PROGRAMME DE DÉBUT D'ANNÉE

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PROGRAMME DE DÉBUT D'ANNÉE

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• Publié par: abubidur
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• Langue: Français

Extrait

` ´ CLASSE DE PREMIERE ANNEE PCSI

Leprogrammedepremi`ereanne´ePCSIestorganis´eentroisparties.Dansunepremie`repartiefigurentles notionsetlesobjetsquidoiventˆetre´etudi´esde`slede´butdel’ann´eescolaire.Ils’agitessentiellement,enpartant duprogrammedelaclassedeTerminaleSetens’appuyantsurlesconnaissancespr´ealablesdes´etudiants, d’introduiredesnotionsdebasene´cessairestantenmath´ematiquesquedanslesautresdisciplinesscientifiques (physique, chimie, sciences industrielles,. . .outsjeobesecsdinatreC.)mmeesco´er´nsidtnocesorpestoccn d´efinitivementacquis(nombrescomplexes,coniques,´equationsdiffe´rentielles,. . .) et il n’y aura pas lieu de reprendreensuiteleure´tudedanslecoursdemathe´matiques;d’autres,aucontraire,serontrevusplustard dansuncadreplusge´n´eraloudansunepre´sentationplusth´eorique(produitscalaire,g´eome´trieduplanetde l’espace, similitudes,. . .). Lesdeuxi`emeettroisi`emepartiescorrespondent`aund´ecoupageclassiqueentrel’analyseetsesapplications ge´om´etriquesd’unepart,l’alg`ebreetlag´eome´trieeuclidienned’autrepart.

´ ´ PROGRAMME DE DEBUT D’ANNEE

´ ´ ´ ´ I. NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE ELEMENTAIRE

1- Nombres complexes L’objectifestdeconsolideretd’approfondirlesnotionssurlesnombrescomplexesde´j`aaborde´esenclassede Terminale.Leprogrammecombinel’´etudeducorpsdesnombrescomplexesetdel’exponentiellecomplexeavec lesapplicationsdesnombrescomplexesauxe´quationsalg´ebriques,`alatrigonome´trieeta`lag´eome´trie. Il est souvent commode d’identifierCnaueualpurpospleblrome`edilcnneimatotnemetrique,cedso’irigen´goe´m quipermetd’exploiterlelangagedelag´eome´triepourl’e´tudedesnombrescomplexeset,inversement,d’utiliser lesnombrescomplexespourtraitercertainesquestionsdeg´eom´etrieplane.Enparticulier,lese´tudiantsdoivent savoirinterpr´eter`al’aidedesnombrescomplexeslesnotionssuivantesdelage´ome´trieeuclidienneplane:calcul vectoriel,barycentre,alignement,orthogonalite´,distance,mesured’angle. a) CorpsCdes nombres complexes CorpsCniiaereltemigaiesr´eelxes.PartocseelpmnsedrbmorpsducoocsnaLitnortcuCn’est pas exigible d’un nombre complexe, conjugaison dansCntias..´seddute Notations Rez, Imz,z¯. Leplan´tantmunid’unrep`ereorthonormal,affixed’un e point, d’un vecteur ; image d’un nombre complexe. Module d’un nombre complexe, module d’un produit, d’un Notation|z|; relation|z| 2 =z¯z. quotient.Ine´galite´triangulaire;interpretationentermesdeInterpr´etationge´ome´triquede|z|, de|z−a|; ´ distances.disqueouvert(ferm´e)decentrea. b) GroupeUdes nombres complexes de module 1 De´finitiondugroupeUodn’sreadteenmnotccsoesrebOmnseesndeeppel´erxl`ervemnoudbueondetati 1.Cercletrigonome´trique.lastructuredegroupe. De´finitiondee iθ unitnocaal,e´ti atelnsio L ,r tioie´nfi ’duEe , l n .r ePard iθ d =oc ´eriva s bi θ e nsi+i lit´eetl θ savir uo`θ at ∈ ion R. s Morphismeθ7→e iθ deRdansU des. Formule de Moivre. fonctions cosinus, sinus et tangente sont suppos´eesconnues,ainsiqueleursformules d’addition. §sariean´LitcenivdotrˆınaonmrofseleseluditutsanL´ees-e´girtmonoressionsiond’exptcrositaitnoteaf triques. donnant cos(a+b), sin(a+b), tan(a+b), cos 2x, sin 2x, tan 2x. Ils doivent savoir exprimer sinθ, cos ide de tan θ et relier θ, tanθet e iθ 2 `laa’ cesformulesa`larepr´esentationparam´etrique rationnelleducercletrigonom´etriqueprive´de −1.

