SUR LES THEOREMES D'ANNULATION ET DE FINITUDE DE T OHSAWA ET O ABDELKADER

Jean-Pierre Demailly

Description

SUR LES THEOREMES D'ANNULATION ET DE FINITUDE DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER Jean-Pierre DEMAILLY Institut Fourier B.P. 74 38402 – ST MARTIN D'HERES, France L'objet de cette note est de donner une demonstration aussi simple que possible des theoremes d'annulation et de finitude dus a T. Ohsawa [7], [8], et des generalisations de ces theoremes obtenues par O. Abdelkader [1], [2]. SoitX une variete analytique complexe de dimension n . On suppose queX est faiblement 1-complete, c'est-a-dire que X possede une fonction d'exhaustion plurisousharmonique ? de classe C∞ , et on se donne un fibre lineaire holomorphe hermitien E au-dessus de X . Nous redemontrons les resultats suivants. Theoreme d'annulation [1], [8]. — Si la variete X est kahlerienne et si la forme de courbure de E est semi-positive de rang > s en tout point de X , alors Hp,q(X,E) = 0 pour p+ q > 2n? s+ 1 . Theoreme de finitude [2], [7]. — On suppose que la forme de courbure de E est semi-positive de rang > s en tout point du complementaire X \ Y d'une partie compacte Y ? X , et que X possede une metrique hermitienne ? qui est kahlerienne sur X \ Y .

• l2p


• croissante


• operateur autoadjoint


• metrique hermitienne


• principe du minimax entraıne


• intersection des adherences kf


• metrique ?


• hypotheses


• ?0j


• theoreme d'annulation

Sujets

• Demailly
• Croissant
• Endomorphisme autoadjoint
• Hypothèse
• multiplication

Informations

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Extrait

´ ` SUR LES THEOREMES D’ANNULATION ET DE FINITUDE DE T. OHSAWA ET O. ABDELKADER

JeanPierre DEMAILLY Institut Fourier B.P. 74 38402 – ST MARTIN D’HERES, France

L’objetdecettenoteestdedonnerunede´monstrationaussisimplequepossibledes th´eore`mesd’annulationetdefinitudedus`aT.Ohsawa[7],[8],etdesg´ene´ralisationsdeces th´eor`emesobtenuesparO.Abdelkader[1],[2]. SoitXte´iravetylanae´unoinemsncompiquededilexen .On suppose queXest faiblement 1compl`ete,c’est`adirequeXiqonrmhaussorilupnoitsuahxe’dnoiunefonctposs`edeeuψde ∞ classeC,berai´reeluinnfi´odmoonrneohnoslereitmehpheitneEaudessus deX .Nous rede´montronslesr´esultatssuivants.

Th ´ eor ` emed’annulation[1], [8]. —aliSirav´te´eXenteirnelhe´kta¨edeformssiela courbure deEest semipositive de rang>sen tout point deX ,alors

p,q H(X, E) = 0

pour

p+q>2n−s+ 1.

The ´ or ` emedefinitude[2], [7]. —On suppose que la forme de courbure deEest semipositive de rang>s´lpmnemeriatentetpountoicoduX\Yd’une partie compacte Y⊂X ,et queXneentimiepreshouqirte´menuede`sαuiqsurneene´ira¨lhsektX\Y .Alors p,q dimH(X, E)<+∞pourp+q>2n−s= 1.

Th ´ eore ` med’isomorphisme[2], [7]. —Soitψune fonction d’exhaustion plurisous ∞ harmonique de classeCsurX .NotonsX c ={x∈X;ψ(x)< c}, c∈R.On suppose que X, Y, Ee´roe`emednfitidue.Silentfieri´evhtudsese`htopyhsX c contient le compactY ,alors le morphisme de restriction p,q p,q H(X, E)→H(X c , E)

est un isomorphisme pourp+q>2n−s+ 1.

Notationsodesuenntiusno,eoustlate.an—Dquenem´etriαseruk¨ah´lreeinnX(resp. hermitienne surXnneire´lha¨kteesurX\Y),et une fonction d’exhaustion plurisousharmonique ∞ ψde classeCsurX(l’existence deαetψ`eidnscolega´ere`htopyhsnO.)seser´esultedeemtn uneme´triquehermitienneωsurX ,eedid’aalt`truiconsseraquimeneeiru´treetluαetψ .On ′ ′′2 de´signeparD=D+Dla connexion canonique deE ,parc(E) =Dsa forme de courbure, ′ ′′ parδ=δ+δl’adjoint deDuqirte´metiverela`alamentω .On note enfinLrlu’edtera´eop multiplicationext´erieureparω ,et Λ l’adjoint deL .SiA, Bse´rgdedeesssmhtidropnemonedso ∞ ∞ respectifsa, bde l’espaceC(X, E) =⊕C(X, Eussertnerlleisdme´eiffde)orsfXa`valeurs •,•p,q ab′ ′′ dansE ,on note [A, B] =AB−(−1)BA .ΔiertmaostnΔtapeLsdurelBcelaseLetare´po alorsd´efinispar ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ Δ = [D , δ] =D δ+,δ D [Δ = δD , ].