Plan du cours de Mathématiques

Description

Plan du cours de Mathématiques

Sujets

• cours
• mathématiques
• mathématique
• cours de

Informations

• Publié par: isybokom
• Nombre de lectures: 250
• Langue: Français

Extrait

Plan

du

cours

de

Lycée

Mathématiques

MPSI

Stanislas,

classe

Erwan Biland

de

MPSI

1,

2009/2010

Voici le plan du cours délivré aux MPSI 1 en 2009-2010. Ce document pourra servir aux élèves de support de révision avant l’entrée en deuxième année, et plus largement de référence sur le cours de MPSI tout au long de l’année de spéciale. J’ai essayé, autant que possible, de justifier les choix de plans qui m’ont semblé un peu originaux. J’ai parfois choisi d’aller plus loin que le programme (dénombrabilité, groupes finis, codimension, séries...). Ces dépassements sont toujours explicités, et justifiés, auprès des élèves, à qui j’ai d’ailleurs distribué le programme officiel. Cette démarche pourrait être utile à des candidats à l’Agrégation ou au Capes, même si les chapitres de MPSI ne sont pas forcément organisés comme des leçons d’oral de ces concours ! Ce cours doit beaucoup à celui qui m’a été délivré en 1997-1998 par J-L.Liters au lycée Clemenceau de Nantes. Il a aussi bénéficié de nombreuses discussions avec R.Antetomaso, A.Casamayou, H.Lemberg, C.Rakotoniaina, S.Tatitscheff...

Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1

1

Table des matières

1

2

3

4

5

6

2

Techniques de calcul 1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions usuelles 1 Fonctions, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombres complexes 1 Images et antécédents, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Le corpsC . . . . . . . . . . . . . . . . . . des nombres complexes .. . . . . . . . 3 Exemples d’équations algébriques dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Groupes, anneaux, corps 1 Lois de compositions internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equations différentielles linéaires 1 Equations homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Equations avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Problème du raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Géométrie élémentaire du plan et de l’espace 1 Repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Produit scalaire, déterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Equations de droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Problèmes d’intersection et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Problèmes de lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 6 7 7

8 8 8 8 9 9

10 10 10 11 11

12 12 12 13

14 14 14 14

15 15 15 15 16 16

Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1

7 Courbes paramétrées 1 Paramétrage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Paramétrage polaire, équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Coniques 1 Approches géométriques des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tangentes aux coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Courbes algébriques de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Ensembles de nombres 1 L’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .. . . . . . . .des entiers naturels 2 L ensembleRdes nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ’ 3 Intervalles deR. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Partie entière, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Un peu de topologie dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Suites numériques 1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Limites et ordre pour les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Théorèmes opératoires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Etude locale des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Etude globale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 Arithmétique dansZ 1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Calcul modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Prolongement : arithmétique des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Relations de comparaison, développements limités 1 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Polynômes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Dérivation 1 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Etude globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Applications aux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Table des matières

17 17 17

18 18 18 18

19 19 19 20 20 20

21 21 21 22 22 22

23 23 23 24 24 24

25 25 25 25

26 26 26 27 27

28 28 28 28

3

15 Espaces vectoriels 1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Quelques endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Eléments de géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Ensembles finis, dénombrement 1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ensembles quotients, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 Espaces vectoriels de dimension finie 1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bases, coordonnées, matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Codimension, hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Calcul matriciel 1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Groupe symétrique et applications 1 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Prolongement : actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Polynômes 1 Multiples et diviseurs dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Intégration, primitives 1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Calcul pratique de primitives ou d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 Outils supplémentaires pour l’analyse 1 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Méthodes d’approximation des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

29 29 29 29 30 30

31 31 32 32

33 33 34 34 35 35

36 36 37 37 37

38 38 38

39 39 39 40 40

42 42 42 42 43 43

44 44 44

Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1