Polycopié du cours d'Arithmétique et Groupes (L1 - Cours ...

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Polycopié du cours d'Arithmétique et Groupes (L1 - Cours ...

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Cours arithmétique et groupes.

Licence première année, premier semestre

Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret

Année 2006-2007

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Table

des

matières

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TABLE

DES

MATIÈRES

ercncéru ftn(S e ioprop)uneédépriétedtnadne èroéhT .n 1S1.1.mestxile’i .11L1.riePipncered ≥n,nreitnetuotruporslo)a+1(nefîn naltlisinetuoSti aie.stvr(n)en 0 ,f arvtteein(fese) 00 trnquelneeuient n(e)tnar ,n≥n 0 n f ,utentiersipourto Onn:ioattueceffva .])n(f, 0 rtsnoméD’absparl:noturdearsirenuemtnnoen ∃n : [Nf 0 ∈ 0 )(n∀net uqseitnatacfisrue n+1))]⇒[∀n∈N,n≥nN∈n,n≥, 0 f(n(⇒)(f (n)en 0 :f={n≥ ons A

Les ensembles de nombres

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Chapitre 1

1.1 L’ensembleN Naïvement, l’ensembleNentiers positifs est l’ensemble des nombresdes {0,1,2,3, . . .}. Il est muni d’une relation d’ordre total notée≤; cela signifie que, sia,betcsont trois entiers quelconques, on a a≤betb≤c=⇒a≤c, a≤a a≤betb≤a=⇒a=b, et on a toujoursa≤boub≤a(Nous reviendrons sur les relations d’ordre dans le chapitre??). De façon plus rigoureuse, on peut démontrer que, à une bijection respectant l’ordre près, il existe un seul ensemble vérifiant les quatre axiomes suivants : Axiome 1L’ensembleNest totalement ordonné, c’est-à-dire muni d’une relation d’ordre totale. Axiome 2Toute partie non vide deNa un plus petit élément. (Ceci veut dire : Pour toutx, y∈N, x≤youy≤x,et : pour toute partieA⊂N,∃x∈A ∀y∈A:x≤y.) Axiome 3L’ensembleNn’a pas de plus grand élément. Axiome 4Tout élémentNdistinct du plus petit élément deNpossède un “prédécesseur”. Rappelons qu’un prédécesseur dexest un entiery≤xtel que∀z∈N,tel quey≤z≤x, on a z=xouz=y; on le noterax−1(on montrera en exercice qu’un prédécesseur est nécessairement unique).

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