1 1 2 2
χ χ = 1 =⇒ (χ χ )(x ,0) = 1 = χ (x ),1 2 1 2 1 1 1
x ∈ G χ = 1 χ = 11 1 1 2
\χ G ×G χ :1 2 1
x1 7! χ(x1,0) G χ1 2
χ (x )χ (x ) = χ(x ,x ) ⋄⋄⋄1 1 2 2 1 2
ˆG≃ G G
Y
G≃ /n .i
i=1
Y Y
ˆ \G≃ /n ≃ /n ≃ G.i i
i=1 i=1
t

.
e.
es
.

De
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m?me
e
Preuv


Z
une
t
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,
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Z
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Z
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(11.3)
.
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Nous
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.
11.3
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est
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un


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,
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pro
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Z
;
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on
des
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e
bien
le

:
des
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e
le
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gr

Son
obtien
ni.
isomorphisme
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t
ab
,
e
no
triviale
Z
est

em
Cara
de
donc
2009
78
oup
Z
gr
[11]
un
Z
Soit
17.
et
23

v
p
bre
our
toutˆˆG→G
ˆx7! xˆ : G→G
χ7!χ(x)
ˆˆG G
ˆG G
( (
X X|G| χ = χ |G| x = 00
χ(x) = , χ(x) =
0 0
x∈G ˆχ∈G
(
X |G| χ = χ1 2
χ (x)χ (x) =1 2
0
x∈G
(
X |G| x = y
χ(x)χ(y) =
0 .
ˆχ∈G
χ = χ y χ(y) = 00
X X X
χ(x) = χ(x+y) = χ(y) χ(x).
x∈G x∈G x∈G
ˆx = 0 χ∈ G χ(x) = 1 ⋄⋄⋄
La

,
quadratique

Lemme
.
18.
induit
:
mon
gonalit?
que
d'ortho
partie
dites
de
si
laissons
suivantes,
fa?on
elations
sinon
r
isomorphime
les
Nous
sinon
Finissons
a
une
Preuv

e.
fond,
Comme
est
On
autres
2009


il
Il
que,
Une
un
,
existe
il
tre
existe
si
un
laissons
faut
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tel

que
par
noter
digression.
que
transformation,
11.4
dite
Cours
Gel-
DEA
t
Lille
parfaitemen
23
Nous
v
les
Il
v
vien
au
t
De
alors
notiore,
.
faut
?
trer
de
si
pas6
existe
et
n'en
il
qu'il
sinon
si
en
sinon
tel
alors
et
11.4
.
Une6

la
quadratique
d?monstration
79
si

de
isomorphisme
/6
20052009
soins
no
du
em
bre
.6f : G→
X
ˆf(x) = f(χ)χ(x)
ˆχ∈G
X
ˆf(χ) = f(y)χ(y)/|G|.
y∈G
G = ( /n ,+)
X X
2iπa/n −2iπy/nˆ ˆf(x) = f(a)e f(a) = f(y)e /n.
a n y n
∗G = (( /q ) ,x) χ
∗( /q ) /q χ(x) = 0 (x,q) = 1
χ → /q
χ
∗( /q )
/q
q
∗g ( /q )
χ : /q →
tx = g 7! exp(2iπt/(q−1))
07! 0
q
a
une
t
,
g?n?ral.
on
une
l'?tend
suite
?
g?n?ra-
Z
mo
Pour
Z
.
est
Z
?
en
Z
p

osan
de
t
dans
ourier)
de
F
3.
de
C
osition

(D?comp
on
19
:
si
g?n?rateur
Lemme
Z


de
osition

applique
Cara
tout6
d
[11]
.
80
v
23
:
v
C
bre
qui
ensuite
Z
C
La
?
d'apr?s
Z
Dans
,

en
restrein

premier
osan
Un
t
P
a
our
v
Z
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Un
la
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pro
e

,

?
Z

,
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Z
11.5
Z
t
on
o?
Z
.
;
C
on
2.
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qui
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l'on
Z
obtien
ave
t
dans
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.
une
une
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arithm?tique
de

dans
t
.
m

ultiplicativ

e.
le
Nous
texte.
disp
la
osons
de
donc

de
se
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t
fonctions

que
Exemples
nous
1.
notons

toutes
Soit
de
un
et
de
que
Z

Z
fonction
Z
Il
.
l?
tel
la
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g?n?rale


group

est
mo
Consid?rons
Z

Z


Z
:
C
1.
pr?c?den
une
le
qui
On
v

a

de
est
un
simplemen
Z
:
est
d
a
mo
Z
Si
nous
(11.4)
app
s'agit
elons
de
toutes
forme
des
des

de
ar
hlet
act?r
dulo
es
.
de
no
.
em
On
2009
?tend∗H ( /q )
q−1|H| =
2
χ : /q → /q
(q−1)/2x7!x
07! 0
{0,±1}
x( )
q
2χ = 1
g
tg t x = g
χ
q q
X √
∀N ≥ 1, χ(n) ≤ q Logq.