Relations d'ordre Vocabulaire

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Relations d'ordre. Vocabulaire 12 janvier 2010 1. Definition. Exemples Definition 1 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est un sous-ensemble G de E?E. On note xRy si (x, y) ? G. Le sous-ensemble G est parfois appele graphe. Cette terminologie de graphe est source de confusion : on evitera de l'employer et on la reservera aux fonctions ou applications. Exemple : le graphe d'une application de E dans E est une relation binaire sur E. Nous concernant, nous nous interessons a des relations binaires particulieres : les relations d'ordre. Definition 2 Soit E un ensemble non vide. Une relation binaire R sur E est une relation d'ordre sur E si elle verifie : 1. ?x ? E, xRx (reflexivite) 2. ?(x, y) ? E2, (xRy et yRx) ? x = y (antisymetrie) 3. ?(x, y, z) ? E3, (xRy et yRz) ? xRz (transitivite) On dit que le couple (E,R) est un ensemble ordonne. S'il n'y pas de confusion possible, on dit que E est ordonne (sous-entendu par la relation d'ordre R). Remarque : Il est d'usage de noter une relation d'ordre ≤ au lieu de R.

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• Publié par: pefav
• Publié le: 01 janvier 2010
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• Langue: Français

Extrait

Relations d’ordre. Vocabulaire

12 janvier 2010

1.De´finition.Exemples D´efinition1SoitEun ensemble non vide. Unerelation binaireRsurEest un sous-ensembleGdeE×E. On notexRysi(x, y)∈G. Le sous-ensembleGeep´lfoarapistpesgraphe. Cette terminologie degraphenote´ralresearevratel’deplemeroyauxfonctionsedecruostsevi´eonn:iousnfco ou applications. Exemple :le graphe d’une application deEdansEest une relation binaire surE. Nousconcernant,nousnousinte´ressonsa`desrelationsbinairesparticuli`eres:lesrelationsd’ordre.

D´efinition2SoitEun ensemble non vide. Une relation binaireRsurEest unerelation d’ordresurEsi elleve´rifie: 1.∀x∈E, xRx)(r´eflexivit´e 2 2.∀(x, y)∈E ,(xRyetyRx)⇒x=y´mysirte()etian 3 3.∀(x, y, z)∈E ,(xRyetyRz)⇒xRz)e´tiitivrans(t

On dit que le couple (E,R) est undreno´nesnmelboe. S’il n’y pas de confusion possible, on dit queEest ordonn´e(sous-entenduparlarelationd’ordreR). Remarque :Il est d’usage de noter une relation d’ordre≤au lieu deRrge´ottuuaO.nprendragardemal fait que≤s:vantssuimbleneeslrsepeuoeullitabehdrord’ontialeralengise´dN,Z,QetR.

De´finition3SoitEun ensemble non vide. Une relation d’ordre≤esttotalesi

2 ∀(x, y)∈E , x≤youy≤x.

On dit que le couple(E,≤)´e.donnntorlemeeelbmatotnutsesne

Une relation d’ordre qui n’est pas totale estpartielle. Nousreviendronsdefa¸conplusd´etaille´esurlarelationd’ordrehabituellepourl’ensembleR.Avant cela, donnons quelques exemples de relations d’ordre partiel et total. Exemple : 1. L’ensembleNotnemelatotelbmensnetuesleelsueuno’drordaleralitmuniden´e.rdon 2. LesanneauxZetQdsleuminueuseslltdonenesleraoitao’dnerdrtordonn´es.Ainsiesbmeltstolamene 1 4 ≤utonerifineeuisiloP.re´velrue:latantatibcompire´rppopmro´tieaddiecl’´eavilit-iumtltealitno 3 5 plication. 3. LecorpsRonrde.n´emaltoensniAieusuelleond’ordrmelbtetoseutensnitaleraledinume≤πpuisque 2≤e <3≤πl(eiteeparaerednti`erifieev´E(e) = 2, celle deπeifierv´E(π) = 3). 4. SoitEun ensemble non vide. La relation d’inclusion⊂dansEdfin´eunitelerrsurerd’ondioatP(E). Enge´ne´ral,ils’agitd’unordrepartiel.(Q.A quelle condition surEest-elle totale?)

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