UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ

Equipe Académique Maths Bordeaux 1996-1998

Description

IV – Dérivabilité UNE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ --------------------- 2 MEILLEURE APPROXIMATION AFFINE --------------------------------------- 6 LES TANGENTES D'ABORD----------------------------------------------------10 DEUX POINTS, UNE SEULE TANGENTE -------------------------------------- 12 DEUX COURBES, UNE SEULE TANGENTE ------------------------------------14 UNE TANGENTE CHEZ TORRICELLI------------------------------------------18 UNE TANGENTE PAR LA CINÉMATIQUE CHEZ TORRICELLI--------------- 20 DÉRIVONS EN VITESSE -------------------------------------------------------22

• x0 ?


• abscisse


• courbe représentative dans le plan rapporté


• ?h3 ≤


• tangente ∆


• tangente ∆ en m0 d'abscisse x0


• droite d3

Sujets

• Coordonnées cartésiennes
• exercice
• cours
• mathématiques
• exercices
• mathématique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

NE ILLUSTRATION

IV – Dérivabilité

 GRAPHIQUED U NOMBRED ÉRIVÉ

      U ---------------------   2 M EILLEURE APPROXIMATION AFFINE --------------------------------------   - 6 L ES TANGENTES D ’ ABORD ---------------------------------------------------   -10 D EUX POINTS , UNE SEULE TANGENTE --------------------------------------   12 D EUX COURBES , UNE SEULE TANGENTE ------------------------------------   14 U NE TANGENTE CHEZ T ORRICELLI ------------------------------------------   18 U NE TANGENTE PAR LA CINÉMATIQUE CHEZ T ORRICELLI --------------- 2   0 D ÉRIVONS EN VITESSE ------------------------------------------------------   -22            

 

 

U NE ILLUSTRATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ         Objectif Illustrer graphiquement la définition du nombre dérivé.   Outils Définition du nombre dérivé et de la tangente.       Il s’agit de donner un sens mathémateitq ud’eil lustrer graphiquement la phrase :  « Pour des abscisses suffisamment prochxe 0 s,   enuuoc edrb  C e est aussi prochqeu’onle souhaite de sa tange∆n   tenM 0 d’abscissxe 0   ».            A. Rappel de cours Soitf une fonction définie sur un intervalleI non réduit à un point, etx 0  point de unI. Soit C  sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère(O ;i → ;j → )et soitAle point de C d’abscissex 0   . Les deux propositions suivantes sont équivalentes,métant un réel : • la fonctionh6 f(x 0 +h h )−f(x 0 ) admetmpour limite en0 • Il existe un intervalle ouvertJcontenant 0 et une fonctionεdéfinie surJtelle que, pour touth    élément deJ,f(x 0   +   h)=   f(x 0 )+   m h+   hε(h) etl h i → m 0 ε(h)=0. Si l’une des deux propositions précédentes est vraie on dit que : a.fest dérivable enx 0 et le nombre dérivé defenx 0 , notéf ’(x 0 ), est égal àm. b. C admet pour tangente au pointAla droite∆passant parA,de coefficient directeurm. On peut interpréter graphiquement cette dernière définition en disant que : des abscisses« Pour suffisamment proches dex 0 , C est aussi proche qu’on le souhaite de la tangente∆».

  B. Exercice Soitf fonction définie sur un intervalle uneI réduit à un réel, et nonx 0  un élément deI. Soit C  sa courbe représentative dans un repère etAle point de C d’abscissex 0   . On suppose qu’au pointAd’abscissex 0 , C admet pour tangente une droite∆de coefficient directeur m. Il existe donc une fonctionεdéfinie surItelle que :f(x 0 +h)=f(x 0 )+mh+hε(h) avecl h i → m 0 ε(h)=0. De la nullité de cette limite, on déduit que l’on a pour tout entier naturel non nuln:− 1 ≤ ε(h)≤ 1 , à n n condition queh soit suffisamment proche de0 Pour. Soit encore : « tout entier naturel non nuln, il existe un réel strictement positifh n , dépendant den, tel que :  si−h n ≤h≤h n  alors− 1 ≤ ε(h)≤ 1 » . n n  

IV – Dérivabilité Une illustration graphique du nombre dérivé

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