Theoremes d'analyse et leur demonstration

Description

Theoremes d'analyse et leur demonstration 22 mars 2010 I Theoremes portant sur les fonctions continues Theoreme 1 (des valeurs intermediaires) Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur un intervalle I. Soit (a, b) ? I2 avec a < b et f(a) < f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)). Pour tout y ? [f(a), f(b)] (resp. y ? [f(b), f(a)]), il existe x ? [a, b] tel que y = f(x). Autrement dit, la fonction f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). La demonstration differe de celle vue en cours. Ici on emploie la dichotomie. Demonstration. — Nous traitons le cas ou f(a) < f(b), le cas f(a) ≥ f(b) se traitant de maniere analogue. Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit par recurrence deux suites (an)n et (bn)n contenues dans [a, b] et ayant les proprietes suivantes : 1. a0 = a et b0 = b ; 2. les suites (an)n et (bn)n sont adjacentes ; 3.

• interpretation graphique du theoreme des accroissements finis


• demonstration


• ?n ?


• principe de la demonstration


• theoreme


• corde joignant le point


• interpretation geometrique


• existence de la limite

Sujets

• Démonstration
• Théorème
• maths
• exercice
• cours
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 83
• Langue: Français

Extrait

Th´eor`emesd’analyseetleurde´monstration

22mars2010

IThe ´ ore ` mesportantsurlesfonctionscontinues

Th´eor`eme1(desvaleursinterme´diaires)Soitfuenofcnleursr´etion`avaeinfiocteellee´dsnruinntsuue 2 intervalleI.Soit(a, b)∈Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)≥f(b)). Pour touty∈[f(a), f(b)](resp. y∈[f(b), f(a)]), il existex∈[a, b]tel quey=f(x).

Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(buecedeevllffidnere`rtsnoita)e´omL.da en cours. Ici on emploie la dichotomie. D´emonstrationuo`asecslonitratsuoN—.f(a)< f(b),le casf(a)≥f(biatnain`tedtreamnal)osereaug.e Poure´tablirleth´eor`emedesvaleursinterme´diaires,nousallonsutiliserleproce´de´dedichotomie.On construitparre´currencedeuxsuites(a n ) n et (b n ) n contenues dans [a, bprrosplentyata]eiuavtnse´itee´ss: 1.a 0 =aetb 0 =b; 2. lessuites (a n ) n et (b n ) n sont adjacentes; 3.∀n∈N, f(a n )≤y≤f(b n ). Avantdeconstruirepr´ecis´ementlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. •(pa’dr`es2.,lessuitesa n ) n et (b n ) n temiloicmveneˆmenusrevtnegrex.De plusx∈[a, b],`rse’dpa1.. •la fonctionfunit´rusenatenoctI,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(a n lim) =f(b n ) =f(x). n→+∞n→+∞ •ouveontrt3.,emen:`antlilanpEsaasne’lrdacetimsnad f(x)≤y≤f(x). D’o`uy=f(x.´ethleet)ilbate´tseeme`ro

Ilrestea`construirelessuites(a n ) et (b n suininlpqseuomnipliqd’apeuerlp)´rrarucencreile:s’neitag proce´de´dedichotomie!Commeindiqu´ea 0 =aetb 0 =b.ahca´euqesop`’uqOupnsetapende construction f(a n )≤y≤f(b n ). ` a n +b n Al’´etape(n+ 1),enimrete´dnoc=f( ).netn:te´esesrpugerdsfieuxcaDe 2 a n +b n •sic > y,alors on posea n+1 =a n etb n+1 = ; 2 a n +b n •sic≤y,alors on posea n = etb n+1 =b n . 2 Les suites (a n ) n et (b n ) n tesvtruifient´eriaocsnniiss(teuissles,urlei´etroprlespbienarli..aPe.3te´1sa n ) n et (b n ) n sont bien adjacentes. En effet : (a n ) n est croissante par construction; (b n ) n iossed´trsceaprnaet b n −a n construction ;∀n∈N, a n ≤b n et limb n −a n = 0 car∀n∈N, b n+1 −a n+1 quicond=uit`aec 2 n→+∞ b 0 −a 0 b n −a n = n pour toutn∈N. 2 2

Corollaire 1Soitfvrlanietrunuunseontieetcefiniesd´llee´rsruelava`nioctonefunleI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.

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