2 ´ Arguments d’un nombre complexe. Ecriture d’un nombre complexez6= 0 sous la formeρe iθ `ouρ >0 etθ∈R(forme trigonome´trique). Racinesntiluso´e´el’deon’ledsemeR.e´tinu-i`uqtaoinz n =a. ´ c)Equationsduseconddegre´ R´esolutiondes´equationsduseconddegr´e`acoefficients complexes ; discriminant. Relations entre coefficients et racines. d) Exponentielle complexe D´efinitiondel’exponentielled’unnombrecomplexe:Lacontinuite´,lade´rivabilite´etlesvariations delafonctionexponentieller´eellesontsup- e z = e x e iy ou`z=x+ iy. ´itanofnc-op´seesconnues,ainsiqu e son equ o Proprie´t´es.tionnelle. e)Nombrescomplexesetg´eom´etrieplane Interpr´etationg´eom´etriquedestransformations:Les´etudiantsdoiventsavoirinterpre´tera`l’aide des nombres complexes les notions suivantes z7→az, z7→az+b, z7→z. de la g´ ´trie euclidienne plane : distance, eome Interpre´tationdumoduleetdel’argumentdez7→mesure d’angle, barycentre, alignement, or- 1z−a ∙ ogonthital.´e , z z−b

2-G´eom´etriee´le´mentaireduplan ` Al’issuedelaTerminale,lese´tudiantsconnaissentleplange´om´etriqueeuclidienentantqu’ensembledepoints. − Ilsconnaissentenparticulierlafac¸ond’associera`deuxpointsAetBle vecteurA → Bpselrporte´ise´,ainsique operatoires usuelles. Il convient de faire constater que l’ensemble des vecteurs du plan est muni d’une structure ´ deplanvectoriel(r´eel),de´finicommeespacevectorielsurRdont tout vecteur s’exprime comme combinaison lin´eairededeuxvecteursinde´pendants,c’est-a`-direnoncoline´aires.Touteth´eorieg´ene´raledesespacesvectoriels estexclue`acestade. Dansleplan,lesnotionssuivantessontsuppose´esconnues:calculvectorieletbarycentrique,distance euclidienne,orthogonalite´,repe`reorthonormal,angles. Ladonne´ed’unrepe`reorthonormalidentifieleplana`R 2 oau`C. a)Modesderep´eragedansleplan Repe`recarte´sienduplan,coordonne´escarte´siennes. Rep`ereorthonormaldirect,changementderepe`re.Lesformulesdechangementderepe`resont`a connaˆıtre,uniquementdanslecaso`ulesdeux repe`ressontorthonormauxdirects. Coordonne´espolairesd’unpointduplansuppos´emunid’unLerep`ereorthonormalidentifieleplan`aC. repe`reorthonormal. ´ Equation polaire d’une droite, d’un cercle passant parO. Rep`erepolaire( − u → , −→ v) du plan euclidienR 2 onrtuiocpa,iifinfie´dedtnI − u → = e iθ , − v → = ie iθ . toutnombrer´eelθ, par : − −→ u(θ) = cosθ e → 1 + sinθ e −→ 2 , −→−→− v(θ) =−sinθ e 1 + cosθ e → 2 −→− ou`(e 1 , e → 2 ) est la base canonique deR 2 . b) Produit scalaire D´efinitiong´eom´etriqueduproduitscalaire.Si − u → et −→ v.onojprtiecretnedemtateenotirpr´Intenos non nuls −−→ − u → ∙ − v → = → k − uk kvk → cos(u , − v → ), − et − u∙ → v → = 0 sinon. Biline´arite´,syme´trie,expressionenbaseorthonormale.DansCni,te´rpreteR¯(euedng´eatiotriqom´eab).