Théorème de Kurosh pour les relations d'équivalence boréliennes

Aurelien Alvarez

Description

Ann. Inst. Fourier, Grenoble 00, 0 (XXXX) 000-000 THÉORÈME DE KUROSH POUR LES RELATIONS D'ÉQUIVALENCE BORÉLIENNES par Aurélien ALVAREZ Résumé. — En théorie des groupes, le théorème de Kurosh est un résultat de structure concernant les sous-groupes d'un produit libre de groupes. Le théorème principal de cet article est un résultat analogue dans le cadre des relations d'équi- valence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Abstract. — In group theory, Kurosh's theorem gives the structure of sub- groups in free product of groups. The main result of this paper is an analogous version in the setting of countable Borel equivalence relations, which is proven using a Bass-Serre theory developed in this particular context. En théorie des groupes, le théorème de Kurosh ([11]) est un résultat de structure concernant les sous-groupes d'un produit libre de groupes ; plus précisément, un sous-groupe H du produit libre G d'une famille de groupes (Gz)z?Z est isomorphe au produit libre de son intersection avec des conjugués des Gz convenablement indexés et d'un sous-groupe libre de G. Le théorème principal de cet article (th. 1) est un résultat analogue dans le cadre des relations d'équivalence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier.

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• produit libre de groupes

Sujets

• Paulin
• Álvarez
• conjugaison
• maths

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• Langue: Français

Extrait

Ann. Inst. Fourier, Grenoble 00, 0 (XXXX) 000-000

THÉORÈME DE KUROSH POUR LES RELATIONS D’ÉQUIVALENCE BORÉLIENNES

par Aurélien ALVAREZ

Résumé. —En théorie des groupes, le théorème de Kurosh est un résultat de structure concernant les sous-groupes d’un produit libre de groupes. Le théorème principal de cet article est un résultat analogue dans le cadre des relations d’équi- valence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Abstract. —theory, Kurosh’s theorem gives the structure of sub-In group groups in free product of groups. The main result of this paper is an analogous version in the setting of countable Borel equivalence relations, which is proven using a Bass-Serre theory developed in this particular context. En théorie des groupes, le théorème de Kurosh ([11]) est un résultat de structure concernant les sous-groupes d’un produit libre de groupes ; plus précisément, un sous-groupeHdu produit libreGd’une famille de groupes(G z ) z∈Z est isomorphe au produit libre de son intersection avec des conjugués desG z convenablement indexés et d’un sous-groupe libre deG. Le théorème principal de cet article (th. 1) est un résultat analogue dans le cadre des relations d’équivalence boréliennes à classes dénombrables, que nous démontrons en développant une théorie de Bass-Serre dans ce cadre particulier. Nous renvoyons à [1] pour une théorie de Bass-Serre dans le cadre plus naturel des groupoïdes boréliens.

Étant donné une relation d’équivalence borélienneRà classes dénom- brables sur un espace borélien standardX, les acteurs principaux de ce travail sont lesR-arboretums(déf. 13), c’est-à-dire la donnée d’uneaction Mots-clés :relations d’équivalence boréliennes/mesurées, théorie de Bass-Serre, arbore- tum, théorème de Kurosh. Classification math. :20, 37.

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Aurélien ALVAREZ

deRsur unchamp d’arbres boréliensurX. Nous nous intéressons dans un premier temps aux actionsquasi-libres, ce qui nous permet d’obtenir une démonstration géométrique qu’une sous-relation d’une relation d’équi- valence borélienne arborable est arborable (cor. 15, voir aussi [7] dans le cadre borélien et [4] en présence d’une mesure). À toute décomposition deRen produit libre de deux sous-relationsR 1 etR 2 , est canoniquement associé unR-arboretumbi-coloréet le théo- rème 25 donne une caractérisationdynamiquedes produits amalgamés de deux sous-relations suivant une sous-relation commune. Via la notion de graphe de relations(déf. 30), nous démontrons l’existence d’unedésingu- larisationpour toute action deRsur un arboretum (th. 34) et donnons des résultats sur la structure deR(prop. 36, 38 et 40). Enfin, nous utilisons les résultats obtenus pour démontrer un analogue du théorème de Kurosh pour les sous-relations d’une relation d’équivalence borélienneR=? i∈I R i qui se décompose en produit libre dénombrable de sous-relationsR i . Théorème 1(th. 42). —SoitRune relation d’équivalence borélienne surX, produit libre dénombrable de sous-relationsR i (i∈I). SiSest une sous-relation deRdéfinie surX, alors S=? i∈I  ? k i ∈K(i) S k i  ?T où, pour toutk i d’un ensemble dénombrableK(i), il existe un élémentφ k i de[[R]]défini sur une partie borélienneA k i deXtel que S k i =  φ k − i 1 R i | i k φ(A i k ) φ k i  ∩ S et oùTest une sous-relation arborable deS. De plus, pour toutideI, il existek i dansK(i)tels que A k i = XetS k =R i ∩ S i  En particulier, nous donnons la décomposition de la restriction deRà toute partie borélienneYdeX(th. 44) et précisons ainsi les résultats de Ioana-Peterson-Popa ([6]) obtenus dans le cas de facteurs ergodiques. En collaboration avec D. Gaboriau, nous introduisons dans [2] la no- tion de relation d’équivalence mesuréelibrement indécomposableainsi que la classe des groupes dénombrablesmesurablement librement indécompo- sablesdémonstrations des résultats de rigidité que nous obtenons. Les (th. 1.1 et th. 1.5) reposent en grande partie sur les théorèmes 42 et 44 de cet article. Remerciements. —Je tiens à remercier sincèrement Damien Gaboriau pour son encouragement tout au long de ce travail ainsi que Frédéric Paulin pour tout le soin qu’il a accordé à une première version de ce texte.

