Theorie des nombres

Borevitch Chafarevitch Simon Plouffe

Description

• cours - matière : algèbre
• cours - matière potentielle : l' ouvrage

Théorie des nombres

• problpmes ergodiques de la méca- nique classique
• théorie des équations diophantiennes
• résolubilité des congruences
• théorie des congruences
• donne des conditions de résolubilité de l'équation
• mdthodes asymptotiques en théorie des oscillations
• equation
• equations
• équation
• équations
• condition
• conditions

Sujets

• Algèbre
• Gelfand
• Université d'État de Moscou
• Théorie
• Asymptote
• Équation

Informations

• Publié par: seyn
• Nombre de lectures: 226
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 8 Mo

Extrait

Théorie des nombresOUVRAGES DE LA COLLECTION
A. 1. MARKOUCHEVITCH. - Fonctions d’une variable complexe.
Problèmes contemporains (272 p.). Traduit par L. NICOLAS, 1962.
N. N. BOGOLIOUBOV et Y. A. M~~RO~OWU. - Les mdthodes
asymptotiques en théorie des oscillations non linéaires (520 p.).
Traduit par G. JACOB~, 1962.
Y. V. LINNIK. - Décompositions des lois de probabilités
(294 p.). Traduit par M. L. GRUEL, 1962.
J. Mmusms~ et R. SIKORSKI. - Théorie élémentaire des distri-
butions (108 p.). Traduit par S. KLARSFELD, 1964.
1. M. GELFAND, D. A. RAIKOV et G. E. CHILOV. - Les anneaux
normés commutatifs (259 p.). Traduit par M. et J.-L. VERLEY,
1964.
A. GELFOND et Y, LINNE. - Mkthodes ékmentaires dans la
V. 1. ARNOLD et A. AVEZ. - ProblPmes ergodiques de la méca-
nique classique (288 p.), 1967.MONOGRAPHIES INTERNATIONALES
DE
MATHÉMATIQUES MODERNES
Sous la direction de S. MANDELBROJT
Professeur au Cdlège de France
Théorie des nombres
par 2. 1. BOREVITCH
et 1. R. CHAFAREVITCH
Traduit par
Myriam et Jean-Luc VERLEY
1967
GAZ;THIER-VILLARS
PARIS7
Traduction faite d’après
l’édition originale russe
TEOPIJH YMCEJIPRÉFACE
Ce livre s’adresse aux mathématiciens débutants; il constitue une intro-
duction à la théorie des nombres, aux problèmes soulevés par cette théorie et
aux méthodes utilisées.
Nous avons choisi une méthode d’exposition dans laquelle les problèmes
et les techniques d’étude sont étroitement liés. En principe, nous partons de
problèmes concrets relatif aux nombres entiers; les théories générales inter-
viennent alors pour résoudre ces problèmes. En général, ces théories seront
sufisamment développées pour en faire saisir la richesse et apprendre à les
appliquer.
Les questions étudiées dans ce livre se rattachent principalement à la théorie
des équations diophantiennes, i. e. à la théorie de la résolution en nombres
entiers des équations à plusieurs inconnues. On considérera également des
questions d’autre nature : par exemple, le théorème de Dirichlet sur les nombres
premiers dans une progression arithmétique ou les théorèmes sur la variation
du nombre de solutions d’une congruence.
Les méthodes qui interviennent ici sont surtout algébriques, principalement
la théorie des extensions finies des corps et de leurs métriques. Cependant, on
a accordé une place importante aux méthodes analytiques : le chapitre V leur
est consacré et la méthode des fonctions analytiques p-adiques est exposée dans
le chapitre IV. A plusieurs reprises interviennent également des considérations
géométriques.
Ce livre n’exige pas de grandes connaissances de la part du lecteur. Deux
années d’Université su$îsent pour comprendre la presque totalité de l’ouvrage;
c’est seulement dans le dernier chapitre qu’interviennent quelques résultats
relatifs aux fonctions analytiques.
A la fin du livre, dans un « appendice algébrique » nous avons rappelé des
déjînitions précises, des énoncés et parfois des démonstrations des résultats
qui interviennent au cours de l’ouvrage et peuvent nepas figurer dans certains
cours d’algèbre.
Ce livre est tiré d’un cours fait par un des auteurs à l’Université de Moscou.VI PRÉFACE
Nous remercions vivement A. G. Postnikov qui nous a communiqué les notes
prises à ce cours.
Dimitri Konstantinovitch Faddeev a largement participé à cet ouvrage. Nous
le remercions profondément pour les nombreuses et instructives conversations
que nous avons eues avec lui et pour les précieuses remarques qu’il a bien voulu
nous faire. Plusieurs démonstrations de ce livre lui sont dues, en particulier la
nouvelle démonstration p-adique du théorème de Kummer sur le deuxièm-e
facteur du nombre de classes des corps cyclotomiques.
LE!S AUTEURS.PRÉFACE
