v2.1 XI 2003
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Quantité de mouvement
et
moment cinétique
1Impulsion et quantité de mouvement
Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Dt.
La vitesse du corps varie de Dv = v - vf i
L'accélération (moyenne) vaut a = (v - v ) / Dtf i
Par la deuxième loi de Newton:
F = ma = m( v - v ) / Dt donc:f i
F Dt = mv - mv = p - p avec la définition:f i f i
quantité de mouvement = p = mv (un vecteur)
Le produit FDt est appelé impulsion (aussi un vecteur)
La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion
F Dt = p - pf i
2Impulsion et quantité de mouvement, bis
Variation infinitésimale de la vitesse dv
L'accélération (moyenne) vaut a = dv / dt
Deuxième loi de Newton:
dv
F = ma = m
dt
donc: F dt = mdv = dp
†
La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion
F dt = mdv = dp
3Conservation de la quantité de mouvement
Considérons deux corps qui effectuent un choc élastique:
i) la quantité de mvt totale vaut p = p + pi 1 2
Supposons que la collision dure dt.
La force que 1 exerce sur 2 est égale
p2 2 et opposée à celle que 2 exerce sur 1i) p1 F = -F 1 21
L'impulsion sur 1 F dt = p' - p2 1 1
p' = p + F dt = p - F dt1 1 2 1 1
choc)
pour l'objet 2 p' = p + F dt2 2 1
p' f) la quantité de mvt totale est2
f) p = p' + p' = p - F dt+ p + F dt = f 1 2 1 1 2 1p'1 = p + p = p1 2 i
4Exemple 1
L'objet de masse M est initialement
au repos.
Mm L'objet de masse m a une vitesse vv
i)
Dans le choc "mou" M se réunit à m
pour former un objet de masse M+m
v'
On applique le principe de la
M+mf) conservation de la quantité de
mouvement:
p = mv + 0 = p = (M+m)v' v' = mv/(M+m)i f
2 2!!! Conservation de l'énergie: mv /2 = (M+m)v' /2
2 2 v' = mv /(M+m) ?????
5 Exemple 2
Une bille qui se déplace sur une table sans frottement
N
p
w
La réaction de la table N est égale et opposée à w.
La force totale est donc nulle, l'impulsion est donc aussi nulle
et p est constant au cours du temps
6Exemple 3
M
quantité de mvt tot
p = 01) tot m
p = 0 = mv + Mwtot 2) v
=> w = - mv/Mw
p = 0tot 3)
le tout est immobile
7Mouvement du Centre de Masse CM
Le CM (ou Centre de Gravité CG) d'un système non soumis à
des forces externes préserve son état de mouvement.
Exemple:
le CM du système
vde l'Exemple 3 est
wà tout instant immobile
dans le laboratoire.
En effet il est immobile
dans l'état initial et le système n'est pas soumis à des forces
externes.
8Mouvement du CM .2
m r + m r1 1 2 rR =CM:v m m + m1 2 1 2
m1
v2 calculons la vitesse du CMr1
† r2 Ê ˆ d d m r + m r 1 d1 1 2 2v = R = = m r + m r =( )Á ˜ CM 1 1 2 2
dt dt m + m m + m dtË ¯ 1 2 1 2
Ê ˆ 1 d(m r ) d(m r ) 11 1 2 2= + = m v + m v =Á ˜ ( )1 1 2 2Ë ¯ m + m dt dt m + m1 2 1 2
1 ptot= (p + p ) =1 2 p = m vtot tot CMm + m m1 2 tot
La quantité de mouvement totale est une constante,
donc v l'est aussi.CM
†
9† Collision élastique vs inélastique
Lors d'une collision la quantité de mouvement est conservée.
L'énergie mécanique ne l'est pas toujours, si la collision n'est
pas parfaitement "élastique".
Considérons la collision de deux objets isolés.
Dans le cas "totalement inélastique" il y aura un maximum de
perte d'énergie cinétique
i) f)
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