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THÉORÈME DE KUROSH

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Dans la suite, le couple(XB X )désigne toujours un espace borélien stan- dard etRune relation d’équivalence borélienne à classes dénombrables surX.

1. Actions quasi-libres et arboralité Nous commençons par rappeler la définition desR-espaces fibrés stan- dardset mentionnons quelques propriétés de ces derniers qui nous seront utiles par la suite. Nous introduisons ensuite lesR-arboretums (déf. 13) et nous nous intéressons au cas particulier d’actions quasi-libres (déf. 11). Nous obtenons ainsi une caractérisation dynamique des relations d’équiva- lence boréliennes arborables (th. 14). Rappelons qu’une partie borélienneAdeXest undomaine fondamental deRsi elle rencontre chaque classe deRen un unique élément et qu’une relation d’équivalence borélienne estlissesi elle admet un domaine fon- damental. LesaturéR ∙Ad’une partie borélienneAdeXest la partie borélienne deXconstituée des élémentsR-équivalents à un élément deA. Lorsque le saturé deAcoïncide avecX, on dit queAest undomaine com- pletdeR. Deux relations d’équivalence boréliennesRetR 0 surXetX 0 respectivement sontstablement orbitalement équivalentes(oustablement isomorphes) s’il existe des domaines completsAdeRetA 0 deR 0 tels que les restrictions deRet deR 0 à ces domaines complets soient orbitalement équivalentes. Lepseudo-groupe pleindeR, noté[[R]], est l’ensemble de tous les isomorphismes partiels deXdont le graphe est contenu dansR. Une application boréliennef: A−→Xest unmorphisme intérieur partiel si tout élément deAestR-équivalent à son image parf. Siφ: A→Best un élément du pseudo-groupe plein deRetSune sous-relation deRdéfinie surB, on définit alors surAune sous-relation deRnotéeφ −1 Sφ: deux élémentsxetysontφ −1 Sφ-équivalents si par définitionφ(x)etφ(y)sont S-équivalents. Ainsi,Setφ −1 Sφsont des sous-relations isomorphes viaφ. On dit queφ −1 Sφest la sous-relation déduite deSparconjugaisonparφ. Deux sous-relationsSetS 0 deRdéfinies sur les parties boréliennesA etA 0 deXsont conjuguées dansRsi elles sont orbitalement équivalentes via un élémentφ: A−→A 0 du pseudo-groupe plein deR, autrement dit siS 0 =φ −1 Sφ. Enfin, nous dirons queSetS 0 sontstablement conjuguées dansRs’il existe des domaines completsAetA 0 deSetS 0 respectivement sur lesquels les restrictions deSetS 0 sont conjuguées dansR.

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1.1. Espaces fibrés standards et actions Unespace fibré standard(FB F  π)est la donnée d’un espace boré- lien standardFsurXet d’une application borélienne (appelée projection) π: F→Xsurjective à pré-images dénombrables. LafibreF x d’un élémentx deXest la pré-image dexparπ. Comme sous-ensemble borélien deX×X, la relationRdéfinit naturellement deux espaces fibrés standards surXvia les projectionsπ l etπ r respectivement sur la première et deuxième coor- donnée. Unesection boréliennesdeFest une application borélienne deX dansFtelle queπ◦ssoit égale à l’identité. SiAest une partie borélienne deXet sisn’est définie que surA, alors nous parlerons desection partielle. Un espace fibré standard surXadmet toujours une section borélienne. Ceci est une conséquence du théorème suivant (voir [10], [8]) : Théorème 2(Théorème de sélection). —SoitFun espace fibré stan- dard surX. Alors il existe une famille dénombrable de sections partielles deFdont les images forment une partition (borélienne et dénombrable) deF. De plus, on peut toujours supposer qu’au moins l’une de ces sections partielles est une section borélienne, c’est-à-dire définie surXtout entier. Voici trois applications immédiates de ce théorème (également connu sous le nom de théorème de Lusin-Novikov) : •siFest un espace fibré standard surX, alors il existe une numérota- tion borélienne des fibres deF, c’est-à-dire une application borélienne N : F−→N ∗ telle que la restriction deNà toute fibre deFsoit in- jective. De plus, quitte à renuméroter les fibres deF, on peut toujours supposer que dans chaque fibre la numérotation commence à1et ne saute pas d’entiers naturels ; •sifest une réduction deRàR 0 , c’est-à-dire une application borélienne f: X−→X 0 telle que deux éléments deXsontR-équivalents si et seulement si leurs images parfsontR 0 -équivalents (cf.[7]), alors il existe un domaine completAdeRtel que la restriction defàAsoit une équivalence orbitale entreR | A etR 0 | f(A) ; •siRest une relation d’équivalence borélienne surXetAun domaine complet deR, alors il existe un morphisme intérieur deRdéfini surX dont l’image est contenue dansA. Nous allons maintenant introduire la notion d’actionpour une relation d’équivalence borélienne sur un espace fibré standardFsurX. Rappelons d’abord que leproduit fibréde deux espaces fibrés standards(F 0  π 0 )et (F 00  π 00 )surXest l’espace fibré standard(F π)où F = F 0 ?F 00 ={(t 0  t 00 )∈F 0 ×F 00 ;π 0 (t 0 ) =π 00 (t 00 )}

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