DE LA TRADUCTION FRANÇAISE
Une des particularités les plus frappantes de la théorie des nombres
est la simplicité de formulation de ses problèmes ; beaucoup d’entre eux
peuvent être compris par un étudiant. Mais, par ailleurs, la solution de
ces problèmes fait intervenir d’autres notions que celles qui figurent dans
leur énoncé ; cela exige l’élaboration de nouvelles méthodes, souvent très
abstraites.
Cette manière de proceder conduit à des théories importantes, en partant
de problèmes simples et élémentaires ; tel est I’objet de notre livre. Ce
livre s’adresse à des mathématiciens débutants ; aussi ne demande-t-il que
peu de connaissances préliminaires. Nous nous sommes limités à quelques
questions qui sont étudiées à fond.
Dans la traduction française, on a effectué, avec l’accord des auteurs,
quelques changements de notations ; ces modjîcations étaient nécessaires
pour que l’ouvrage soit compréhensible par un lecteur français : par
exemple, dans l’original russe, le corps des nombres rationnels est désigné
par R et non par Q !
LES AUTEURS,
mai 1966.CHAPITRE PREMIER
CONGRUENCES
Ce chapitre est consacré à la théorie des congruences et à ses applications
aux équations. Remarquons que si l’équation
F(xl, xa, . . . , x,,) = 0, (1)
où F est un polynôme à coefficients entiers, a une solution en nombres
entiers, alors la congruence
xJ = 0 (mod m)WG, . . . . (2)
a une solution pour tout entier m. Pour chaque m, l’ensemble des classes
résiduelles modulo m est fini et par suite la congruence (2) s’étudie direc-
tement. On obtient ainsi des conditions nécessaires pour que l’équation (1)
soit résoluble en nombres entiers.
L’étude de la suffisance éventuelle de ces conditions est très difficile.
L’affirmation : u une équation est résoluble si et seulement si pour chaque
entier la congruence correspondante est résoluble » n’est pas vraie dans le
cas général (cf. par exemple, exercice 4), mais est vraie pour plusieurs classes
particulières d’équations. Dans ce chapitre, nous démontrerons ce résultat
dans le cas où F est une forme quadratique, après avoir ajouté l’hypothèse
supplémentaire (manifestement nécessaire) que l’équation (1) a une solution
en nombres réels (si F est une forme, alors, par solution de F = 0, on
entend solution non nulle).
La notion essentielle que nous étudierons tout d’abord dans ce chapitre
est celle de nombre p-adique; nous appliquerons ensuite cette notion à la
théorie des congruences. On sait, d’après la théorie éltmentaire des nombres,
que, si m = pf’ . . . p2(p1, . . . , p, ettant des facteurs premiers distincts),
la résolution de la congruence (2) est équivalente à la résolution des
congruences
. . ., xJ ~0 (modp:)W,,2 THÉORIE DES NOMBRES
pour tout i= 1,2, . . . . r. Ainsi, la résolubilité de la congruence (2) pour
tout entier m est équivalente à la résolubilité de ces congruences modulo
toutes les puissances des nombres premiers. Dans la suite, nous fixerons le
nombre premier p et nous étudierons les congruences
. . ..x.J-0 (modpk)W,, (3)
pour toutes les valeurs entières de k. En liaison avec ce problème, Hensel
a introduit, pour chaque nombre premier p, un nouveau type de nombres
appelés par lui nombres p-adiques et a démontré que la résolubilité des
congruences (3) pour tout entier k est équivalente à la résolubilité de l’équa-
tion (1) dans l’ensemble des nombres p-adiques. Par suite, la résolubilité
des congruences (2) pour tout entier m est équivalente à la résolubilité de
l’équation (1) dans les ensembles de nombres p-adiques pour les nombres
p premiers.
En utilisant la notion de nombre p-adique, on peut donc donner la forme
suivante au théorème mentionné ci-dessus (ce chapitre est consacré à la
démonstration de ce résultat) : si F(x,, . . . , x,) est une forme quadratique
à coefficients entiers, l’équation (1) est résoluble en nombres entiers si et
seulement si elle est résoluble en nombres réels et en nombres p-adiques,
pour tout p.
Dans la formulation de ce théorème, appelé le théorème de Minkowski-
Hasse, et dans beaucoup d’autres questions, les nombres p-adiques figurent
sur le même plan que les nombres réels. De même que les nombres réels
interviennent de manière naturelle dans l’étude des limites de nombres
rationnels, les nombres p-adiques jouent un rôle analogue dans les questions
liées à la division suivant les puissances successives du nombre premier p.
Cette analogie entre les nombres