S1M02 – Algèbre linéaire de base 20h de CM – 36h de TD 56h de ...

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S1M02 – Algèbre linéaire de base

20h de CM – 36h de TD

56h de Cours -TD intégrés (parcours Maths)

Ce module est destiné aux étudiants des filières mathématiques, maths/physique et info/maths,

et proposé en option aux filières informatique et physique.

Ses objectifs principaux consistent à introduire les outils de base du calcul vectoriel en dimension

finie : espaces vectoriels sur les réels ou sur les complexes, applications linéaires, calcul matriciel,

résolution de systèmes d’équations linéaires, espace vectoriel des polynômes à une indéterminée à

coefficients réels ou complexes.

Les déterminants et les réductions de matrices seront abordés ultérieurement dans d’autres module.

Cet enseignement est par ailleurs l’occasion d’aborder quelques notions élémentaires de théorie des

ensembles et de logique.

1. Systèmes d’équations linéaires

Ce premier chapitre est consacré à la résolution des systèmes d’équations linéaires, sans

paramètre d’abord, puis avec paramètre, par la méthode de Gauss.

Les notions de systèmes équivalents, de systèmes échelonnés de rang r, d’inconnues principales (ou

liées) et d’inconnues secondaires (ou libres) sont introduites sur de nombreux exemples.

Systèmes homogènes, systèmes avec second membre, ayant autant, plus, ou moins d’équations que

d’inconnues. La notion de matrice d’un système est abordée.

Connaissances exigibles des étudiants.

Savoir résoudre un système par la méthode de Gauss, en

précisant le rang, les inconnues principales, les inconnues libres, l’ensemble des solutions ; savoir

discuter de l’existence des solutions et donner l’ensemble des solutions d’un système dépendant

d’un paramètre.

2. Polynômes à coefficients réels ou complexes

Ce chapitre est consacré aux polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.

Fonctions polynômes, polynômes formels, degré, somme, produit, multiplication par un réel ou un

complexe, division euclidienne, algorithme d’Euclide, PGCD, PPCM de deux polynômes, identité

de Bézout, théorème de Gauss, polynômes premiers entre eux, théorème de d’Alembert (admis),

décomposition en facteurs irréductibles sur

R

ou sur

C

, dérivées successives d’un polynôme,

formule de Taylor, racines d’un polynôme, racines multiples, équations de degré 2 à coefficients

complexes.

Connaissances exigibles

. Relation de la division euclidienne, savoir effectuer une division

euclidienne, calculer un PGCD par l’algorithme d’Euclide, calculer un PPCM, déterminer la

multiplicité d’une racine donnée d’un polynôme, décomposer un polynôme en facteurs irréductibles

dans des cas simples.

3. Espaces vectoriels

Dans ce chapitre seront abordées les propriétés les propriétés générales des espaces vectoriels sur

R

ou sur

C

, illustrées de nombreux exemples : définition, règles de calcul de base, notions de

combinaison linéaire, de famille libre (indépendance linéaire), liée ; sous-espace vectoriel, somme,

intersection, sous-espace vectoriel engendré, famille ; famille génératrice d’un espace vectoriel, d’un

sous-espace, base, dimension, théorème de la base incomplète ; sous-espaces supplémentaires,

sommes directes, dimension d’une somme, d’une somme directe, rang d’une famile de vecteurs.